(完整word版)复变函数总结完整版

1、第一章复数1i2=-i=-ii之匚1欧拉公式实部 ReRe z z虚部2 运算乙z2：=Re zi= Re z22z1二z2= Re z1二z2iTmz1二z2二Re z1zRe z2r (Imz1Im z2ZiZ23二x1iy1x2iy2x-ix2ix1y2ix2y1- y1y2= ：X1X2- y1y2i x1y2x?y14乙 乙Z2X1i% X2-iy2；/x?-x“22 2i2 2Z2Z2Z2X2iy2X2-iy2x?y?x?科25z=x_iy共轭复数z，z =(x+iy xiy )= x2+ y2共轭技巧运算律P1P1 页3 代数，几何表示x iyz z 与平面点x, y-对应，与向

2、量- 对应辐角 当ZM0 0 时，向量 z z 和 x x 轴正向之间的夹角0，记作0=Arg=Arg z=vz=v0- 2k二 3 3把位于-冗 二0Wn的“叫做 ArgArg z z 辐角主值 记作九= =arg Zo4 如何寻找 arg zjt例：z=1-iz=1-i- -4JIz=iz=i2兀z=1+iz=1+i4z=-1z=-1nz=x+iyz=x+iyImIm z zIm乙=Im z2k=k= 1 1 5 极坐标:x = r cos71,y =r sin利用欧拉公式e71= cos71i sin71=rez2r2e =r1r2ei?1ei = r1r2ei y6 高次幂及 n 次方

3、zn=z zz “z二rne - rncosnJ- i sinnv凡是满足方程= Z的3值称为 z z 的 n n 次方根，记作= n. z可得到Zii =2k二第二章解析函数1 极限2 函数极限复变函数对于任一Z D都有W F 与其对应彤-f z注：与实际情况相比，定义域，值域变化例f z i；= zlim f z= 一二z Zo z zo当一二=f Zo时，连续称f z当zZo时以 A A 为极限例1证明f z二Z在每一点都连续证：f(Zf(Zop = Z Zo= Z Zo| T0ZT Zo所以f zi；=z在每一点都连续3 导数f Zo二limZof z - f Zoz Zodf(z)Z

4、=Zof z =C时有(C ) = 0f g i；= f g f gez= ez例 4 4 证明f z二Z不可导解：f z = Z = xiy其中u x, y=xv x, y _ _yu,vu,v 关于 x,yx,y 可微juGV-1 1不满足 C-RC-R 条件所以在每一点都不可导；:x例5f z = Rez解：f z = Rez = xu X, y =x v x, y =0；:ucv-1 0不满足 C-RC-R 条件所以在每 一点都不可导:xy例6fzbz2解：f z二z? =x22y其中u x, y二x2y2v x,y =0根据 C-RC-R 条件可得2x = 0,2y = 0 = x

5、= 0, y = 0所以该函数在z=0处可导4 解析若f Z在Z0的一个邻域内都可导，此时称用 C-RC-R 条件必须明确 u,vu,vf z在Z0处解析。四则运算f二g = f - gf g Z = f g g zrkf = kfFnn -4z二nz证：对-z有limf z =z - f zC - Clim zm 卩z=0所以(C) = 0例 3 3 证明f z = z不可导Zof Z - fZoZ - Zoz - Zox - iyz _z0z -z0z -z0 x iy当；r 0时，不存在，所以不可导。定理:f z =u x, y !亠iv x, y在z= xiy处可导=u u, v v

6、在x, y处可微,且满足 C-RC-R条件昶二兰亠兰tycydx且f Z上dxex例：证明f z = ezez= ez解：f z =ez二excosy iexsiny贝H u x, y二excos y v x, y二exs i ny exsin yexsin y任一点x iy处满足 C-RC-R 条件.:y；:x所以ez处处解析f z=丄i = excosy - iexsin y = ezexex练习：求下列函数的导数f (Z )= Z 2 z-：u:y=2xy:v:x-2xy根据 C-RC-R 方程可得-：u22 tV2=3x yx3y2.x-：uv小= 2xy2xy x = 0, y =

