2020高考理数总复习课后限时集训46抛物线

1、1 课后限时集训（四十六） （建议用时：60 分钟） A 组基础达标 一、选择题 1. 抛物线 y= ax2的准线方程是 y= 1,则 a 的值为（） 1 1 A. B. C. 4 D. 4 4 4 2 2 1 1 1 B 由 y=ax ,变形得 x= -y= 2xy,二 p=石.又抛物线的准线方程是 y 1 1 =1, 4a=1，解得 a= 4. 2. 若动点 M（x, y）到点 F（4,0）的距离比它到直线 x= 5 的距离小 1,则点M 的轨迹方程是（） A. x= 4 B . x=4 C. y2= 8x D . y2= 16x D 依题意可知点 M 到点 F 的距离等于点 M 到直线

2、x= 4 的距离，因此 点 M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上，p= 8，点 M 的 轨迹的方程为 y2= 16x,故选 D. 3. 已知 AB 是抛物线 卜 8x 的一条焦点弦，|AB|= 16，则 AB 中点 C 的横坐 标是（ ） A. 3 B. 4 C . 6 D . 8 6 设 A（X1, y1）, B（x2, y2）,则 AB|=X1 + x2+ p= 16,又 p = 4,所以 X1 + x2 X1 + x2 =12,所以点 C 的横坐标是2 = 6. 4 .以 x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点 P（1, m）到焦点的距离 为 4,则抛物线的方程是（

3、） 2 2 2 A . y=4x B . y= 12x C . y2= 6x D . y2= 12x3 D 设抛物线方程为 y2= 2px(p0),则准线方程为 x=号，由题知 1+号= 4, 二 p= 6,.抛物线方程为 y2= 12x,故选 D. 5. (2019 湖北荆州模拟)从抛物线 y2= 4x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准 线的垂线，垂足为M，且|PM 匸 9,设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为( ) 罟 B.2 C 竽 D 弩 C 设 P(xo, yo),由抛物线 y2 = 4x,可知其焦点 F 的坐标为(1,0)，故|PM| 0 4f2 4f2 =XD + 1=

4、 9,解得 X0 = 8,故 P 点坐标为(8,4 2),所以 kPF = = . 1 8 7 二、填空题 6. _ (2019 泰安期末)若抛物线 x2 = 4y 上的点 A 到焦点的距离为 10,则点 A 到 x 轴的距离是 . 9 根据题意，抛物线 x2= 4y 的准线方程为 y= 1,点 A 到准线的距离为 10,故点 A 到 x 轴的距离是 9. 7. (2019 营口期末)直线 y= k(x 1)与抛物线 y2= 4x 交于 A, B 两点，若 AB| =普,则 k= _ . 3 设 A(x1, y1), B(x2, y2)，因为直线 AB 经过抛物线 y2= 4x 的焦点，所 2

5、 16 1o |y = 4x, 以 AB| = X1 + X2+ 2=，所以 X1 + x?=.联立 得到 k2x2 (2k2 + 4)x 3 3 y= k(x 1) 2 + k2 = 0, 8. (2018 北京高考)已知直线 I 过点(1,0)且垂直于 x 轴，若 I 被抛物线 y2= 4ax 截得的线段长为 4,则抛物线的焦点坐标为 _ . (1,0)由题知直线 I 的方程为 x = 1 ,则直线与抛物线的交点为(1 ,所以 x1 + X2 = 2k2 + 4 k2 = 10 3 ,所以 k= 土 3. 4 吃一 a)(a0). 又直线被抛物线截得的线段长为 4,所以 4 a=4,即 a

6、= 1.所以抛 物线的焦点坐标为(1,0). 三、解答题 9. (2019 襄阳模拟)已知点 F 0, ，M(0,4),动点 P 到点 F 的距离与到直线 1 y= 4 的距离相等. (1) 求点 P 的轨迹方程； (2) 是否存在定直线y= a,使得以PM为直径的圆与直线y= a的相交弦长为 定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由. 解设 P(x, y)，由题意得x2y= y+4，化简得 y = x2. 点 P 的轨迹方程为 x2= y. (2)假设存在定直线 y= a,使得以 PM 为直径的圆与直线 y= a 的相交弦长为 定值, 以 PM 为直径的圆与直线 y= a 的相交弦

