重庆大学概率与数理统计课后答案教学资料

1、重庆大学概率与数理 统计课后答案第八章精品资料习题八A组1假设总体XN（ ,1），从中抽取容量为25的样本，对统计假设Ho :0,Hi :0，拒绝域为X（=|X 0.392。（ 1）求假设检验推断结果犯第I类错误的概率。（2）若Hi：0.3，求假设检验推断结果犯第U类错误的概率。解：（1） i P犯第I类错误 P拒绝H°|H。成立=P X 0.3920P X 0.3920 P Xjn 1.96，所以 10.05（2） P犯第II类错误 P接受H。H。不成立 P X 0.3920.3P 3.46 （X 0.3） . n 0.460.67692. 已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小

2、时）服从正态分布。过去，显 像管的平均寿命是15000小时，标准差为3600小时。为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为x 15800小时。若用假 设检验方法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总 体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。 解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用 X表示，由题意知：XN（，2）N（5000,90000）（2）统计假设：H°:15000，H1 :15000仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7(3) 假设 与过去一样为36

3、00小时，那么检验方法为U检验法，检验统计显著水平U量为：150000.05时的拒绝域为X0 =UUi=u 1.645(4) 推断：因为U的样本值为1.333不在X。内，所以接受原假设，即在显著水平0.05下，认为新技术没有提高显像管的寿命。3. 某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间(秒)分别是：30, 37, 42,35，36, 40, 47, 48, 45。假设一个系统试通一个程序的时间服从正态分布， 那么据此数据用假设检验方法推断新系统是否减少了现行系统试通一个程序的时间解：设新系统试通一个程序的时间为 X，由题意知

4、XN( , 2)统计假设：H。:45 , Hi :45检验统计量为:X 45.nS拒绝域为：X 0=t t (n 1) = t 1.859推断：因为T的样本值为-2.483 X。，所以拒绝H。，接受H1，即新系统减少了现行系统试通一个程序的平均时间。4. 甲制药厂进行有关麻疹疫苗效果研究，用一个人注射这种疫苗后的抗体强度X表示。假定X服从正态分布。另一家与之竞争的乙制药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度为1.9。甲厂为证实其产品比乙厂有更高的抗体强度，随机抽取了16样本，获得下表所示数据：12192722301831242.51.51.72.22.42.62.32.1有一批这种电池，为判断其寿命的

5、波动性是否较以往有所变化，随机抽取了一个容量为26的样本，测得寿命的样本标准差为 75小时。问在显著水平0.05下，这批电池寿命的波动性较以往是否显著增大？解：设电池寿命为X，由题意知XN( , 2)。统计假设：Ho :2702，Hi :2702检验统计量为：2 (n唐702拒绝域为：x°= 2i2 (n 1)= 2 37.652推断：2的样本值为28.699,不在拒绝域X。内，所以接受H。，即在 显著性水平0.05下，这批电池寿命的波动性较以往没有显著增大。7. 在选择一个新建超市的位置时需要考虑很多因素，其中超市所在地附近居民 的收入水平是重要的因素之一。现有A、B两地可供选择，

6、A地的建筑费用较B地低。如果 两地居民的年均收入相同，就在A地建筑。但若B地居民的年均收入明显高于 A地，则 选在B地建筑。现从A、B两地的居民中分别抽取了 100和120户居民，经调查分析知：A地年均收入28650元，B地年均收入29980元。若已知A地居民年收入标准差是4746 元，B地居民年收入标准差5365元，问超市在何地建？假设 A、B两地居民年收入（单 位：元）服从正态分布。解：假设A、B两地居民年收入（单位：元）分别为 X,Y由题意知 X N( 1,47462), Y N( 2,5365。统计假设：H ° :检验统计量为:XY1 2212nmU显著水平0.05时的拒绝域

7、为：X o= u u = u 1.645推断：因为U的样本值为-1.950 X。，所以拒绝Ho，接受H1，即在显著水平0.05下，可以认为B地居民年平均收入明显高于A地，应在B地建超市。8. 要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，再随机选取8架飞机，将8对轮胎磨损量（单位：mg）数据列表如下:Xi （甲）49005220550060206340766086504870y （乙）49304900514057006110688079305010假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别为 XN（ 1, 2），YN（ 2, 2），且两 个样本相互独立。试问在显著水平0.0

8、5时，甲、乙两种轮胎的耐磨性是否有显著的差异？解：统计假设：H 0 :12， H 1 :12精品资料检验统计量为：2 2X 丫S2(n 1Q (m 1)S2T 1 n m 2 s n m拒绝域为：X 0=t t_（n m 2）=t2.145推断：因为T的样本值为0.516不在拒绝域X。内，所以接受Ho，即在显著水平0.05下，可以认为甲、乙两种轮胎的耐磨性无显著差异9. 设甲、乙两工厂生产同一种零件，现从这两个工厂生产的零件中分别抽测8个和9个，测得其外径（单位：mm）分别为:X （甲厂）15.014.515.215.514.815.115.214.8y （乙厂）15.215.014.815.

