泛函分析习题解答

1、第七章习题解答1. 设(X, d)为一度量空间，令U (Xo, ) x|x X,d(x,Xo), S(Xo, ) x|x X,d(x,Xo)问U(X0,)的闭包是否等于S(xo, ) ?解不一定。例如离散空间(X, d)o U(X0,1)=xo,而S(Xo,1)=X。因此当X多于两点时，U(xo,1)的闭包不等于S(Xo,1) 02. 设C a,b是区间a,b上无限次可微函数的全体，定义证明C a,b按d(f,g)成度量空间。证明(1)若 d(f,g)=0,则 max- a t b 1f (t) g(r)(t)严(t) g(r)(t)=0,即 f=gf(r)(t) g(r)(t)1 f(r)(

2、t) g(r)(t)1(2) d(f ,g)- maxr 02 a t b=d (f, g) +d (g, h)因此C a,b按d(f,g)成度量空间。3. 设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集Oi,O2 On包含B,而且On Bn 11证明 令On BOn d(X,B) -, n 1,2 .On是开集：设X0 On ,则存在 毛 B,使 n1、-1d(X0,X1)一。设 一 d(X0,X1)0,则易验证U(X0, ) On,这就证明了 On是 开集 nn1.显然 0nB。右x0n则对每一个n,有xn B使d(x,x1) -，因此n 1n 1nxnx(n)。因B是闭集，必有X B ,所以

3、OnB on 14.设d (x, y)为空间X上的距离，证明_d_(x,y)d(X, y)1 d(x, y)是X上的距离。证明 (1)若 d (x, y)。则 d (x, y) 0 ,必有 x=y(2) g|d(x, y) d(x,z) d(y,z)而上在o,)上是单增函数，于是1 t_(x, y)_T(x,y)d(x，Z) d(y，Z)1 d(x, y)1 d(x,z) d(y, z)= d(x,z)d(y,z)1 d(x, z) d(y,z) 1 d(x, z) d(y,z)Lj(x,z) _T(y,z)01 d(x,z) 1 d(y, z)5. 证明点列 fn按习题2中距离收敛与f C

4、a,b的充要条件为fn的各阶导数在a , b上一致收敛于f的各阶导数证明 若 fn按习题2中距离收敛与f C a,b,即d(f,fn)tfnNt)八)02噌1fn(r)(t)f >0 (n1因此对每个r,-1maxr a t br 0 2fn(r)(t)f 1fn(r)(t) f(r)(t)>0 (nmax fn(r)(t) f(r)(t)>0 (n )，即 fn")在a , b上一致收敛于 f (r)(t) a t b反之，若的fn (t)各阶导数在a , b上一致收敛于f (t),则任意 o,存在ro ,使1；存在Nr ,使当n r r0 12r2Nr 时，ma

5、xfnf(r)(t),r 0,1,2, ro,取 2 r0N=max N1Nn,当 n>N时,d(ff1 max02r a t b1fn(r)(t)f(r)(t)fn(r)(t)f(r)(t)即 d (f, fn)>0 (n ) o6.设B a,b,证明度量空间Ca,b中的集f|当tB时f (t) =0为Ca,b中的闭集,而集 A=f| 当 t B时，|f (t) |a (a 0)为开集的充要条件是B为闭集。证明 记£=。|当t B时f (t) =0。设储 E, fn按Ca,b中度量收敛于f,即在a, b上fn(t)一致收敛于f (t)o设t B,则f(t) lim fn

6、(t) 0,所以f E,这就证明了 E n为闭集充分性。当B是闭集时，设fAo因f在B上连续而B是有界闭集，必有t0 B,使 f(t0)max f (t) o 设 a f (t0)0。我们证明必有 U (f, ) A。设g U(f,),则若 t B,必有 |f(t) g(t) ，于是 |g(t)| |f(t) g(t) |f(t)|f(t0) a,所以 g A,这样就证明了 A是开集必要性。设A是开集，要证明B是闭集，只要证明对任意tn B,n 1,2.若tnt0 (n ),必有 t0 B。倘若 t°B,则定义fo(t)a |tt01 o 于是对任意 tB ,fo(t)a |tt0|

