2020高考文数总复习课后限时集训23正弦定理、余弦定理及其应用

1、课后限时集训（二十三）正弦定理、余弦定理及其应用（建议用时：60 分钟）A 组基础达标一、选择题1.如图所示，已知 A, B 两点分别在河的两岸，某测量者 在点 A 所在的河岸边另选定一点 C,测得 AC = 50m,/ACB =45 / CAB= 105贝 U A, B 两点的距离为（）A. 50 3 mB. 25 3 mC. 25,2 mD. 50,2 mD 因为/ACB= 45 / CAB= 105所以 B = 30.由正弦定理可知兰sinBAB 即 50 _ ABsin C，即 sin 30 _sin 45解得 AB_ 50.2m.2.在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为

2、a, b, c,若 sin A_2sin B, cosC_4 则 a_()A. .6_62C. 31B 在厶 ABC 中，由 sin A_2sin B 及正弦定理，得 a_2b,再由 cos C_4a + b c i及余弦定理，得二4,1将 b=a 代入,a- 2+22Ca-2a21:,化简整理得：2=3，二：二于，故选 B3. （2018 永州一模）在厶 ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，若32sin B = sin A+ sin C, cos B = 5,且 SxABC=6,贝 U b=()C. 4由余弦定理可得,2223216b=a+c2acx5=(a+ a

3、c,由 cos B= 3,得 sin B = f,14故SxABC=acx5=6,由得，b= 4.故选 C.4. （2018 珠海二模）设锐角 ABC 的三内角 A, B, C 所对边的边长分别为 a,b, c,且 a= 1, B = 2A,贝 U b 的取值范围为()(2,3)B. (1,3)C. ( 2, 2)vB=2A,. sin B=sin 2A=2sin Acos A. a= 1,b=2acos A= 2cos A.又厶 ABC 为锐角三角形,”n0v2Av,ovAv nn0vCv2,n n二 6vAv4,C 在厶,2b= a+ c,D.(0,2)23 2vcos Av.即 2vb=

4、2cos Av3,故选 A.5. （2018 秦皇岛一模） ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若acos B + acos C = b+ 6 则厶 ABC 的形状为（）B锐角三角形等边三角形由 d = 1SinC及正弦定理,得 d = 1亠,即 b2+Ca+ csin A+ sin Ba+ c a+ b2b2+c2a21n f f5a= bc,所以 cos A=2bc = 2，所以人=空.因为 AC AB = bccos A=牙=5,所以 c= 2,所以SMBC=*bcsin A=*X5X8._ 在厶 ABC 中，点 D 在边 AB 上, CD 丄 BC, AC

5、= 5 3, CDC.钝角三角形D .直角三角形vacos B+acos C=b+c,2 2 , 2 2 , 2 2a + c b a + b ca2ac+a：2ab=b+ c,2 2 , 2 2 , 2 2a + c b a + b c c+2b 二b+c,2 2 2 2 2 2ba + c b + c a + b c=b+ c,2bc2 2 2b+ c a b c + 2bc=b+ c,2bc2 2 2a b -c + 2bc= 2bc,a2= b2+ c2, ABC 为直角三角形.二、填空题6. （2019 南宁模拟） ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,若 s

6、in B=2sin C,且 a=V4, A=牛 贝 U c=_.2由 sin B = 2sin C 及正弦定理可得 b = 2c,在厶 ABC 中，由余弦定理得a2= b2+ c2 2bccos A,贝 U 14= 4c2+ c 4c2x1= 7c2,解得 c= . 2.7. （2018 陕西二模）在厶 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已ba+ csin Csin A+ sin B,且 b = 5, AC AB = 5,则厶 ABC 的面积是= 5, BD= 2AD, 则 AD 的长为 .5 在 ABC 中，BD = 2AD,设 AD = x(x0),贝 U B

7、D=不.在厶 BCD 中，因CD 5为 CD 丄 BC, CD = 5, BD = 2x,所以 cos/ CDB =而=条在厶 ACD 中，AD = x,厂AD2+ CD2 AC2x2+ 52(/3)CD = 5, AC = 5 -3, J 则 cos/ ADC =2XADXCDCD =x2+ 52(祸5+ / ADC =n所以 cos/ ADC = cos/ CDB,即一一=齐，解得 x2XxX52x=5,所以 AD 的长为 5.三、解答题9. (2019 武昌模拟)在厶 ABC 中，a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，且 2bcosC = 2a + c.求 B;若 b = 2

