《信号与系统》讲义教案-第4章 离散时间信号与系统的频域分析

1、第4章 离散时间信号与系统的频域分析 29第4章 离散时间信号与系统的频域分析4.0 引言本章讨论离散时间信号与系统的频域分析,讨论的基本思路和方法与第3章完全对应,许多结论也很类似。通过对离散时间傅立叶级数和变换的讨论，将揭示离散时间信号时域与频域特性的关系.不仅会看到许多性质与特性在连续时间信号与系统分析中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如离散时间傅立叶级数和变换总是以2为周期的。通过卷积的讨论,对LTI系统建立频域分析的方法。同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。与连续时间LTI系统一样,由线性常系数差分方程描述的LTI系统可以很方便的由方程得到系统

2、的频率响应函数，实现系统的频域分析,其基本过程及涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似. 4.1 离散时间LTI系统对复指数信号的响应在第3章开始，我们已经介绍过，线性时不变系统对复指数信号的响应。这里，我们再来讨论一下。离散LTI系统对复指数信号的响应： 由时域分析方法：  （4.1） （4.2）可见LTI系统对复指数信号的响应就是输入的复指数信号乘以由系统产生的加权系数，其响应是很容易求得的。若将离散时域信号表征为的线性组合的话，则可以方便地求得系统对时域信号的响应。当Z 取模为1的复指数信号时，就是我们下面要讨论的信号与系统的频域分析。4.2 离散

3、时间周期信号的傅立叶级数表示4.2.1 离散时间傅里叶级数前面我们已讨论过成谐波关系的复指数信号集:   该信号集中每一个信号都以N为周期，且该集合中只有N个信号是彼此独立的。将这N个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以N为周期的序列。即：   （4.3）其中k为N个相连的整数。这一表达式就称为离散时间傅里叶级数（DFS），其中也 称为周期信号的频谱。4.2.2 傅里叶级数的系数 由两边同乘以，得     显然仍是以 N 为周期的，两边对n在一个周期内求和：  而   所以   即 或   (4.4)显然上式满

4、足，即也是以N为周期的，或者说中只有N个是独立的。   对实信号同样有： ，。4.2.3 离散时间周期性方波序列的频谱图4.1 离散时间周期方波序列 由傅立叶级数系数的公式式(4.4)可得：                          (4.5)          

5、;       (4.6)显然的包络具有的形状。见图4.2：图4.2 对应不同和值时的傅立叶级数系数当不变、时，频谱的包络形状不变，只是幅度减小，谱线间隔变小。  当改变、N不变时，由的包络具有形状，而，可知其包络形状一定发生变化。当时，包络的第一个零点会远离原点从而使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，在区间考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。4.3 离散时间非周期信号的傅立叶变换4.3.1 从傅里叶级数到傅立叶变换让我们先来观察周期性矩

6、形脉冲信号，取其周期N=10、20与40时，其频谱的变化情况如图4.3所示。在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：当信号周期N增大时,频谱的包络形状不变,幅度减小,而频谱的谱线变密。当时,有,而从时域看,当周期信号的周期时,就变成了一个非周期的有限长序列。可以预见，对一个非周期的有限长序列,它的频谱应该是一个连续的频谱。图4.3 周期性矩形脉冲信号，取其周期N=10、20与40对周期信号由DFS有，即当时，令有 (4.7) 显然，对是以为周期的。将其与表达式比较有： (4.8)，  于是：当时，。 当k在一个周期范围内变化时，在范围内变化，所以积分区

7、间是。表明： (4.9)离散时间序列可以分解为频率在区间上连续分布的、幅度为的复指数分量的线性组合。结论：离散时间非周期信号的傅立叶变换对为： (4.10) (4.11)4.3.2 常用离散时间非周期信号的傅立叶变换1、  (4.12)通常是复函数。 的模和相位： （4.13） （4.14） 信号的幅频特性如图4.4所示： 图4.4 ，a>0和a<0的幅频特性 由图可以得到:时,信号表现为低通特性（LPF）,为单调指数衰减;时,信号表现为高通特性(HPF),为摆动指数衰减。 2、        （4.15）可以得

8、出结论:实偶序列 实偶函数3、矩形脉冲:   （4.16）当时,有同样的结论:实偶序列 实偶函数两点比较: 显然有：(1) 与对应的周期信号比较关系成立。可见：周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱上的采样；(2) 与对应的连续时间信号比较   ，如图4.5和4.6所示: 图4.5离散时间矩形脉冲N1=2时域和频域波形图4.6 连续时间矩形脉冲时域和频域波形可见：连续非周期信号的频谱是非周期性的，而离散非周期信号的频谱是周期的4、 （4.17）如图4.7图4.7 单位脉冲时域和频域5、 频域均匀冲激串   （4.18）  6、 （4.19）如图4.8所示：

9、图4.8 离散时间钟形信号时域和频域4.4 离散时间傅立叶级数和傅里叶变换的收敛离散时间傅立叶级数是一个有限项的级数，确定的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。而对于傅立叶变换，当序列是无限长序列时,由于表达式是无穷项级数,当然会存在收敛问题. 收敛条件有两组：，则存在，且级数一致收敛于；，则级数以均方误差最小准则收敛于。 可以得到以下结论:   当以部分复指数分量之和近似信号时,也会出现起伏和振荡;但随着,的振荡频率变高,起伏幅度变小。 当时,振荡与起伏将完全消失,不会出现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问题。 4.5 周期信号的傅立叶变换对