7、 a 因此f0(t)A由于A是开集，必有0,当f Ca, b且d(f,f0) 时，f A。定义，n=1, 2。则 d( fn, f0) 1 tn t0 | o(n )因此当|tn to|时，fnA。但是 fn(tn) a |t to | |tnto | a ,此与 3A的必要条件:对任意t B,有fn(t) a矛盾 因此必有to Bo7. 设E及F是度量空间中的两个集，如果d(E,F) o,证明必有不相交开集。及G分别 包含E及F。证明 设 d(E,F) o。令。x|d(x,E) -, G x|d(x,F) -则E O,F G,且O G ，事实上，若O G ，则有z O G，所以存在E中的点

8、x 使 d(x,z)一，F 中点 y 使 d(y,z)<,于是 d(x, y) d(x, z) d(y,z),此与22d(x, y) d (E, F) 矛盾。8 .设Ba , b表示a , b上实有界函数全体，对Ba , b中任意两元素f, g Ba , b, 规定距离为d( f, g) sup | f (t) g(t)|。证明Ba, b不是可分空间。a t b证明 对任意 t0 a , b,定义 ft0(t) 1,t a,t0)2,t to,b)则ft°(t) Ba, b,且若t t2, d(ft1,ft2) 1 o 倘若Ba, b是不可分的,则有可数稠 、一-11. 一金子

9、集 gn n1,对任意 t0 a, b, U(ft0,2)必有某 gn，即 d(gn,) - o 由于a, b11上的点的全体是不可数集。这样必有某g , t1,t2，使gU (f. ,-) , gU(ft ,-)，于nn % 2 nt2 211是 d(九，ft2) d(ft1,gn) d(gn,ft2) 2 2 1 此与 d(L,ft2) 1 矛盾，因此 Ba, b不是可分 空间。族开集，使得对每个x X ,有9 .设X是可分距离空间，为X的一个开覆盖，即 是中的开集0,使得x O,证明必可从中选出可数个集组成X的一个开覆盖Ox。Ox。证明 若x X,必有Ox,使x Ox,因Ox是开集，必有

10、某自然数n,使U(x)n设x 是X的可数稠密子集，于是在U(x,工)中必有某U (xk,工)，且U(xk,2) n n 12n2n2n1、111.事头上，右 y U(xk,一)，则 d(y,x) d(y,xj d(xx)一 一所以 2n2n 2n n,1 、八y un ) Ox。2n1. .1这样我们就证明了对任意x X,存在k, n使x U(xq')且存在U(xk,)O 2n2n取覆盖U(Xk,二)的O,记为Ok n是X的可数覆盖。10. XX,.证明f(x)是X上连续函数。2n为距离空间，A为X中子集，令f (x) infd(x, y),xy a-证明若x° X,.对任意

11、 0,存在y° A,使d(x0,y。)弧d(x，y) 2f (x0) 2。取0。则当 d(x,x0)时，f(x) inf d(x, y) d(x, y0)d(x,x0) d(x0,y0)f浴)因此f(x) f (x0)。由于x与x0对称性，还可得f(x0) f (x)。于是|f(x0) f (x) |。这就证明了 f(x)是X上连续函数。11.设X为距离空间，F1,F2是X中不相交的闭集，证明存在开集 G1,G2使得G1 G2,G1F1G F2。证明 若x F1 ,则由于x F2, F2为闭集，必有x 0,使U(x, x) F2，令G1U(x,)，类似G2U (y,),其中U(y,