9、215.015.014.815.114.8假定零件外径服从正态分布，试乙厂生产的零件精度是否比甲厂生产的高?(0.05)解：假定甲、乙两厂生产的零件外径分别为X，Y，由题意知X2N( 1, 1 )，丫 N(；）统计假设：H 0 :2 22，H1 :1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11检验统计量为：F拒绝域为：X 0= F(n 1,m 1) =F0.268推断：因为F的样本值为3.659不在拒绝域X°内，所以接受H°，即在显著水平0.05下，可以认为乙厂生产的零件精度比甲厂生产的高。10. 项调查结果显示某市老年人口比重为14.7%。该市老年人口研究协会为了检验

10、该项调查是否可靠，随机抽选了 400名居民，发现其中有57人是老年 人。问调查结果是否支持该市老年人口比重为14.7%的看法？（0.05 ）。解：设某市老年人口比例为p。（1）统计假设：H°:p 0.147，H-p 0.147X 0 147（2）检验统计量为：U八_- n 1，JX（1 X）（3）0.05时的拒绝域为：X0= u u, |u 1.96（4）推断：因为U的样本值为-0.257不在X内，所以接受原假设，即在显著性水平为5%下调查结果支持该市老年人口比重为14.7% 的看法11. 某机构声称5年来各种新发行债券的承销价高于面值的比率低于50%，现随机抽取了 60只新发行的债

11、券，其中有24只的承销价高于面值。问上述说法 是否可接受？ （0.05）解：设5年来各种新发行债券的承销价高于面值的比率为p（1）统计假设：H 0 : p 0.5， H1 : p 0.5（2）检验统计量为:U X 1，7X（1 X）（3）0.05 时的拒绝域为：X0= u u = u 2.32（4）推断：因为U的样本值为-1.568不在X内，所以接受原假设，即在 显著性水平为0.01下不接受该机构的说法。12. 某大公司的人事部门希望了解公司职工的病假是否均匀分布在周一到周五， 以便合理安排工作。如今抽取了 100名病假职工，其病假日分布如下：工作日周一周二周三周四周五频数1727102818

12、试问该公司职工病假是否均匀分布在一周五个工作日中(0.05)?解：设公司职工的病假时间为X 统计假设：H。： X服从周一到周五的均匀分布，分布律为PX iPi 0.2, i123,4,5(2)检验统计量:25 2in，i 1 np(3)拒绝域为:Xd= 221 (m 1)29.488(4)推断：检验统计量的样本值为 0.023,不在拒绝域里，接受Ho，可 以认为该公司职工病假在五个工作日中是均匀分布。13. 对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如 下：组限10.93 10.9510.95 10.9710.97 10.9910.99 11.01频数582034组限

13、11.01 11.0311.03 11.0511.05 11.0711.07 11.09频数17664试问螺栓的口径X的分布是否服从正态分布(0.05)。解：统计假设：H。： XN( , 2)(2) 求，2的极大似然法估计值。？ X 11.002, ?2 m20.0018 2检验统计量：?2丄n ，i 1 n?i(4) 拒绝域为：XR?212 (m r 1) 2 11.071(5) 推断：在He成立的条件下计算：p1(10.95 11.002).0.032) 0.052?20.107; ?3 0.195; ?4 0.245;?5 0.211;p60.124; p70.050; ?8 0.017

14、检验统计量?2的样本值为0.108,不在拒绝域里，接受H。，可以认为螺栓的口径X的分布服从正态分布。14. 下表为某药治疗感冒效果的联列表：试问该药疗效是否与年龄有关(0.05)？解：设X表示患者的年龄状态，Y表示疗效状态。(1)统计假设：H ° : X与Y独立，出：X与Y不独立/ ni.n.j、2s r (nij)(2) 检验统计量为：nnj 1 i 1m n.j(3) 拒绝域为 X0 n12 (r 1)(s 1)=9.488(4) 推断：2的样本值为0.093，不在拒绝域里，接受Ho，可以认为该药疗效与年龄无关。15. 对纸张亮度的测量方法有两种，用两种测量方法分别采集了9个样本

15、，如下：A6.1 9.2 8.7 8.9 7.6 7.1 9.5 8.3 9.1B9.1 8.2 8.6 6.9 7.5 7.9 8.3精品资料试问两种检测方法是否有显著性差异？ (0.05)解：设X、Y分别表示用A，B两种方法测得的纸张亮度，Fx(x)、Fy(x)为 它们的分布函数，贝U统计假设为Ho：Fx(x) Fy(x), Hi： Fx(x) Fy(x)样本混合后按由小到大顺序排例的结果以及秩见下表。秩12345678.510111213.51516数据6.16.97.17.57.67.98.28.38.68.78.99.19.29.5由于m 7 n 9,所以选择Y的样本秩和T作为检验统

