重积分练习题含答案

1、第十章重积分练习结论1如果积分区域 D关于y对称，D! =(x, y)(x,y)D, x _ 0则9当 f(x,y) = f(x,y)时U f(x,y)db(x,y)db 当 f (x,y) = f (x,y)时DDi结论2：如果积分区域 D关于x轴对称，D1二(x,y)(x,y) D, y _ 0则f(x,y)d 二D02”f(x, y)dbDi当 f(x,-y) =-f(x,y)时 当 f(x,-y)二 f(x,y)时结论3：如果积分区域 D关于坐标原点O对称，则°f(x,y)d、_ 二 2 f (x, y)d rD当 f (-x,-y)二-f (x, y)时 当 f (-x,-

2、y)工 f(x, y)时其中 Di =(x, y)(x,y)w D, xO结论4：如果积分区域 D关于直线y=x对称，则f (x,y)d、 ii f(y,x)d二DD练习11求 I = JJ y x2dcr，其中 D: 1WxW1,0 兰 y 兰2Dbxb2.证明dx f(y)dy 二 f(y)(b-y)dy ( f 连续)aaabb 123.设f (x)在区间a, b上连续，且f(x) 0 ,试证明 f(x)dxdx(b-a)a、a f (x)4.计算 11 x 1 - yf (x2 y2) dxdy，其中 D 由 y=x3 , y=1, x-1 围成。D5.计算| =(x2 y2)dv ,

3、 v是由yOz平面上曲线y = . 2z绕z轴旋转所得平面vz = 2 , z = 8所围区域。6.设函数 f(x)连续，F(t) ! z2 f (x2 y2)dv，其中vV =(x, y, z) x2 + y2 兰t2,0 兰 z 兰 H ，试求 dF和7.求曲面= 1 x2 y2在点M 0(1, -1,3)的切平面与曲面 z = x2 y2所围立体的体积V2 2 2 28.设半径为R的球面匕的球心在定球面x y z a (a 0)上，问当R取何值时，二在定球面内部的那部分 11的面积最大？练习21.计算.xyd二，其中区域D是由抛物线y = x2-1及直线y=1-x所围成的区域D(27、y

4、兰1所确定的区域C8i2.计算.e"d二，其中D是由D3.计算II si n( x y) dxdy，其中D为正方形区域：0乞x乞二，0乞y乞二(2二)D4.更换积分次序:; sin x0 dx.* f(x, y)dy22 x d dx2f(x,y)dyx5计算由平面x y z =6,x =0, y = 0及x 24所围成的立体的体积37.计算三重积分hi zdxdydz，其中门为由圆锥面的z =>x2 y2及平面z=-1所围成区5、8.分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分I =x2zdv，其中门是由球面Q12x2 y2 z2 = 2及圆锥面z= x2 y2所围成（含z

5、轴部分）9. 求球面x2y2 z2二a2含在圆柱面x2 y2 = ax内部的那部分面积（a 0）(2a2(： -2)重积分练习一参考答案21.求I = "y x dd，其中D : 1兰X兰1,0兰y兰2D解： 如图，曲线y =x2把区域D分为D1和D2，其中Dj：-1空x空1 ,0<y < x2 ；2D2 : -1 _X _1, X2 _ y _2UyD1-x db= JJx ydb+ Jyxdex22=dx xD1 D21 22-y dy +匚dx J(y-X1xb1d八 3152证明f dxf f(y)dy = f f (y)(b y)dy-a- a*a(f连续)证:

6、bx左端=dx f (y)dy ,a- a'a兰y兰xD，作出积分域交换积分顺序,a兰x兰bDy*ba兰y兰bbxb bb注:左端= dx f(y)dy dy f(y)dx 二 f(y)(b-y)dy=右端，证毕! a - aa ya本题还可这样证明：txt令 F(t)二.dx. f (y)dy - . f (x)(t x)dx，证明 F (t) =0二 F(t) =0aaa3.设f(x)在区间a, b上连续，且f(x)0,试证明 bf(x)dx ' 1 dx (b-a)2 、aLa f(x)证：设平面区域 D二(x, y) a _ x _ b, a _ y _ b , D关于

7、直线y二x对称bb 1bb 1dy虫 dxdyD f (x)二 TT-dxd y .d f(y)他-DLf(y) f (x)f2(x) f2(y),|d x d d f(x)f(y)2二 d x d y (b _ a)DIfDdxdy f (x)f(y)4.计算1 , x = -1 围成。11 x 1 yf (x2 y2) dxdy，其中D解：作曲线y = x3，则积分区域被分为 D1和D2 , D1关于x轴对称，D2关于y轴对称。由于被积函数是x的奇函数，故有 x b yf(x2D2y2) dxdy 二 0 ,由于 xyf(x2 y2)的奇函数，故有i ix 1 yf (x2y2) dxdy

8、 = xdxdy 0=2xdx ° dy =DiDi2 ：( x4)dx255.计算I = (x2 y2)dv , v是由yO z平面上曲线y = 2z绕z轴旋转所得平面vz = 2, z = 8所围区域。解： 旋转面方程为x2 y2 = 2z，积分区域V =(x, y, z) X2 + y2 W 2乙 2 兰 z 兰 82 2 8I = fff(x +y )dv = dzJHxv2 y2)dxdyDz8 2z dz=336 二2z 3=?dz o d 0 r dr = 2二注：本题若采用先一后二法，将较麻烦！6设函数 f (x)连续，F(t) !f (x2y2)dv，其中v乞t2,

9、0乞z乞H ',试求空和lim匸単 dt t t2D为圆x2 y2 - t2，于V = ( x, y, z)x2解：V在xOy平面上投影当t 0时有:当t :： 0时有:从而27. 求曲面Z =1 X 'F(t) hi (z2f (x2y2)dvvH 222二 dxdy 0 (z f(x y )dzDH3 f(")H -d-3H3t22：H J f(r2)dT3空=2：H3t 2二Htf (t2)dt 3dF 232H3t 2二Htf (t2)dt 3pj匚rl匚q=lim ，所以二一二 H 3t 2 Htf (t2)t Q dtdt32 3 2H3t 2二Hf (t

10、2).F(t) 3lim 2limt0 t202tJl QQ Ji QH 3 lim-：Hf (t2) H3- ：Hf (0)3 t32 2 2y在点Mo(1,-1,3)的切平面与曲面z=x y所围立体的体积(0)V解：不难想象，该立体的上、下底曲面一个是曲面Z=x2 y2的一块，一个是切平面的一块，首先确定立体在 xOy平面上投影区域 Dx,y由于切平面的法向量是 n =zx, zy,-1m0 =2,-2, 一1，切平面方程：z(x -1) -2(y1) _(z _3) =0,即即 z =2x _2y _1从而切平面与曲面z = x2 + y2z = 2x_2y _1，消去z，可得投影Dxy

11、 : (x -1)2 (y 1)2 <1，注意到在 D 上, 2x -2y -1 _ x2 y2，所以V = 2x 2y 一1 一 x2 y2 dxdy 二 1 _(x 一1)2 一 (y 1)2 dxdyDD2-1 -=0 d0(1 -r )rdr 二；2 2 2 2 28.设半径为R的球面匕的球心在定球面 x y z a (a 0)上，问当R取何值时，丄在定球面内部的那部分 Z1的面积最大?解：可设二的方程为x2 y2 （z-a）2 =R2，从而两球面的交线是2 丄 2R 儿 2|>2、x + y = 2(4a - R )(24a，于是龙1的方程为z = a Jr2X2 y22a