12、y) F1，显然G1G2是开集，且x F12x F22yG1F1,G2 F2。 倘若 G1 G2,，则必有 x F1,y F2,使U(y,)U (x, )。22设 z U (y, ) U(x,1)。不妨设 x y,则 xyd(y,x) d (x, z) d (z, y) *因22yy22此y U(x,x),此与U(x,x)F2矛盾。这就证明了 G1G2。12 .设X , Y, Z为三个度量空间，f是X到Y中的连续映射，g是Y到Z中的连续映射， 证明复合映射(g.f)(x) g(f(x)是X到Z中的连续映射。证明 设G是Z中开集，因g是Y到Z中的连续映射，所以g 1(G)是Y中开集。又f是 X到

13、Y中的连续映射，故f 1(g 1(G)是X中的开集。这样(g.f) 1(G) f 1(g 1(G)是X中的 开集，这就证明了 g。f是X到Z的连续映射。13 . X 是度量空间，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数 c,集合x|x X,F(x) c和集合x|x X,F(x) c都是闭集。证明 设f是X上连续的实函数，又对每一实数 c, G= (c,)是开集，于是f 1(G) x | x X, F(x) c 是开集。这样x| x X, f (x) c = Cx | x X, f (x) c 是闭集。同理x|xX, f(x)c是闭集。 反之，若对每个实数c, x|xX,f(x)c和x | x X

14、, f (x)c 都是闭集，则x |x X , f (x) c 和 x | x X , f (x)c 都是开集。设Gn是直线上的开集，则G (a,*)或G 由)，其中(ai,b)是G的构成区间。不妨设 i1i1G(ai ,bi) 于是i1f 1(G) x|x X,ai f(x) bi(x|x X, f(x) ai) (x| x X, f(x) bi) 是开集。 因i1i1此 f 是连续的实函数。14 . 证明柯西点列是有界点列。证明 设 xn 是X中的柯西点列。对1>0,存在N,使当n, m N时，d(xn,xm) 1.,令 M 1maxd(xi,xN) 1.则对任意4有d%*) M。因

15、此 x° 是有界点列。15 . 证明第一节中空间S， B( A) ，以及离散的度量空间都是完备的度量空间。证明 (1) S是完备的度量空间设 Xn是$中的柯西点列，Xn(n)(n)(1,2(n.)对每一个固定的2it1 2it0(t0),因此对任意0,存在0,当0 t 时且一1 2it0,存在 n, m N时，d(Xn,Xm)i 1 2i 1 |(n)(m).i i 1(n)(m) ii |1 | (n)，因此iJb(m) i 1(m) i |(n) | i(m)2i1TO这样对固定的i , i(n)n1是柯西点列。设(n)i(n)，故有x S ,且对任意给定o,1i2存在Ni,(1

16、i0),使 nNi时,(n) | imax N1,Ni0时,1i 1 2i(n)i0 |(T.o i(n)i i | i 1 21| ii(m) |i0所以 Xn 按S的距离收敛于X(2) B (A)是完备的度量空间设Xnn1是B (A)中的柯西点列，任意0,存在N,使当 n, m N 时d(Xn,Xm)样对任意 t A , | Xn (t) Xm (t ) | SUp|Xn(t) t AXm1。因此对固定的t, 人是柯西点列。设Xn (t)x(t)(n ),由于 n, m N 时 |xn(t)Xm(t)I，令 m|Xn(t)X (t)|，这样 |X(t)| |Xn(t)|,于是 SUp|X(

17、t)| SUp|Xn(t)|(A),且nN时，sup|xn(t) xm(t)|。这就证明了按B (A)中距离收敛于X。t A(3)离散的度量空间(X, d)是完备的度量空间11设Xnn 1是X中柯西点列，则对，>0,存在N,当n, m N是d(Xn,Xm)。特别对一切n>N,221d(xn,xN)万，于是n>N是xn xN。因此xnxN(n ),即(X, d)是元备的度重仝问。16 . 证明l与C (0, 1的一个子空间等距同构。证明若 x(1，2，i ) l，定义 T(x,t)C(0,1,t(0,1,若 x (1,2,i ) 1, y (1,2, i )1,则d(x, y)