10、连续时间信号,有由此推断对离散时间信号或许有相似的情况.但由于DTFT一定是以为周期的,因此,频域的冲激应该是周期性的冲激串:     对其作反变换有: 可见： （4.20）由离散时间傅立叶级数，有 （4.21）因此,周期信号可表示为：   （4.22）           （4.23）从上式可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全一致的。 例4.1 分析信号的频谱。由离散时间函数周期性可知，不一定是周期的，当时，才是周期的。此时，其傅立叶变换为 （4.24）的频谱如图4.9所示：图4.9 x(n)=c

11、osw0n的频谱波形例4.2 均匀脉冲串   （4.25）  （4.26）均匀脉冲串的时域和频域如图4.10所示比较：与连续时间信号对应的情况是一致的。图4.10 均匀脉冲串时和频域4.6 傅立叶级数的性质 离散时间傅立叶级数的很多性质跟连续时间傅立叶级数相似，下面简单说明一下离散时间傅立叶级数较特殊的几个性质。1、 相乘若、都是以N为周期的信号，且：                （周期卷积） （4.27）2、差分 （4.28）3、Passiv

12、al定理   （4.29）等式左边是在一个周期内的平均功率，右边是的各次谐波所拥有的平均功率之和。上式表明：一个周期信号的平均功率等于它的所有的谐波分量的平均功率之和。4.7 傅立叶变换的性质离散时间傅立叶变换也有很多与连续时间傅立叶变换类似的性质,当然也有某些明显的差别。通过对离散时间傅立叶变换性质的讨论,目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。1、周期性若 则 （4.30）注意:这一点是与连续时间傅立叶变换不同的。2、 线性   （4.31）3、 时移与频移、  若 则 （4.32a） （4.32b）4、 时间反转、若 则 （4.33）5、共轭对称性若 则

13、（4.34）由此可进一步得到以下结论:(1) 若是实信号,则 所以 ，即 ， （4.35）因此：  （4.36）(2) 若是实偶信号,则，,。   于是有： （4.37）   即是实偶函数(3) 若是实奇信号,则，。于是有： （4.38）表明是虚奇函数。(4) 若,则：。 （4.39） 这些结论与连续时间情况下完全一致。6、 时域差分与求和 （4.40） （4.41）说明:可以看出离散时间傅立叶变换中相当于连续时间傅立叶变换中的。例4.3  由时域求和性质，可得 （4.42）7、 时域内插  定义：    所以 （

14、4.43）由图4.11表明：信号的时域与频域存在一种相反的关系。当k增加时，在时域上展开，而其变换则在频域上压缩。图4.11 时域和频域之间的相反关系8、 频域微分 （4.44） （4.45）9、 Parseval定理:   对非周期离散时间信号： （4.46）称为的能量谱密度函数。对周期离散时间信号：   （4.47） 称为周期信号的功率谱。4.8离散时间傅里叶变换性质及常用傅里叶变换对表4.1  傅里叶变换性质性质非周期信号傅里叶变换线性时移频移共轭时间反转时间扩展卷积相乘时域差分续表4.1  傅里叶变换性质累加频域微分

15、实信号的共轭对称性为实信号实、偶信号的对称性为实、偶信号实且偶实、奇信号的对称性为实、奇信号纯虚且为奇实信号的奇偶分析【为实】【为实】非周期信号的帕斯瓦尔定理表4.2  基本傅里叶变换对信号傅里叶变换傅里叶级数系数，对全部k续表4.2  基本傅里叶变换对周期性方波和  是以为周期的 1    4.9 离散时间LTI系统的频域分析系统的频率响应刻画了LTI系统的频域表征，它是系统单位脉冲响应的傅立叶变换。工程中使用相当广泛的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常系数差分方程来表征: （4

16、.48）对线性常系数差分方程描述的系统，有以下的方法可求得系统的频率响应。 方法一:  可以从求解时的差分方程得到,而将变换而求得。方法二:  可以通过求出时方程的解而得到因为是LTI系统的特征函数, 此时的。方法三:  对方程两边进行离散时间傅立叶变换,可得到:   （4.48）可见是一个有理函数.当需要得到时,往往是从方程得到进而通过反变换求得。 但所有的LTI系统并不一定都存在频域响应。这里有一个先决条件，即 （4.49）这说明了只有稳定系统，才能求其频率响应。所表征的系统一定是一个稳定系统。例4.4 已知描

17、述某系统的差分方程为  则由方程可得  所以 由差分方程所描述的系统通过求频率响应可直接求出其单位脉冲响应。频域分析的方法：1. 将信号与系统的时域表征转换为频域表征： ，2. 利用卷积性质：   3. 将频域表征转换为时域表征：   利用频域分析方法，对输入、输出与系统的表征，若已知其中两个表征就可求出第三个，从而不仅可以分析系统而且还可以设计系统。习题四4.1现对一信号给出如下信息：1. 是实、偶信号；2. 有周期和傅里叶系数；3. ；4.；证明：，并给出常数A、B和C的值。4.2考虑下面三个基波周期为6的离散时间信号：(a)求的傅里叶级数系数。 (b)求的傅里叶级数系数。(c)利用(a)和(b)的结果，并按照离散