2020高考理数(人教A版)总复习教学案第8章第7节抛物线

1、1第七节抛物线考纲传真1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质( (范围、 对称性、 顶点、 离心率).2.理解数形结合思想.3. 了解抛物线的实际背景及抛物 线的简单应用.1. 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1) 在平面内；(2) 动点到定点 F 的距离与到定直线 I 的距离相等;(3) 定点不在定直线上.2. 抛物线的标准方程与几何性质标准方程2y =2px(p0)2y = 2px (p0)2x = 2py(p0)-2-x = 2py (p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 1 的距离图形|1N1L臺IN市顶点O(0, 0)对称轴y= 0 x=0隹占八、

2、 、 八、 、Fd，0) )F(-职IFl。，2)F(0-2)离心率e= 1准线方程x= p X2x=p x2ypy 却范围x0, y Rx0,xRy0).()(4) 抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( () )答案 X(2)X(3)X(4)X12 22. 抛物线 y= &x 的准线方程是( () )A. y= 1B. y= 2C. x= 1D. x= 2Ay= ,2,二 x2= 4y,.准线方程为 y= 1.3. (教材改编) )顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P( 4, 2)的抛物线的标 准方程是()()2 2A. y = xB. x = 8yC. y2= 8x 或 x

3、2= yD. y2= x 或 l= 8y22 2综上知，y= x 或 x = 8y.故选 D.2px(p 0)焦点 F 的弦,3D 若焦点在 y 轴上，设抛物线方程为 x= my,由题意可知 16= 2m,：m= 8,即x2= 8y.若焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2= nx,由题意，得 4= 4n,. n= 1,2-y =一 x.44. (教材改编) )若抛物线 y= 4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是()()1715A B A.16167C. 7D.01 一B M 到准线的距离等于 M 至哄点的距离,又准线方程为 y=16,设 M(x,nt115.y),则

4、y+16 二 1,- y=花】5._(教材改编) )过抛物线 y2= 4x 的焦点的直线 I 交抛物线于 P(X1, y1) ), Q(x2, y2) )两点，如果 X1+ X2= 6,则|PQ|等于.8 | PQ| = Xi+ X2+ p= 6+ 2 = 8.抛物线的定义及应用璽型丄_【例 11(1)已知 F 是抛物线 y2= x 的焦点，A, B 是该抛物线上的两点，且|AF|+ |BF|= 3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( () )3A.4B. 1C.5已知抛物线 y2二 2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点，A(3, 2),则|PA|+ |PF|的最小值为_ 取最小

5、值时点 P 的坐标为_ .(1)C(2)7 (2, 2)(1)如图所示，设抛物线的准线为 l, AB的中点为 M ,作 AA1丄 l 于 A1, BB1丄 l 于 B1, MM1丄 l 于 M1,1由抛物线的定义知 p= 2, |AA1| + |BB1匸|AF|+ |BF 匸 3,则点p 115M 到 y 轴的距离为|MM1|生 2（皿1|+ |BB1|） 4 = 4.故选 C.课堂题型全突破方法简洁5将x= 3 代入抛物线方程 y2= 2x,得 y=6.因为 Q62,1f)1y_ V所以点 A 在抛物线内部，如图所示.77如,2)过点 P 作 PQ 丄 l 于点 Q,则|PA|+ |PF|=

6、 |PA|+ |PQ|,0I F；当 PA 丄 l,即 A, P, Q 三点共线时，|PA| + |PQ 最小，772 2最小值为 2，即|PA|+ |PF|的最小值为7,此时点 P 的纵坐标为 2,代入 y2= 2x，得 x= 2,所以所求点 P 的坐标为(2, 2).规律方法应用抛物线定义的两个关键点1 由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化2 注意灵活运用抛物线上一点 Px0, yo到焦点 F 的距离|PF匸|X0|+ p 或 |PF 匸 |y|+ p.跟盘练习(1)动圆过点( (1, 0),且与直线 X= 1 相切，则动圆的圆心的 轨迹方程为_新(2)(20 仃 全国

7、卷II)已知 F 是抛物线 C: y2= 8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，贝 U |FN匸_ .(1)y2= 4x (2)6 (1)设动圆的圆心坐标为( (x, y)，则圆心到点( (1, 0)的距离与到直线 x= 1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2= 4x.(2)如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于 点 P，APM/ OF.由题意知，F(2, 0)，|F0|= A0|= 2.点 M 为 FN 的中点，PM / OF，

