2020高考理数(北师大版)教学案第6章第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1、第三节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题考纲传真1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3 会从实际情境中抽象出 一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识全通关券实虽础-梱除盲点 IB ! ： ! rH ! * ! a V V B W 0;（3）直线 I 另一侧的平面区域内的点（x, y）的坐标满足 ax+ by+ cv0.所以，只需在直线 I 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（X0, y）,从 ax。+ by0+ c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.2. 线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量 x,

2、 y 组成的不等式（组）线性约束条件由 x, y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于 x, y 的函数解析式，女口 z= 2x+ 3y 等线性目标函数关于 x, y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x, y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解二元线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题常用结论课刖1.点 Pi(xi,yi)和 P2(x2,y2)位于直线 Ax+ By+ C= 0 的两侧的充要条件是(Axi+ Byi+C)(AX2+By?+ C)v0;位于直线 Ax+ By+ C= 0 同侧的充要条件是(Axi+Byi

3、+C)(AX2+ By2+ C) 0.2.常见目标函数的几何意义a z(1) z= ax+ by: z 表示直线 y= bx+ b 在 y 轴上的截距的 b 倍；y b(2)Z=: z 表示可行域内的点(x, y)和点(a, b)连线的斜率；x a2 ?(3) z= (x a) + (y b) : z 表示可行域内的点(x, y)和点(a, b)间的距离的平方.基础自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”)不等式 Ax+ By+ C0 表示的平面区域一定在直线 Ax+ By+ C = 0 的上方.()(2) 线性目标函数的最优解可能不唯一.()(3) 任何一个二

4、元一次不等式组都表示平面上的一个区域.()线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()答案(1)X V xV2. 下列各点中，不在 x+ y K 0 表示的平面区域内的是()A. (0,0)B . ( 1,1)C. ( 1,3)D . (2, 3)C 一 1 + 3 10,二点(一 1,3)不在 x+ y K0 表示的平面区域内,故选 C.x3y+6V0,3.不等式组|表示的平面区域是()Ay+ 2 0ABCDC 把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在 x 3y+ 6v0 表示的平面区域内，点(0,0)在 x y+ 20 表示的平面区域内,故选 C.2x+ y 0, x

5、+ 2y20,4.设变量 x, y 满足约束条件x 0,y 1,5.在平面直角坐标系中，不等式组 x+y 0,表示的平面区域的面积x y 40,C(x2y+1)(x+y3)w0,即x+ y30,项 C 符合.故选 C.x+ y 1, 所表示的平面区域为 D，若直线 y= kx 3y 0与平面区域 D 有公共点，则 k 的取值范围为（）A.3,3(171B.I ,3u一+o3,+C.( 一oo,一3U3, +o;1们D.11CO1 co)x 2y+ 1 0,C 满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示.因为直线 y= kx 3 过定点(0， 3)，所以当 y= kx-3 过点 C(1,0)时，k

6、= 3;当 y= kx 3 过点 B( 1,0)时， k= 3,所以当 k3 时，直线 y= kx 3 与平面区域 D 有公共点.故选 C.了 x+y 2044，则 m 的值为()1 1 2D 两点的横坐标分别为 2， 2m,所以SMBC=2(2 + 2m)(1 + m)-(2 + 2m)(1 +124m)= 3(1 + m) = 3，解得 m= 3(舍去)或 m= 1.规律方法(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平 行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几 个三角形，分别求解再求和即可*77=-11)fLJF1表

7、示的平面区域为三角形，且其面积等于(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合 的方法求解.求目标函数的最值I题型?考法 1 求线性目标函数的最值【例 1】(2019 济南模拟)设变量 x , y 满足约束条件xy 1,则 z= 2xy 的取值范围为()x+ 3y 3,A 1,3C. 1,5B 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图知， 当目标函数 z= 2x y 经过点 A(3,0)时取得最大值 2X3 0 = 6,经过点 B(0,1)时取 得最小值 2X0 1 = 1,所以 z 的取值范围为1,6,故选B.?考法 2 求非线性目标函数的最值x+

8、 y 0,B . 1,6D. 5,6则 x2+ y2的最大x 0,值是()A. 4B. 9C. 10D. 12扫码撤XH.回:扫马書(2)若 x, y 满足约束条件 x 20,(1)C(2)3 (1)如图，作出不等式组所表示的可行域(阴影部分)，设可行域2 2 2内任一点 P(x, y),则 x + y 的几何意义为|OP| .显然,当点 P 与点 A 重合时,取X+ y= 2, 由解得 A(3, 1).2x-3y= 9,所以 x2+ y2的最大值为 32+ (1)2= 10故选 C.Xy+ 1 0,.xy + 1 = 0,(2)由约束条件 X 2 0得 A2, |.z=y 的几何意义为可行域