16、计量。在0.05时，拒绝域为T 43 T 76T的样本值为2+4+6+7+8.5+10+13.5=51，不在拒绝域X °内，故接受原假设， 即认为两个总体分布不存在明显差异。B组1.设 X1,.,X17 为总体 X -N(0, 2)样本，统计假设：H。： 2 9, H1： 2 9的拒绝域为S24.479。(1)求犯第I类错误的概率(2)上述统计假设中 比：23.698时，求犯第U类错误的概率解:(1)2P(S24.47929) P(416 4.47999)0.05(2)P(S2 4.47923.698) P(n 12)S16 4.4793.6983.698)0.252.某种电子元件，

17、要求平均寿命不得低于2000h,标准差不得超过130h。现从仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11批该种元件精品资料中抽取25只,测得寿命均值1950h，标准差s 148h。设元件寿命服从正态分 布，试在显著水平0.05下，确定这批元件是否合格。解：设假设检验为：H 0 :2000 ； H, :2000检验统计量T X 2000S /扁拒绝域为t1.7109 T的样本值t1.6891.7109，接受H。，即可以认为元件的寿命不低于2000h。另一方面，设假设检验：H。：21302 ；比：21302检验统计量为2x2(n 1)SX2拒绝域为22(n 1)=236.415样本值02(25

18、巧4831.2 36.415，接受 Ho，即 不超过 130h。130由以上两种假设检验结果说明在水平0.05下，认为这批元件是合格的3. 某企业生产一种电器材料，要检验原来使用的材料与一种新研制材料的疲劳 寿命（单位：小时）有无显著差异，各取若干样品做疲劳实验，所得数据如 下：原材料401101506590210270-新材料60150220310380350250450110175一般认为，材料的寿命服从对数正态分布，并可以假定原材料疲劳寿命的对数X lg与新材料疲劳寿命 的对数Y lg有相同的方差。解：由题意知，X lgN( 1, 2 由此计算得：X 2.0484，y 2.3255，Sx

19、 0.0835, s2 0.0741。 选择T检验法，检验统计量为：T X Y j'1 1S n m当0.05时，拒绝域为tty(n m 2) 2.132) , Y lgN( 2, 2)，问题归结为检验：Ho：12 ,H 1 ：12当Ho成立时，X lg、Y lg有相同的分布，从而 、有相同的分布，原材料与新材料的疲劳寿命无显著差异。将实验数据取对数，得到X lg、Y lg的样本数据：Xlg1.6022.0412.1761.8131.9542.3222.4316 0.08359 0.0741150.0686Ylg1.7782.1762.3422.4912.5892.5442.3982.

20、6532.0412.243仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢21检验统计量的样本值为-2.148,在拒绝域里，拒绝H。，接受H1，即认为原 材料与新材料的疲劳寿命有显著的差异4. 从某高校99级本科生中随机抽取了 60名学生，其英语结业考试成绩如下表。试问99级本科生的英语结业成绩是否符合正态分布？ (0.10)937583939185848277767795948991888683968179977875676968838481756685709484838280787473767086769089716686738094797877635355解：设X表示99级任意一位本科生的英

21、语结业成绩，分布函数为F(x)，统计假设:xxH°:F(x)(),H1 : F(x)()(1)选择检验统计量?2n?i(2)将X的取值划分为若干区间，得到m=4个事件：Ai X 70 ,A 70 X 80，A 80 X 90， A 90 X。(3) 在Ho成立的条件下，计算参数、2的极大似然估计值?, ?2。通过计2 * 2算得？ X 80, ?m2 9.6。(4) 在 H。成立的条件下，A(i 1,2,3,4)的概率理论估计值为：?1(7080) 9.6)(1.04)0.1492?2(8080)/9.6)(1.04)(0)( 1.04)0.3508?3(9080)/9.6)(0)0

22、.3508?41(9080)/9.6)0.1492(5)拒绝域为 2爲。(1)2.71(6) 计算¥样本值为0.622,落在接受域内，因而接受H0，所以，99级本 科生的英语结业成绩符合正态分布。5. 某种动物按体格属性分为三类，假设随机检测这种动物109只，三种体格类型的数目是：10只，53只，46只。按照某种遗传模型各种体格类型的比列之 比为：p2 : 2p(1 p): (1 p)2。问这种动物体格类型分布与遗传模型是否相符(0.05)？解：令 P1P2,P2 2p(1 p), P3 (1 p)2，统计假设为：Ho：三种类型比列之比为：P1 ： P2 ： P3设观察到的三类数量分别为：n 1, n2, n3( n1+n2+n3=109),采用极大似然估计法估计p,似然函数为：L(p) (p2)n12p(1p)n2(1 P)2n3,由 In L(p)0,2nj n2n22n3