2020年新高考一轮理数：课时达标检测(十三)导数的概念及运算

1、课时达标检测(十三) 导数的概念及运算 小题对点练一一点点落实 对点练( (一)导数的运算 1. (2018 泉州质检) )设函数 f(x) = x(x+ k)(x+ 2k),则 f (x)=( ) A. 3x2+ 3kx+ k2 B. x2 + 2kx + 2k2 2 2 2 2 C. 3x + 6kx+ 2k D. 3x + 6kx+ k 解析：选 C 法一：f(x) = x(x+ k)(x+ 2k), 2 f (x) = (x + k)(x + 2k)+ x(x + k)(x + 2k) =(x+ k) ( + 2k) + x(x+ 2k) + x(x + k) = 3x + 2 6kx

2、+ 2k，故选 C. 法二：因为 f(x)= x(x+ k)(x+ 2k) = x3 + 3kx2+ 2k2x，所以 f (x)= 3x2 + 6kx + 2k2,故选 C. 2. (2018 泰安一 -模) )给出下列结论: 1 1 1 1 若 y= log2x, 则八xm ；若尸灵，则y=荷； 2 27；若 y=20)，则 y= axln a.其中正确的个数是 解析：选 D 根据求导公式可知正确；若 y= 1 = Vx 1 2 所以正确；若 f(x) = 7,则 f (x)= 2x 3,所以 f (3) = 27,所以正确；若 y= ax(a0), 则 y = axln a,所以正确.因此

3、正确的结论个数是 4,故选 D. 3.若函数 y= xm的导函数为 y= 6x5,则 m=( ) A. 4 B . 5 C. 6 D. 7 解析：选 C 因为 y= xm,所以 y = mxm 1，与 y = 6x5相比较，可得 m= 6. 4.已知函数 x f(x) -x(e 是自然对数的底数) )，则其导函数 f( (X)( ) 1+ x A. ex 1 x B. ex C. 1+ x D. 1 x x x - 解析：选 B x e xe 1 x 函数 f(x) x，则其导函数 f( (X) 2x x，故选 B. 1 x1，则 y 1 -3 =2x = 2x x， 5若 f(x)= x2

4、2x 4ln x,贝 V f (x)0 , f (x)= 2x 2 4 = 6.（2018 信阳模拟）已知函数 f（x） = aex+ x，若 1f （0）2，则实数 a 的取值范围是（ B (0,1) C (1,2) D (2,3) 解析：选 B 根据题意，f(x) = aex + x,贝 U f (x) = (ae ) + x = aex + 1,贝 U f (0) = a +1，若 1f （0）2，则 1a+ 12，解得 0a1，所以实数 a 的取值范围为（0,1）.故选 B. 对点练（二）导数的几何意义 1. （2018 安徽八校联考）函数 f（x）= tan 中在:，电处的切线的倾斜

5、角 a为（ ） n Bn C. 选 B. 2.若函数 f(x) = x3 x+ 3 的图象在点 P 处的切线平行于直线 y= 2x 1，则点 P 的坐标 为()() A (1,3) B ( 1,3) C (1,3)或(1,3) D (1, 3) 2 2 解析：选 C f (x)= 3x 1,令 f (x)= 2,即 3x 1 = 2? x= 1 或一 1,又 f(1)= 3, f( 1)= 3,所以 P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3), ( 1,3)均不在直线 y= 2x 1 上，故点 P 的 坐标为(1,3)或(1,3) 3. （2018 福州质检）过点（1,1）与曲线 f（x）

6、= x3 x2 2x+ 1 相切的直线有（ ） 2x2 2x 4 2x2 2x 4 ，由 f (x) = 0，得 0vxv2,.f (x)0, a -衣恒成立，又在定义域内， 衣 (8, 0)，所以实 数 a 的取值范围是0,+8). 7. (2017 柳州二模) )已知函数 f(x)= x2+ bx+ c(b, c R), F(x)= fxX，若 F(x)的图象 e 在 x= 0 处的切线方程为 y= 2x + c,则函数 f(x)的最小值是( ( ) ) A. 2 B. 1 C . 0 D . 1 2x + b 2 2x b 解析：选 C -f (x)= 2x+ b,.F(x)=尹,F (

7、x) = -x ，又 F(x)的图象在 x e e F 0 尸-2, b= C, 2 =0 处的切线方程为 y= 2x + C,. 得 -f(x) = (x + 2) 0, f(X) )min lF(0 = c, |_b= 4, =0. 8. (2018 唐山模拟) )已知函数 f(x)= x2 1, g(x)= ln x，则下列说法中正确的为 ( ( ) ) A. f(x), g(x)的图象在点( (1,0)处有公切线 B. 存在 f(x)的图象的某条切线与 g(x)的图象的某条切线平行 C. f(x), g(x)的图象有且只有一个交点 D. f(x), g(x)的图象有且只有三个交点 解析