7、长为 存在定直线 y=字，以 PM 为直径的圆与直线 y=15的相交弦长为定值. 设 P(t, t2)，则以 PM 为直径的圆方程为 (応丄 t2+ 4 卜-2 丿+ 厂2 ) 若 a 为常数，则对于任意实数 y, l 为定值的条件是 a昙 0,即 a =曽时, 2 2 2 t + t 4 = 45 10如图，已知点 F 为抛物线 E: y2 = 2px(p0)的焦点，点 A(2, m)在抛物 线 E 上，且 AF|= 3.6 (1) 求抛物线 E 的方程； (2) 已知点 G( 1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明：GF 为/ AGB 的平 分线. 解由抛物线定义可得|AF|=

8、 2+ p= 3,解得 p= 2. 抛物线 E 的方程为 y2= 4x. (2)证明：点 A(2, m)在抛物线 E 上, m2 = 4X 2,解得 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2.2)，由 A(2,2 2), F(1,0), 直线 AF 的方程为 y= 2 2(x 1), 2 得 2x 5x + 2 = 0,解得 x = 2 又 G( 1,0), kGA+ kGB= 0, Z AGF=Z BGF. GF 为Z AGB 的平分线. B 组能力提升 1. (2019 鸡西模拟)已知圆 C: x2 + y2 + 6x+ 8y+ 21= 0,抛物线 y2= 8x 的准 线为 I设抛物线上任

9、意一点 P 到直线 I 的距离为 m,则 m+ |PC|的最小值为( ) y= 2 2x 1 , y2=4x, kGA = 2,2 3， kGB = 2.2 3， 7 A. 5 B. 41 C. .41 2 D. 48 B 由题意得，圆 C 的圆心坐标为(3, 4),抛物线的焦点为 F(2,0).根 据抛物线的定义，得 m+ |PC|= |PF|+ |PC| |FC|= .41. 2. (2019长春模拟)过抛物线y2= 2px(p0)的焦点F且倾斜角为 120 的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则歸的值等于() 2 3. (2019 山东枣庄期末)已知抛物线 C 仁

10、y= 2px(p0)的焦点 F 与双曲线 2 2 C2： 3 b2 1(b 0)的一个焦点重合，若点 F 到双曲线 C2的一条渐近线的距离 为 1,则 Ci的焦点 F 到其准线的距离为 _ . 方程为 x= 2,故 C1的焦点 F 到其准线的距离为 4. 4. (2019 江西吉安模拟)已知抛物线 C 仁 x2 = 2py(p0)与圆 C2: x2+ y2 = 5 的两个交点之间的距离为 4. 求 p 的值； 2 2一 3 B A(X1, y1), B(X2, y2), |AB| = X1 + x2 + p= sin + x2 5P35P3 -P P 一 6 6 - X1 p+p 6 十 2

11、3p 2P + 2 1 3.故选 A. 根据题意，双曲线的一个焦点(b2 + 3, 0),它到一条渐近线 b= 1,所以焦点 F(2,0),所以抛物线方程为 y2= 8x,其准线 b 的距离为 9 (2)设过抛物线 C1的焦点 F 且斜率为 k 的直线与抛物线交于 A, B 两点，与 圆 C2交于 C, D 两点，当 k 0,1时，求|AB|CD|的取值范围. 解(1)由题意知，交点坐标为(2,1), (2,1),代入抛物线 C1： x2= 2py, 解得 p = 2. (2)由(1)知，抛物线 C1方程为 x2 = 4y,故抛物线 C1的焦点 F(0,1).设直线方10 程为 y= kx+ 1 与抛物线 Ci: x2= 4y 联立化简得 x24kx 4= 0.设 A(xi, yi), B(X2 , y2)，贝U x1 + x2 = 4k , X1x2 = 4 ,二 |AB| =寸 1 + k2 寸(X1 + X2)2 4x1x2 = + k2 24x 4 = 4(1 + k2). 圆心 C2到直线 y=