非线性曲线拟合的最小二乘法及其应用

1、专题研究 ZHUANTI YANJIU _非线性曲线拟合的 最小二桑艳丽（烟台大学数学与信息科学学院264005）【摘要】本文主要讨论了怎样利用最小二乘法求MtftH 曲圾的数据拟合问題，并调试出了求解此问题的程序.【关键词】最小二乘弦；数据处理；曲皱拟合在科学实验和生产实践中,我们常常需要从一组 测定的数据（例如N个点（X.）去求得自变疑和因 变虽丁的一个近似解析表达式=卩（巧，战小二乘法是 经常使用的方法最小二乘法适用于做线性拟合此时 拟合曲线的一般式为y = abx.而在许多实际问题中. 变S：之间内住的关系呈非线性关系，此时我们可以把 拟合曲线yahx中的门变戢x和因变鼠y看成是 氏他

2、变比的函数，例如须來的函数关系足/（）=" +仪心人 令X = g（x9） j = f（y9 ） t则经过变换后即得r = a + bx的形 式于是许多非姒性问题就转换成广线件问题而得到解决.如何找到更符合实际情况的数据拟合，一方而夏 根据业知识和经验來呦定经验曲线的近似公式另 一方而要根据散点图的分布形状及待点來选择适十的 曲线拟合这些数据.例1在某化学反咸甲测得生成物浓度y（沟与时 间f（min）的数据见下农试用啟小二乘法建立龙与y 之问的经验公式.t1$4567846488.89.229.59.79.86t9101112131415161010.210.3210.4210.51

3、0.5510.5810.6解 将（2知数据点Gy）（心1.2.16）描绘在坐 标纸上（图略），观察可知拟介曲线y二卩应具冇如下 特点:（1）1«1线随着”的增加而上升但上升速度由快到慢.（2）当20时,反应尚未开始，即y = 当/ 8时, y迫于某一常数故1也线通过廉点11的一水平渐近线.具有上述特点的曲线很多选用不同的数学模熨. 可以获得不同的拟合曲线和经验公式.方案1设想，=卩（）是双曲线的并且具有下面 的衣达形式y=通过变吐变换将它转化为关于 特定参数的线性函数可以将上式改写成J-二“+丄，y 1 于是引进新变yd） = Jd>= 则上式变换成外Qy 1“ + 6巴根据线

4、性最小二乘法的解法可以求得a=80.6621.6=16,6822-代入到厂占得经能公式：厂80.6621/ + 161.6822 *方案2设世y = p（f）具右描数形式y = w ' .a > 0.6 <0.为了在求参数“和b时避免求解一个非线性 方程组，对上式两边取对数In y = In a +,引入新变虽y,2' = In y,/l2）二卜并记A = In a,R = bt则上式就 是严二A +从，根据最小二乘法的解法，可以求得 A = -4.4807. = -1.0567,于是可以得到 a ="= 0.011325.6 =/? =-1.0567.故

5、得另一个经強公式:y = _J.O5670.011325己.把这两个经脸公式进行比较：经於公式均方«菱tA大M差公式1.19 x 10-0.1568 x 10 -公式0.34 x 10 '0.277 x 10 '从均方i吴蓋和展大偏羞两个不同的角度存.肩者 优亍舸者因此在解决实际问题时，常常要经过反复分 析多次选择、计算和比较才能获得较好的数学模型.园小二乘法的应川很广.下而我们利用昴小二乘 法來解决一个实际问题.例2川电PR （/= 10伏的电池给电容益充电电容 -丄器上f时刻的电压为a）二（-5）e其中u 是电容器的初始电压丁是充电常数试山卜面一组数 据确定a和丁

6、.t/s0.51234579(TV6.366.487.26&22&66&999.439.63解电容RS t r时刻的电压为：im = U7U-g_j-丄e，电池电压：（/= 10,故有：«/«）= 10- （10- 5比即=（10- ®）e计，对上式两边取对数得： In （10 - U（t） = ln（10 - 卜十），引入新变 fiy =卜2叫|93兰© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 专题研究

7、ZHUANTIYANJIU需注意的问题孙跃(河北省怀来县沙城中学 075400)可彳咲(Y, 3-汽lU(l. + 8)在奇中数学中常见形如ax2 + bxc的函数求 df * if值域的问题，这类函数在作适当变形后很容易转化为 关于x的二次方程这时又可转化为学卞所熟悉的根的 判別式问题，但这种方法常常”在变形上的不等价利逻 辑上的不严密而导致结果错误现归纳鑒理如下：1. 如果函数y =呼广肛+(* 0)的定义域是ax + ex +f/? 可放心用A法求函数的值域.例1求函数)=台的值域.解析 已知函数可化为:yx2-(y+2)x+(2y+ 1)=0.(i) 十 y # 0, A = (y +

8、 2)2 - 4y(2y + 1) > 0.得 yw |-y V7.O)U lO.-VT-.(ii) 当y = OH寸，"琴，合适.原函数的值域为卜-V7-,i-V7-.2. 如果函数y= "：+' +： (d * 0)的分子与分dx + e.v + /母中有相同的肉式，可约去，然后求新的函数的值域.例2求函数厂于耳山)的值域.解析巫式变形为y=,隹；3)3工07(x+l)(x-3)是事实，原分式的分子与分母町以约去工-3得乂M 1.3 (接上页)ln(10 一 (/)* = /.并记“ =ln(10 一 UJ上=则原 T式变为y = “ +必求解得<1

9、= 1.4912,6 =-0.2857,进而 求得几=5.5577. t = 3.5002.Matlab程疗如下:编写M文件：function f = curvefun (x 9 (data )f= 10-(10-x(l)* exp (-tdata/x (2)；%x(l)=0；x(2)=tol；原函数的值域为卜°°'£)u(£,l )u(l,+oo).3如果函数y二ax2 + bx + c * 0)的定义域不dx- + ex是尺且分子与分母中没冇相同的冈式可以血接用A 法求函数的值域.事实上假如xo使得血+ ex0 +/= 0. 而<uo+

10、6xu + c 0.则、气函数y= 忖加+ ；转化为方® y(dx2 + ex + /) = ax1 + bx + c fn 也不是此方程的 根所以方程ydx2 + ex +/) = av2 bx + c fl身性质决 定了它没冇甌这样的根.例3求函数厂£一防的值域.x* 2x -S解析由y= £_： + 得r _ 2x -3(y- Da?- (2y- 1 )x - 3y - 1 = 0.(i)当"1 时山于 A=(2y-lF+4(j -l)(3y+l)M0.(ii)当 y 二 1 B4 J!)x = -4 合适. 处函数的偵域为30<3 s711

11、" u点拨尽管该函数的定义域为(-OC,-1)U(-1,3)U (3,+oo),可是当 * = -1,3 时不是方程(y - l)x2-(2y- 1 )x - 3y - 1 =0 的根也就是说(y - 1 )x2 - (2/- l)x- 3y - 1 = 0门身没冇x = -l,3这样的根.总结 形如y = 叭+/ 类的函数求值域时.ax + ex +f如果分子、分付冇公冈式先约掀(注意加n变虽x的约 束条件)化为其他类函数的求值域问弧如果分子、分 付没有公闪式就可以冇:接使用A法求解.输人命令：tdata=0.5 1 2 3 4 5 7 9;v<|ata=6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 ； x0=5,3；x=lsqciirvefil( 4 curvefun x0, (data, V