7、0yex所以当z=0时f z存在导数且导数为 0 0，其它点不存在导数。初等函数I常数H指数函数ez= excos y i sin y 定义域 ezi-ez=ez12ezd23t=ez（cos2兀+ i sin2兀）=ez（ez） = ez皿对数函数称满足z = e，的- 叫做z的对数函数，记作 =In z.:ux沖xecogecow；xjy2解：f z = z z = x2y2x iy = x3ix2y xy2iy3= x3xy2i x2y y3u x, y = x3xy2v x, y = x2y y3所以丄=3x2y2ex3y2=x2分类：类比nz的求法(经验)目标：寻找I申=arga幅角

8、主值可用：z = e z = re，- u iv、斗工口i H苗u 4ivu ivi Hu旧iv过程：z=re = e3=e=e e =re” nr=e,e = e二u= ln r,v - v 2k二k = 0,二1,二2.所 以=u iv = ln r i v 2k；= In r izrgz = In z i argz 2k二k = 0, _1,_2 例：求Ln -1Ln 1 iLn i的值arg -1二二Ln(1)=1 n -1 + i(arg(1 )+2k兀)=i兀(2k +1) k =0,1,2arg1 i =-+ i(arg(1+i )+2k兀)=丄1 n2 + i二+ 2k k=0

9、,1,2214丿JIarg i =-IV幕函数对于任意复数，当z=0时k =0, -1,_2例 2 2：求1 i3i=eln13r=e3jln 14=V三角函数例 1 1 ：求i11的值解：Ln 1 i = I n1 iLn i = In i i argi 2k二=1i二+2k =0,1,二2k2丿C2: z t =1 it0 _t _1iz_ize +ecosz二2iz . ize - esin z二2i例：求sin 1 ic o s5 i解:si n1i二丄ei1i-e 12icos5 i歸ei5je5 j 第三章复变函数的积分1 复积分定理 3.3.1 1 设 C C 是复平面上的逐段光

10、滑曲线fz二ux,y ivx,y在 C C 上 可 积Cf z dz二Cu x,y dx - v x, y dy iCu x, y dy vx, y dxCCC注：C C 是线方式跟一元一样方法一：思路：复数T实化把函数f z = u iv与微分dz二dx - idy相乘，可得Cf z dCu x,y d v x, y dy iCu x, y dy v x, ydx方法二：参数方程法核心：把C参数C C:zt= t z - z0z04 柯西积分公式1处处解析f z在简单闭曲线 C C 所围成的区域内则f a二ze.1 o解:ezdz二ezi_1练习:2卡3z2 +计算.2ze3z1dz解:2

11、13z21、2zedpi12”,212卡nifn十z精准分离f-znsin z .dzZ生2z3sin z2Zo一0Zn Zoo n 心=0ZnZo-、3 3Zn= Xniyn ；z= xiyn；：X T Xo ,、吕丿（n t ）y T yo4 4 Z Z级数问题S Z!Z2Z3 ZnSn?部分和数列odod若lim Sn=So= 1Zn则：Z Zn收敛，反之则发散。n性质：1 1 若 7 Z Zn- n都收敛，则 7 7 Z Zn t L_ - - Z Z -二 收敛2 2 若一个收敛，一个发散，可推出发散& T So3 3（n t比）L_Sn4t TSon-：若瓦|an咼 nZ

12、an绝对收敛若区a*= *处 但为an收敛，为条件收敛ZnT ZoJn0（n t悶）国nT国o等比级数：Sn00zn例：求的收敛半径及收敛圆n吕n泰勒级数泰勒定理：设函数f(z )在圆 K K :z-z0|cR内解析，贝y f(z在K K 内可以展成幕级数0f (n1 )f Z八CnZ-Z0 n其中，Cn, (n=0,1,2n=0,1,2.)，且展式还是唯一的。n曲n!例 1 1：求f z = ez在z =0处的泰勒展式 解：f(z)=eZ在全平面上解析，f(nz)=eZ,f(n30)=1所以在z = 0处的泰勒展式为2nez=1z z:2!n!z1-zn1 -zSn一;zHzz 1时收敛,幕