8、6|MP 匸；|F0|= 1.又 |BP|=|AO|= 2, |MB|= |MP|+ |BP| = 3.7由抛物线的定义知|MF|=|MB|= 3,故|FN|= 2|MF |= 6.抛物线的标准方程及其性质题型g_【例 2(1)如图所示,过抛物线 y2= 2px(p 0)的焦点 F的直线依次交抛物线及准线于点 A , B , C ,若|BC| = 2|BF| , 且|AF|= 4,则抛物线的方程为( () )2A.y =8xB.y2= 4x2C.y =2x2D.y = x(2)在平面直角坐标系 xOy 中，设抛物线 y2= 4x 的焦点为 F ,准线为 I , P 为抛物 线上一点,PA 丄

9、l , A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜角为 120,那么|PF| =_.(1)B(2)4(1)如图，分别过点 A , B 作准线的垂线，交准线于点 E , D,设准线与 x 轴交于点 G,设|BF| = a,则由已知得|BC|= 2a ,由 定义得|BD|= a,故/BCD = 30 ,则在 Rt ACE 中,2|AE|=|AC| ,又|AF| = 4，二 |AC|= 4+ 3a , |AE|= 4，二 4+ 3a = 8 ,4从而得 a= 3,vAE / FG ,(2)法一：抛物线 y = 4x 的焦点为 F(1, 0),准线方程为 x= 1.因为直线 AF 的 倾斜角为 120所以/A

10、FO = 60又 tan 60 =yA一,所以弘=2迥因为1-(-1)PA 丄 l,所以 yp=yA= 2 3.将其代入 y2= 4x,得XP= 3,所以 |PF|= |PA| = 3-(-1)= 4.法二：抛物线 y2= 4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=- 1.因为 PA 丄 I,所以|PA| =|PF |.4 -00-p 4mF-,c-Ap=2.8又因为直线 AF 的倾斜角为 120 ,所以/ AFO = 60 ,所以/ PAF = 60 ,91 ( 一 1 )所以 PAF 为等边三角形,所以|PF 匸|AF| = cO AFO = 4.规律方法1.求抛物线标准方程的常用方法

11、是待定系数法，其关键是判断焦点 位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 P,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特 点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪练习(1)0 为坐标原点，F 为抛物线 C: y2= 4x 的焦点，P 为 C 上一点若|PF| = 4,则厶 POF 的面积为( () )A.、2B. 3C. 2D. 3(2)设抛物线 C: y2= 2px(p 0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF 匸 5,若以 MF为直径的圆过点( (0, 2),则抛物线 C

12、的方程为( () )A. y2= 4x 或 y2= 8xB. y2= 2x 或 y2= 8xC. y2= 4x 或 y2= 16xD. y2= 2x 或 y2= 16x2(1)B(2)C(1)抛物线 y = 4x 的焦点为 F(1,0)，准线为直线 x= 1.设点 P(x，y)，由抛物线的定义，得|PF| = x+1= 4，所以 x= 3.把 x= 3 代入 y2= 4x，得 y= 3, 故 POF 的面积 S= 2X|OF|X|y| = fx1X2 3= 3.故选 B.如图所示，抛物线 y2= 2px 的焦点 F 坐标为p, 0 ,准线方 程为 l:x= p.由|MF|= 5,可得点 M 到

13、准线的距离为 5,则 点 M 的横坐标为5 p,可设 M 5 p, m ,则 MF 中点 B 的 坐标为 B?, m jT以MF 为直径的圆过点 A(0, 2),A|AB| = 2阿| =；，则有自2 2 2+ m 2 = 5 ,解得m= 4,由点 M 在抛物线上可得 m2= 42= 2p 5g，解o2得 p= 2 或 p= 8,A所求抛物线方程为 y= 4x 或 y= 16x,故选 C.10直线与抛物线的位置关系I S31_【例 3】(2018 全国卷I)设抛物线 C: y2= 2x,点 A(2, 0)，B( 2, 0)，过点 A的直线 I 与 C 交于 M , N 两点.(1) 当 I 与

14、 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2) 证明：/ ABM = / ABN.解当I 与 x 轴垂直时，1 的方程为 x= 2,可得点 M 的坐标为(2, 2)或(2， 2).1 1所以直线 BM 的方程为 y=十+ 1 或 y= 2x 1.(2)证明：当 I 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以/ ABM = / ABN.当 I 与 x 轴不垂直时，设 I 的方程为 y= k(x 2)(kM0)，M(x1，y1)， N(X2，y2)，则 x10，x20.y= kx 2，2 2由2 2得 ky 2y 4k= 0，产 2x直线 BM，BN 的斜率之和为y1 1y2 2x2y1+

