2020新教材人教A版必修第二册第六章6.3课时作业7

1、课时作业 7 平面向量基本定理知识对点练ZH| SHI DUI DIAN LIAN知识点一基底的概念1.下面三种说法中，正确的是（）一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一 个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作 为基底中的向量.AC答案 B解析 只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故不正确，正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以正确，故选B.2.已知 e e1与 e e2不共线，a a = e e + 2e e2，b=&b=& + e e2，且 a a 与 b b 是一组基底，则 实数入的取值范围是_

2、 .1答案疋 1yAD=XCE CB)=、- AB+AD -2AB+BD.1解析考虑向量 a a，b b 共线，则有A 刁故当1疋 2 时，向量 a a, b b 不共线，可作为一组基底.知识点二用基底表示向量3已知平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 的中点, Xy R R，且均不为 0.若 PQ / BE，贝U寸_. AP = yAD，AQ = xAB，其中 x， 解析 因为 PQ = AQ- AP = xAB- yAD，由 PQ /BE，可设 PQ= BE，即 xAB-x= 1 入 所以y=人4.已知 e ei,e e是平面内两个不共线的向量，a a= 3e ei 2e e2, b b

3、=7e ei 4e e2,试用向量 a a 和 b b 表示 c.c.解 因为 a a，b b 不共线，所以可设 c c= xa a + yb b.贝 U xa a+ yb b= x(3e ei2e e2)+ y( 2e ei+ e e2)=(3x2y) e ei+ ( 2x+ y)e e2= 7e ei 4e e2.又因为 e ei, e e2不共线，3x 2y= 7,x= i,所以解得所以 c c= a a 2b b.2x+ y=- 4,尸-2, 5.在？ABCD 中，设 AC = a a, BD = b b,试用 a a, b b 表示 AB, BC.解解法一：(转化法)如图，设 AC,

4、 BD 交于点 0, i I则有 A0= 0C = AC = 2a a, i iB0= 0D=qBD = qb b. i i AB= A0+ 0B= A0 B0= 2* 2匕匕， i iBC= B0+ 0C = ?b b+ 2a a.解法二：(方程思想)设 AB = x x, BC = y y,则有/iB12.2e ei+ e e2, c c AB+ BC= AC, AD AB= BD 且 AD= BC= y y,1111x x= 2a a qb,b,y y= 2a a + 2b b， 11 11 即 AB = qa a qb b, BC = qa a+ qb b.6如图所示，已知 E, F

5、分别是矩形 ABCD 的边 BC, CD 的中点, 交于点 G,若 AB= a a, AD= b,b,用 a a, b b 表示 AG.由平行四边形法则， 得 CG=XCB+ CD)= 2 2CE + 22CF.1 由于 E, G, F 三点共线，则 2 + 2 入=1,故 k= 4. 从而 CG = 4CA, AG =AC= 4（a a+ b b）.知识点三平面向量基本定理的应用 7.设 e e1, e e2是平面内的一组基底，如果 AB = 3e e12e e2, BC = 4e + e e2,9e e2,求证：A, B, D 三点共线.证明.AB= 3e e1一 2e e2, AD =

6、AB+ BC+ CD= 15e e1 10e e2= 5(3e e1 2e e2)= 5AB,即 AD = 5AB,共线，x x+ y y= a a,即 f y y x x= b b,EF 与 AC 易知 CF=qCD,CD = 8e e1 AD 与CE= 2CB,设 CG= 2CA,贝 U 又 AD 与 AB 有公共点 A,AA,B, D 三点共线.8用向量法证明三角形的三条中线交于一点.证明 如图，设 D, E, F 分别是ABC 的三边 BC, AC, AB 的中点,TT令 AC = a a, BC= b b 为基底，TT则 AB = a a b b, AD = a ab b,T1BE=

7、 2a a+ b,b,T设 AD 与 BE 交于点 G ,且 AG=T TT:AD, BG=迟 E,TT,入口则有 AG= 2a2b b BG= qa a+QT T TCG=CA+AG=-a a+ 器-112 1二3a3b二 3X2(-a-b)TTT工12而 CF = 2(-a a b b),.CG=3CF.点 G CF.二三角形三条中线交于一点.T T T又有 AG = AB + BG =1+ (1)b,22解得2=尸 3.2_3ar-课时综合练一、选择题 1.在厶 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 BD = 2DC，设 AB = a a, AC= b,b,则 AD 可用基底 a a,

8、 b b 表示为（）12 1A.2（a a+ b b）B3a+3b1 21C3a+3bD.3（a a+b b）答案 C 2解析 因为 BD = 2DC，所以 BD = 3BC. 2 2 12 12 所以 AD = AB+ BD = AB + 3BC = AB+ 3（AC AB） = 3AB+3人。=3a a b.b.2.如果 a a 与 b b 是一组基底，则下列不能作为基底的是（）A. a a+ b b 与 a a b bB. a a + 2b b 与 2a a + b bC. a a+ b b 与a a b bD. a a 与b b答案 C解析 由已知，a a 与 b b 不共线，根据平行