8、：选 B 对于 A , f(x)的图象在点( (1,0)处的切线为 y= 2x 2,函数 g(x)的图象在点 (1,0)处的切线为 y= x 1,故 A 错误；对于 B,函数 g(x)的图象在(1,0)处的切线为 y= x 1, 设函数 f(x)的图象在点( (a, b)处的切线与 y= x 1 平行，则 f (a) = 2a =1, a = 2 故 b= 2 2 1 = 4，即 g(x)的图象在(1,0)处的切线与 f(x)的图象在1, 4 处的切线平行，B 正确；如图作出两函数的图象， 可知两函数的图象有两个交点， C , D 错误.故选 B. 9. (2018 包头一模) )已知函数 f

9、(x)= x3+ ax+ 1 的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7), 则 a= _ . 解析：函数 f(x)= x3 + ax+1 的导数为 f (x)= 3x2 + a, f (1) = 3 + a,又 f(1) = a+ 2, 所以切线方程为 y a 2 = (3 + a)(x 1)，因为切线经过点(2,7),所以 7 a 2= (3 + a)(2 1),解得 a = 1. 答案：1 大题综合练一一迁移贯通 1. (2018 兰州双基过关考试) )定义在实数集上的函数 f(x)= x2 + x, g(x) = y3- 2x+ m. (1) 求函数 f(x)的图象在 x = 1

10、处的切线方程； 若 f(x) g(x)对任意的 x - 4,4恒成立，求实数 m 的取值范围. 解：( (1)Tf(x) = x2+ x,.f(1) = 2. f (x) = 2x+ 1,.f (1)= 3. 所求切线方程为 y- 2 = 3(x 1),即即 3x- y-1 = 0. 1 3 2 (2) 令 h(x)= g(x)- f(x)= jx - x - 3x+ m, 贝 U h (x)= (x-3)(x+ 1). 当一 4W xw - 1 时，h (x) 0; 当一 1v x 0. 要使 f(x) g(x)恒成立，即 h(x)maxW 0 , 由上知 h(x)的最大值在 x =- 1

11、或 x = 4 处取得， K 5 20 而 h(- 1) = m + 3, h(4) = m-, 5 5 5 h(x)的最大值为 m+ 5,.m+3w 0,即 mw - . 实数 m 的取值范围为 -a,- 3 . 2. (2018 青岛期末 股函数 f(x)= ax-?,曲线 y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 7x 4y- 12= 0. (1)求 f(x)的解析式； 证明曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x= 0 和直线 y= x 所围成的三角形面积为定 值，并求此定值. 7 1 解：( (1)方程 7x-4y- 12 = 0 可化为 y= x- 3，当 x = 2 时，

12、y=；. 4 J 2 b 又因为 f (x)= a+ 2, 即 y- xo- 令 x = o,得 y=-xo，所以切线与直线 x = o 的交点坐标为 o,- =2xo，所以切线与直线 y= x 的交点坐标为( (2xo,2xo). 所以曲线 y= f(x)在点 P(xo, yo)处的切线与直线 x = 0, y= x 所围成的三角形的面积 S = 故曲线 y= f(x)上任一点处的切线与直线 x= o, y= x 所围成的三角形面积为定值，且此 定值为 6. 3.已知函数 f(x) = Tx3 2x2+ 3x(x R)的图象为曲线 C. 3 (1) 求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围

13、； (2) 若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标 的取值范围. 证明：不存在与曲线 C 同时切于两个不同点的直线. 解：( (1)由题意得 f (x)= x2-4x+ 3, 2 贝 y f (x)= (x- 2) 1 -1, 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是 1 ,+). (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k, k - 1, 则由题意，及(1)可知， 解得一 1 1, 所以；b 7 a+ 4= 4. a= 1, 解得 b= 3, 3 所以 f(x) = x 7 (2)证明：设 P(xo, 3 yo)为曲线 y= f(x)上任一点，

14、由 y = 1 + x2知曲线在点 P(xo, yo)处的 切线方程为 y yo = x- xo), y= x，得 y= x 2 2 故由1 1, 得 x (8, 2- 2U (1,3) U 2 + 2 ,+). (3)证明：设存在直线与曲线 C 同时切于不同的两点 A(xi, yi), B(X2, y2) ), xi X2,则 点 A(xi，yi)处的切线方程为 y X? 2X2 + 3xi = (X2 4xi + 3)(X Xi),化简得 y= (Xi 4xi + 3)x+ |X3 + 2X2，而点 B(X2, y2)处的切线方程是 y= (X2 4X2 + 3)x+ |X3 + 2X2 . _ 2 2 2 3 2 由于两切线是冋一直线，则有 Xi 4xi + 3= X2 4X2 + 3，即 Xi + X2= 4;又有一 xi+ 2xi =3X2 + 2X2，即一2(X1 X2) (-Xi+ X1X2+