15、 X1y2+ 2(y1+ y2) )kBM+ kBN=+=.X1+ 2 X2+ 2(X1+ 2(x2+ 2)将 X1= yk + 2，血=+ 2 及 y1+ y2， yy 的表达式代入式分子，可得2y1y2+ 4k(y1+ y2) 8+ 8X2y1+ X1y2+ 2(y1+ y2)=k= k所以 kBM+ kBN= 0,可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以/ABM =/ABN. 综上，/ ABM =/ ABN.可知 y1+ y2= ，y1y2=4.柑码盾9ft回回11规律方法解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似数的关系.2 有关直线与抛

16、物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物 线的焦点，可直接使用公式|AB|= xi+ X2+ p,若不过焦点,则必须用弦长公式.3 涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入” 的解法提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用 “点差法”求解跟踪练习（1）过点（0,1）作直线，使它与抛物线 y2= 4x 仅有一个公共点，这样的直线有_ .（2）（）（2019 临沂模拟）已知点 A（m, 4）（）（m0）在抛物线 x=4y 上，过点 A 作倾斜角互 补的两条直线 li和 I2,且 li, 12与抛物线的另一个交点分别为 B，C.1求证：直线 BC 的斜率为

17、定值；2若抛物线上存在两点关于 BC 对称，求|BC|的取值范围.（1） 3 结合图形分析可知（图略），满足题意的直线共有 3 条:直线 x= 0，过点（0,1）且平行于 x 轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线 x= 0）.（2）解证明：点 A（m, 4）在抛物线上，:.16= m，二 m= 4，又 m0，二 m=4.设 B（x1，y1），C（x2，y2），X1+ 4 x2+ 4 X1+ x2+ 8贝 U kAB+ kAC= 4 + 4 = 4= 0， X1+ X2= 8.2 2y2 y1x2 x1X1+ x2- kBC= 4 = 2，X2 X14 X2 X14直线 BC

18、的斜率为定值2.般要用到根与系12设直线 BC 的方程为 y= 2x+ b，P（X3，ys），Q（x4，y4）关于直线 BC 对称，设 PQ 的中点为 M（xo, yo），贝 Uy4 y3X3+ X4X01 .kPQ4M2 , X01.X4 X342213:.M(1, 2+ b).19又点 M 在抛物线内部， 一 2+ b4 即 b9y= 2x+ b,2由丫2 2得 x + 8x 4b= 0,x 二 4y,X3+ X4= 8, X3X4= 4b. |BC|=( (1 + 4|X3 X4|=肃(X3+ X4 $ 4X3X4=5X64+16b. 又 b9，：|BC| 10 5. |BC 的取值范围

19、为(10.5,+x) ).921. (2018 全国卷I)设抛物线 C:卜4x 的焦点为 F，过点(2, 0)且斜率为 3 的直 线与C 交于 M,N 两点，则 FM FN =()A.5B.6C.7D.8222Jy=3( (x+2) )，D 过点(2, 0)且斜率为2的直线的方程为 y=2(x+ 2),由得2 2x=1,x=4,x 5x+ 4= 0,解得 x= 1 或 x= 4,所以或ly= 2,4,N(4, 4),易知 F(1, 0),所以 FM = (0, 2), FN = (3, 4),所以 FM FN = 8.故选 D.2. (2016 全国卷I)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C

20、于 A, B 两点，交 C 的准 线于D ,E 两点.已知|AB| = 4.2, |DE| = 2 5,则 C 的焦点到准线的距离为( () )A. 2B. 4C. 6D. 8真题自主验效果近年灣題+感悟规律1433ly2= 4x,B 设抛物线的方程为 y2= 2px(p0),圆的方程为 x2+ y2=上不妨设 M(1,2),15- AB|= 4 2, |DE|= 2 5,抛物线的准线方程为 x= pp,不妨设 AP 2 同 D( P, V5)p, 2 2 , D P,5 在162p+8=r,p+5= r2同222r圆 x + y = r 上,-16+ 8= 4 + 5, p= 4(负值舍去)

21、. C 的焦点到准线的距离为 4.3. (2018 全国卷川)已知点 M( 1,1)和抛物线 C: y2= 4x,过 C 的焦点:- 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点若/ AMB = 90贝 U k=：2由题意知抛物线的焦点为(1, 0),则过 C 的焦点且斜率为 k 的直线方程为 yy=k(x1),二 k(x1)(kM0),由2 2ly 二 4x,消去 y,得 k2(x1)2= 4x,即 k2x2 (2k2+2 22k2+ 4|y= k(x1),4)x+ k = 0.设 A(xi,yi), B(x2,y2),则 Xl+ X2=72 ,X1X2= 1.由 f2ky = 4x12 244消去 x 得 y = 4 y+1 ,即 y ky 4= 0,