13、级数oOn二Cnz-z0n =0oOIn则v Cnn z0求收敛域Jlimfn匚Cn=0-He0 :-0+ocCn 1解：因为limn予C二limn1=1所以级数的收敛半径为 R=1R=1，收敛圆为z：1例 2 2：1将函数f Z2展成Z - i的幕级数0 z）解1(1、( 1、1(Z-(z-严 12 1 _ 21十2-叶+n-i+ (1-z$订一Z丿J - i _ (z - j)丿(1-i)J-i)J-i)Jf Z二z-i V2)罗朗级数罗朗定理 若函数f（z ）在圆环D:r |z z0| cR（O cR兰比）内解析,QQ则当z D时，有f z = Cnz -z0nn :其中Cnn =0,_

14、1一2例：将函数f z在圆环（1 1）1：z：2（ 2 2）2 z：（z1 Z2 ）内展成罗朗级数。解：（1 1 ）在1 |z : 2内，由于1 z-1, - 1，所以zz_1 z-2 z-2-2n zOzz】(2.丿Zn=0_nf z-z-1 z-2 z-2Zn=0lZ丿Zn=0lZ1 1 12匸2二1n =0Z11,2ZZ（2 2）在2 - z -内，由于:1，所以n 1n =021 _ 1 1Z T一2彳21zW2n1n n mZZ1171zjz2!第 5 章留数理论(残数)求函数f z =S：nZ在z=1处的留数。z -1解：因为z41以z=1为一级零点，而sin 1 = 0，因此f

15、z以z=1为一级极点。孤立奇点定义：若函数f(z在Z0的去心邻域0Z Z。R0：:内解析， 在Z0点不解析，则称z0为f Z的孤立奇点。.24心sinzAzz. , n例：113!5!2nZ2n 1 !1zfz2_z_3i一1益石s i iz2n J3nZz = 0为一级极点.1111, nz=0为本性奇点定义：设函数fz以有限项点Z0为孤立奇点，即f Z在Zo的去心邻域10vz-z0 R内解析，则称积分f (z dz的值为函数2riCf Z在点Zo处的留数记作:1JResfZ,Z0fzdz其中,C:z Zo= PvR，C C 的方向是逆时针。2!0 Jz :11所以C4 =1.丄2! 2!3

16、!Res f z,1Z4-1Z=1=丄sin 14例 2 2:求函数Z gf z =ez在z = 0处的留数解：z =0是f z的本性奇点，因为z屯f z l=ez1_Z Z二e ezn -1Zn-1!-I 1 -丄丄n! zn(n T ) n!1 1 1可得Res f z ,0 =12!2!3!(n 1 )n!第 7 章傅里叶变换通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。定义：对满足某些条件的函数ft在-：，：上有定义，则称F =；f t e-dt为傅里叶变换。同时f(t)da为傅里叶逆变换a注：傅里叶变换是把函数f t变为函数F 3求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分4两种常见的积分

17、方法：凑微分、分部积分1/e dx二一e d -：ix =aaJsin(7x +1 dx = 1 Jsin(7x + 1 d(7x +1 )=cos7x十1)_3 exx2_ exd x2-3exx26 exxdx-3exx26 xex- exdxx 2xx-3e x 6xe 6ex2sin xdx=x2sin x - :sin xd x2=x2sin x - 2 . xsin xdx =x2si n x - 2 xs in x _ sin xdx2=x sin x2xsinx2cosxx3exdx=x3ex-exd x3=x3ex-3 exx2dx傅里叶逆变换是把函数F变为函数f t复习积分：x e3x，dx =1e、2 3x2-33x2J3e2d 3x2-3二6注：u vdx二u v - udvF -= Jf t e_dt00 e丄tdt -idteg)P +ico-i _ -2-函数定义：如果对于任意一个在区间-：，=上连续的函数ft,恒有0t -t0f tdt二f t。，则称t为：- -函数。例 1 1 ：求、一函数的 F F 例1求f (t)=10t mst sF ；f t e