18、 sup| i i | sup |T(x,t) T(y,t)| d(Tx,Ty)因此 T 到 1 到(0, 1的子空间的一个 t (0,1同构映射，即l至I (0, 1的一个子空间等距同构。17 .设F是n维欧几里得空间Rn的有界闭集，A是F到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何x, y F (x y),有d(Ax,Ay) d(x, y)。证明映射A在F中存在唯一的不动点。证明 定义F上的函数f (x) =d (Ax, x)。由于| f (x) f (y)11d(Ax,x) d(Ay, y)| d(Ax, Ay) d(x, y) 2d (x, y)因此 f 是 F 上的连续映射，因F是有界闭

19、集，必有x° F ,使x0 Ff(%) min f(x)。 x F我们先证明f(x0)0,若 f(x0)0 ,则Ax0x0 o记 x1Ax0 ,则Ax1A2x0,于是f (xi) d(Ax1,x) d(A2x0, Axo) d(Ax0,x°) f(x°)此与f (xo)是f的最小值矛盾。故d (Axo , xo) 0即Axo = xo若x1是A的另一个不动点，则 d(xo,x) d(Axo,Axi) d(x0,x1)，矛盾。18 .设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记a。 supd(Anx, A")x z d(x, x 1)若 an ,则映射A有唯

20、一不动点 n 1证明因an,则必有N,使aN1 o这样对任意x,x1X,若xx1,则n 1汝样由压缩映射席理AN右不动占Vlim x S(x0,r)。因为 A在 S(x0,r)上连续。 n111v* - ANv* 由干ANY* A ANv* Ay* Ay*也星 AN的a pq a. ktczij /at><eea /闩/|、夕LN、x) 卬x -Axo|±iAx -A Ax Ax, Ax tLljze a n j不动点。AN的不动点是唯一的，因此x = Ax ,即x是A的不动点。若x'是A的任意一个不动点，即 A x ' = x '。于是AN x&

21、#39; = An 1x' =-= A x ' = x'。 这样x'也是AN的不动点，由于AN的不动点是唯一的，因此x*= x'。即A的不动点也是 唯一的。19 .设A为从完备度量空间X到X中映射，若在开球U(xo，r) (r 0)内适合又 A在闭球 SJoC x|d(x, xo) 上连续，并且 d(x0,Axo)(1)r.证明：A在S(xo, r)中有不动点。证明设xn = Anx0, n 1,2。则d(xn1，xn) d(Anxo，An1x0)d(An 1xo，An 2xo)n1d(Ax0,xo)n(1 )r任给0,存在N,使N一,这样若m n,且n

22、, m N ,有 rd(xn,xm) d(xn,xn 1) d(xn 1, xn 2)d(xm 1, xm)n 1(1 )r n 2(1 )rm(1)r此xnki是柯西列。设xnx (n ),因d (xn, x0) d(xn ,xn 1) d(xn 1,xn 2)d(x1,x0)n(1)r n 1(1 )rni(1 )r (1 )r ri 1止匕 xn U (Xo,r)S(Xo, r) o 这样 x_*._.*I-f t-t*t_t_/ ._t r r 一 rr “Ax lim Axnlim xn 1 x ,即 x 是 A在 S(x0, r)中的不动点。nnA的不动点不一定是唯一的。例如X是离

23、散的度量空间A是X中的何等映射。在开球U(xo，1)内只有x0一点，自然满足条件d(Ax, Ax') d(x,x'),01.。而 d(x°, Ax°) 0 ,也满足d(x0, Ax°)(1)r.o但X中每一点皆为A的不动点20. 设ajk，j,k 1,2,n为一组实数，适合条件(a0i,j 12j)1,其中jk当j=k时为1 ,否则为00证明：代数方程组对任意一组固定的b1 , b2, , bn ,必有唯一的解x x2 ,xn 。证明 记定义Rn到Rn内的映射T: TX= -AX+X+b。设XXRn则n1由于 j)2)2<1,于是T有唯一不动