8、, a+ c= 5,求厶 ABC 的面积.解(1)由正弦定理，知 2sin Bcos C = 2sin A+ sin C,由 A+ B+ C = n,得 2sinBcos C = 2sin(B + C) + sinC,化简,得 2sin Bcos C = 2(sin Bcos C + cos Bsin C) + sin C,即 2cosBsin C + sin C = 0.1因为 sin CM0,所以 cos B=因为 0vBv n,所以 B =亍2XxX5(2)由余弦定理 b2= a2+ c2 2accos B,可知 b2= (a+ c)2 2ac 2accos B,222 jn因为 b=2

9、, a+ c= .5,所以 2 = ( .5) 2ac 2accos 空,得 ac= 1.所以SSBC= *acsin B = 2x1x10.如图， 在平面四边形ABCD 中，AB= 2 3, AC=2,ZADC= /CAB=90设/ ACD= Q/若缸 60求 BD 的长度；,(2)若/ ADB = 30 ,求 tanQ解T在 RtAADC 中，AC = 2, / ACD 60 AD = ACs in 60=又在 ABD 中,AB = 2 .3 , / BAD = 120 ,2 2 2 BD=AD+AB2AD ABcosZBAD=(.3)2+(2 .3)22X,3X2 一 3cos 120=

10、21, BD= 21.(2)v在 Rt ADC 中,ZACD=QAC= 2 ,AD=ACsin=2sinQ又在 ABD 中,ZADB= 30 ,ZCAB= 90 , ZCAD+ ZABD=180 ZADB ZCAB=60 ZABD=60ZCAD=60(90。Q =Q 30.ADAB在ABD中，由正弦定理得爲ZDBD=爲ZBDB ,sinQ2s inQsin( Q-30ABsin 304 .1sinQ-?cosQB 组能力提升1. （2019 郑州模拟）某人在 C 点测得某塔在南偏西 80塔顶仰角为 45此 人沿南偏东 40方向前进 10 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30则塔高为（测仰 角

11、的仪器距地面的距离忽略不计）（）A. 15 米B . 5 米C. 10 米D . 12 米C 如图,设塔高为 h,在 RtAAOC 中,/ ACO = 45贝 U OC= OA= h.在 Rt AOD 中，/ ADO = 30则 OD= 3h.在厶 OCD 中，/ OCD= 120 CD = 10,由余弦定理，得2 2 2OD=OC+CD-2OC CD cos/OCD,即（3h）2=h2+102-2hx10Xcos 120,2- h2-5h-50=0,解得 h= 10 或 h=-5（舍去）.2. （2019 衡水模拟）在不等边三角形 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a,2 2

12、2b,c,其中 a 为最大边，如果 sin （B+ C）vsin B+ sin C,则角 A 的取值范围为（）n厂n nA. 0, 2B. 4，n nn n 2sinA3cos 0, tan0A-23.C. 6，3D.3，2D 由题意得 sin2Avsin2B + sin2C,再由正弦定理得 a2vb2+ c2,即 b2+ c22b2+ c2-a2冗a 0,贝Ucos A2bc 0.0vAvn - - 0vAv2.又 a 为最大边，An因此得角A的取值范围是jn, n；.3. 数学九章三斜求积术：“以小斜幕，并大斜幕，减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜幕，减上，余四约之，为实，一为从隅

13、，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以 S, a, b,若在 ABC 中，ha=寸 3, hb= 2, hc= 3,根据上述公式，可以推出该二角形 外接圆的半径为_.I-14433由 1aha 1bhb1chc,得 Q3a 2b 3c,则 a : b : c2 亞:3： 2,得寸 8k4-警 6k,解得 k =3.又由余弦定理，得 cos A 9 +；? 12右,则 sin A三导，所以三角形 ABC 外接圆的直径 2R-仝密121212sin A 14312-穗x蒂-嘴,即 R-唱4.(2019 太原一模)已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别

14、为 a,b,c，cos Csin B亠+亠sin B cos C(1)求 sin(A+ B)+ sin Acos A+ cos(A-B)的最大值；若 b= .2,当厶 ABC 的面积最大时，求 ABC 的周长._b c / a bcos C+ csin B秦秦c 分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜，ha, hb, hc分别为对应的大斜、- 2fa2+ c2-b2J_I中斜、小斜上的高，贝 U s=a2xc2-1 1=2aha 2bhb令 a = 2 .3k, b= 3k, c= 2k(k0),代入 S=Ja2xc2-a2+ c2- bC2b2+ c2- a22bc解(1)由 cos Csin Bsin B+cos C，得 cos Csin Bsin Bcos C ，所以a=bcos C+ csin B, 即 sinA=sin Bcos C+ sin Csin B,又 sinA=sin(B+ C) = sin Bcos C+ sin Ccos B,所以 cos B= sin B,因为 B (0,nn ,)所以 B= 4,则 sin(A+ B) + sin Acos A+ co