9、四边形法则，可知 A，B，D 选项中的两个向量都可以作为基底，而 a a+ b b 与a a b b 共线，不能作为基底.答案4.已知|a a 匸 1, |b b|= 2，c c= a a+ b b，c c 丄 a a,贝 U U a a 与 b b 的夹角为（）n5n n2nA.6B石 C.3 D.答案 D3.若 OPi= a a，A. a a +lblbC. l+b b OP2=b b，P1P= !PP2（lM 1），则 OP 等于（）B. l+（1 lb b1l解析PiP =PP2, OP OPi 1OP2OP），.（1+lOP=OPi+QP2,.1 OP=lOP1+1+ l-OP2=a

10、 a+1+ l1+ l1+ lb.b.故选 D. 解析 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD = a a, AB= b b, AC = c,c,：c c= a a+ b,b,四边形 ABCD 为平行四边形 c c 丄 a a,n2n=2,二A6，所以 a a 与 b b 的夹角为-3.T5.如图，在四边形 ABCD 中，DC = 3AB，E 为 BC 的中点，且 AE=xAB + yAD,则 3x-2y=()13A.- B.- C. 1 D. 2答案 CTTTTTTTTTT1 1解析 由题意，得 AEAAB+ BEAAB+2BC = AB+(一 AB + AD + DC) = AB +TT

11、TTT|AB+AD.VAEAxAB+yAD，TTTTxAB+yAD=3AB+2AD.V1.故选 C.、填空题TT6.如图，在平行四边形 ABCD 中，AB= a a, AD= b,b, M 是 DC 的中点，以 a a,TTb b 为基底表示向量 AM，则 AM =_.T TAB 与 AD 不共线， .由平面向量基本定理， 得x=23,12.3x2y=3X2-2 迟=zACD 为|DC|114 4答案 b b+ 2a aT T T TT TT1 1 1 解析 AM = AD + DM = AD + qDC = AD +b b+ 尹TT TTT17._已知 A, B, C 为圆 O 上的三点，若

12、 AO = 2(AB + AC),贝 U AB 与 AC的夹 角为_.答案 90TT T1解析 VAO= 2(AB+ AC) ,.Q 为 BC 的中点.则 BC 是OO 的直径，：/BAC = 90 :T T故 AB 与 AC 的夹角为 90 :TTTTT1 28.如图，在 ABC 中，AN = 3NC, P 是 BN 上的一点，若 AP= mAB+齐 AC,则实数 m 的值为_ .T T T TT TT T T解析 设 BP = kBN，贝 U AP = AB + BP = AB + kBN = AB + k(AN AB) = AB+TTT2又 AP= mAB+ 石 AC,k 283k；AC

13、 AB =(1k)AB+ 4AC,114 4所以 1 k= m, 4 二石，解得 k=后，m=石.三、解答题9如图所示，已知 AOB 中，点 C 是点 B 关于点 A 的对称点，0D 二 2DB,TTDC 和OA交于点 E,设 OA= a a, OB= b.b.tt(1)用 a a 和 b b 表示向量 OC, DC ；TT若 OE= QA,求实数入的值.TT2解由题意，知 A 是 BC 的中点，且 OD = 3OB,T TT由平行四边形法则，知 OB+ OC = 2OA.TT TOC= 2OA- OB = 2a a b b,T T TDC=OCOD=(2a ab b)jb b=2a a5b

14、b.T T(2)TEC/DC,T T T又 EC = OC OE= (2a a b b)a a= (2 )a a b b,T5DC= 2a a 3b b,2入 14- =2 = 5，5.3TT TT1 110.如图所示，在 ABO 中，OC = 4OA, OD = OB, AD 与 BC 相交于点TTM.设 OA= a a, OB= b.b.(1)试用向量 a a, b b 表示 OM; (2)在线段 AC 上取点 E，在线段 BD 上取点 F，使 EF 过点M，设 OE=QA, 13OF = QB,求证：+-= 7.人 卩 解 不妨设 OM = ma a+ nb,b, 方面，由于 A, D ,M 三点共线，则存在 a a a彳OA+云 OB1 2又 OD = - OB，所以 OM =21+ a 另一方面， 由于B, C, M三点共线， 则存在 并1)使得CM =3MB,于是OM 又 OC = 4OA, 14OA+ POB1=a a+1+ B41+ p1 1)使得 AM = OID，于是 OMOA+ aOD1a a+1+ a2(1+ ab,贝，1m=,1+ aan=2(1+ a)即 m+ 2n= 1