9、内的动点与原点连线的斜率，则 z=y 的最大值为彳2=3.?考法 3 求参数的值或取值范围x 1,【例 3】 已知 a0, x, y 满足约束条件 x+yax3,小值为 1,则 a=()A1c 1A2B. 3A 约束条件对应的平面区域是以点(1, 2a), (1,2)和(3,0)为顶点的三角形及其内部，当 y= 2x+z 经过点(1, 2a)时，z 取得最小值 1,则 2 2a= 1, a1 =2 故选 A.规律方法1.求目标函数最值的解题步骤(1) 作图一一画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2) 平移一一将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置

10、；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得.求值一一解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.2.常见的三类目标函数(1) 截距型：形如 z= ax+ by.a 求这类目标函数的最值常将函数 z= ax+ by 转化为直线的斜截式：y= bx+b，通过求直线的截距 b 的最值间接求出 z 的最值.(2) 距离型：形如 z= (x a)2+ (y b)2.y b(3) 斜率型：形如 z=.x a易错警示：注意转化的等价性及几何意义.x y 0,跟踪塚习(1)(2018 浙江高考)若 x, y 满足约束条件 2x+y 2,+ 3y 的最小值是_ 最大值是_ .px+ 4y 13

11、0,且有无穷多个点(x, y)x+y4 0,使目标函数 z= x+ my 取得最小值，则 m=_ .(1) 28(2) 1(1)由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2),(1,1), (4, 2)为顶点的三角形及其内部区域(图略).由线性规划的知识可知,目标函数 z= x+ 3y 在点(2,2)处取得最大值,在点(4, 2)处取得最小值,则最小 值 Zmin= 46= 2,最大值 Zmax= 2+ 6= 8.(2) 作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示ALr213=011J *112 25 6x若 m= 0,则 z= x,目标函数 z= x+ my 取得最小值的最优解只有

12、一个，不符 合题意.11 z若 mH0,则目标函数 z= x+ my 可看作斜率为一 m 的动直线 y=忌%+，1若 mv0,则m0,数形结合知使目标函数 z= x+ my 取得最小值的最优 解不可能有无穷多个；1 -若 m0,则mv0,数形结合可知,当动直线与直线 AB 重合时，有无穷1多个点(x, y)在线段 AB 上,使目标函数 z= x+ my 取得最小值，即 = 1,则 m= 1.综上可知，m= 1.线性规划的实际应用I题型3|【例 4】 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A, B, C 三种主要原 料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：、

13、原料ABC甲483乙5510现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产 甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮 乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的 车皮数.(1) 用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出 此最大利润.了 4x+5yW200，8x+ 5y 360,解(1)由已知，x，y 满足的数学关系式为3x+10y 0，y 0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1

14、)中的阴影部分4x+5y=200图(1)设利润为 z 万元，则目标函数为 z= 2x+ 3y.2z2考虑 z= 2x+ 3y,将它变形为 y= x+3,它的图像是斜率为一 3,随 z 变化 的一族平行直线，3 为直线在 y 轴上的截距，当 3 取最大值时，z 的值最大.又因为 x, y 满足约束条件，所以由图（2）可知，当直线 z= 2x+ 3y 经过可行 域上的点 M 时，截距 3 最大，即 z 最大.4x+ 5y= 200，解方程组$3x+ 10y= 300,得点 M 的坐标为（20,24）,所以 zmax= 2X20+ 3X24= 112.答：生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车

15、皮时利润最大，且最大利润为112 万元.规律方法解线性规划应用题的步骤（1）设变量；（2）列约束条件；建目标函数；（4）画可行域；求最优解； 作答.跟踪塚习 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A, B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品 可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额px 2y 20,yw0,=3x+ 2y 的最大值为6作出可行域为如图所示的 ABC 所表示的阴影区域， 作出直线 3x+2y=0,并平移该直线,当直线过点 A(2,0)时，目标函数 z= 3x+ 2y 取得最大值,且Z

16、max=3X2+2X0=6.A（吨）3212B（吨）128A.12 万元B. 16 万元C. 17 万元D. 18 万元D 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨，每天所获利3x+ 2y0, y0,图阴影部分所示,由图形可知,当直线 z= 3x + 4y 经过点 A(2,3)时，z 取最大值,最大值为 3X2+ 4X3= 18.真题自主验效果近年考題-惑悟规律xy 0,3. (2015 全国卷I)若 x, y 满足约束条件 xy 0,贝吐的最大值为-x+ y 4 0,- A(1,3). x 的最大值为 3. 入3 画出可行域如图阴影所示点(x, y)在点A处时x最大.由*x= 1, x+ y4= 0,得*x= 1,y= 3.4. (2016 全国卷I)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型 材料，生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时；生产一件 产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时生产一件产品 A 的利润 为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材 料 90 kg,则在不超过 600个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的