第二节：求导法则2ppt课件

1、第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 四、求导公式与基本求导法则汇总四、求导公式与基本求导法则汇总 五、小结五、小结 思考题思考题一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(),(xxvxu)()( )()()1(xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu ).0)()()()()()()()()3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu处也处也

2、在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商x)(并且有并且有可导可导,)(1 xv).0)()()(2 xvxvxv推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf )()()( )()()()3(2121xfxfxfxfxfxfnn )()()()(211xfxfxfxfnnii 记记 nknkniixfxfxfxf111)()()()()()()()()()(2121xfxfxfxfxfxfnn 例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23x x4 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncos

3、sin2 xxxlncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 23)(sin2xxxy xxxxxxyln)(cossin2lncos)(sin2 )(lncossin2xxx 例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 xx2sec)(tan .csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(

4、cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得2)()()(1xvxvxv 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则定理定理内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数yIyx)( 即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证,xIx 任任取取xx 以增量以增量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y), 0(xIxxx )()(xfxxfy 在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且)(,0)(xfyy .)(1)(,yxfIx 且且有有内内也也可可导导xyxfx lim0

5、)(),0(0 xy, 0)(存在且不为存在且不为又知又知y xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即,1yxxy 连连续续)(xfy 0lim)(0 yxyy .)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数证证的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y定理定理xyxfx lim0)(例例7 7.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos

6、)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例8 8.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变

7、量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(链式法则链式法则),2132xy ,3uy .212xu ,1sinxey ,uey ,sinvu .1xv ,)(0可可导导在在点点如如果果函函数数xxu ,)()(00可可导导在在点点而而xuufy 且且其其导导数数为为可可导导,0 x).()(000 xufdxdyxx 在在点点则则复复合合函函数数)(xfy 证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000li

8、mlimlim)().()(00 xuf xuxuufxy )(0).()(|000 xufdxdyxx 推广推广),(),(),(xvvuufy 设设的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy .dxdvdvdududydxdy y u v x dxdydudydvdudxdv例例9 9.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例1010.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解)1(1029 xuxx2)1(1092 .)1(2092 xx. 1,210 xuuydxdududydx

9、dy )1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx熟练之后，可以不必写出中间变量熟练之后，可以不必写出中间变量例例1111.的导数的导数求求shxy 解解 )(21)( xxeeshxy)(21xxee .chx 同理可得同理可得chxshx )(xchthx21)( )()(xeexx xe shxchx )(例例1111.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a 2222)(21)(21xaxxax2221xa 222

10、2)(2121xaxax uu21)( 22)()(112axaxa 211)(arcsinuu )(arcsin22 axa例例1212.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy22)2()2(31)1(1121 xxxxy)2(3112 xxx例例1313.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx uu1)ln( )2(31211212 xxx例例1313).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当

11、当 x,0时时当当 x)1ln()(xxf ,11x )1(11xx ,0时时当当 xhfhffh)0()0(lim)0(0 , 1 hfhffh)0()0(lim)0(0 , 1 hhh)01ln()0(lim0 hhh)01ln()0(1lnlim0 hhh)1ln(lim0 . 1)0( f 0,10,10,1)(xxxxxf例例1313).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x)1ln()(xxf ,11x )1(11xx ,0时时当当 x. 1)0( f 0,10,1xxx四、求导公式和基本求导法则汇总四、求导公式和基

12、本求导法则汇总xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设 都可导，那么都可导，那么)(),(xvvxuu )0()()4(, )()3( )()2(, )()1(2 vvu

13、vvuvuuvvuuvCCuCuvuvu是常数）是常数）3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设4.反函数的求导法则反函数的求导法则内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数yIyx)( 在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且)(,0)(xfyy .)(1)(,yxfIx 且且有有内内也也可可导导利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为

14、初等函数. .综合求导举例综合求导举例例例1414.arcsin的的导导数数求求函函数数xey 解解)(arcsinxey 2)()(11xxee 2)()(11xeexx )21()(112xeexx )21(212xxexe 例例1515.tan的导数的导数求函数求函数xxxexy 解解)()(xxxxeexx ln)(xxxeex ln)ln(xxeexxxx )(lnln)(xxxxxexxx 1ln xxexxxxxxxxln)( tanlnsec2tanxxxxxyx )ln1(xxexxx xxxxxxx 1)(lntantan)()(xxxex lntan)ln(tanxxex

15、x )(lntanln)(tantanxxxxxx 1tanlnsec2tanxxxxxx tanlnsec2tanxxxxxx 例例1616.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(21121 xxxxxxx)211(21121xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 例例1717.)(sin的的导导数数求求函函数数nnxfy 解解 1nnu nnxnxcos1)(sin1nnxf ,nuy ),(vfu ),(wv nxwsin dxdwdwdvdvdududydxdy )(vf )(w )(cosnnxx )(sinnx )(wf )(1vnfn nnxxncos12 )(sinnx )(sinnxf 五、小结五、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数求导时分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则注意成立条件）反函数的求导法则注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）合理分解正确使用链导法）;任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何