24、点X* ,即TX*i.j 1* * * 一AX X b X ,因此*AXb有唯一解X*。21.设Va,b表示a,b上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的b运算。在Va,b中定义范数|x=x(a)| V(x)，证明Va,b是Banach空间。 a证明Va,b显然是线性空间。下证Va,b是赋范线性空间。1 .若x Va,b,显然帆 00 bbb若 |x| =0,贝 U x(a) V(x)=0,即 x(a)=0,且 V(x)=0。由 V(x)=0 可知 x 在a,b上为常值函数, aaa于是 x(t) x(a) 02.若 x Va,b,),3.若 x, y Va,b,b其中V(x

25、y)abbV(x) V(y)的理由如下：对任意分划T : a b t aatn b,(x y)(ti)(xy)(t)nx(ti)x(ti 1)y(ti)y(t)，因此bnV(x y) sup(x y)(ti) (x y)(ti 1)supTnx(ti) x(ti 1) sup y(ti) y(ti 1)T i 1V(x) V(y)再证 aaVa,b是完备的。设xn为Va,b中柯西列，对任意0 ,存在N ,当n,m N时,bxn xmxn(a)。 丫 X。)bX(t) xm(t) (xn (a) xm/a)丫 XO于是,xm)从而(xn(t)xm(t)xn(a) xm(a)xn(a) xm (b

26、)。而对任意t(a,b，这就证明了 xn(t)是a,b上一致收敛的函数歹I。设2 一致收敛于x由于xn是a,b上右连续的函数，于是对任意t0a,b), lim xn(t) xn(t0),n 1,2 x t0因为xn在a,b上一致收敛于x。因此lim x (t) x t0lim limxn(t)limlimxn(t) limxn(t0)x(t0)即x亦x t0 nnt t0n在a,b上右连续b对任意 0,存在 N ,当 n, m N 时，|xn xm| = xn (a) xm(a) V(xn xm) a对a,b上的任一分划T:a t0 t,tl b,有lb(xn(ti)xm(ti)(xn(ti1

27、)xm(t)xn(a)xm(a)V 仇xm)令i 1a(Xn(tJX(ti) (Xn(t)X(t)b因此，从而X Xn (Xn X) Va,b.由(*)式及分点的任意性知，V(Xn X).从而 aXnxb：| Xn(a) x(a) V(Xn x) 2 .Va,b是完备的赋范线性空间，即即Xn按Va,b中范数收敛于X。这样我们就证明了Banach 空间。22.设 X1,X2,是一列 Banach空间,X X1,X2, Xn是一列元素，其中xnXn, n 1,2,p，并且|Xn|n 1，这种元素列的全体记成X ,类似通常数列的加法和数乘，在X中引入线性运算。若令p 1|Xn|尸，证明：当p 1时,

28、 1X是Banach空间。证明X显然是线性空间。先证X是赋范线性空间(x1, X2,X,显然|X 0。若|x| 0,则(n0,即对任意n ,Xn0O于是Xn0,从而X 0。2.若X(X1,X2,),p(Xn)n 13 .若 x (X1, x2 ,)X,(yi,y2,)Xnynn 1p 1)pp 1(Xnyn)1p (Xn ) )pp J(yn ) )p|xn| I yn再证X是完备的。设x是X中柯西列，其中 Xi （Xi（i）,x2i）, ）,i1,2,.xnj)对任意 0,存在3使当j L时，Xi Xj于是对每一个固定的n/x：）是Xn中的柯西列。设xni）X： ）p1令x （xi,X2, ），由于（恸 xnj）|）了n 1Kp 1,因此对任意 k,(|xni)xnj)|)*,令n 1Xi (Xi x) X ,且由(M) n 1知Xi按X的范数收敛于X由以上证明可知X是Banach空间。证毕Kpj 得|xni) xnj)|p,p 1.n 1p再令 K得M)Xn|p ，p 1.n 1因此xi x X ,从而x23 .设X是赋范线性空间,X*X为两个X的笛卡儿乘积空间,对每个（x,y） X * X,定义I（x,y）|y,则X*X成