椭圆经典例题分类汇总

1、椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为 A 2,0 ,其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：(1)当A 2,0为长轴端点时，a 2, b 1,22椭圆的标准方程为：上41(2)当A2,0为短轴端点时,b 2, a 4,高中数学22椭圆的标准方程为:x y416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖 的，因而要考虑两种情况.22例2已知椭圆-x- -y- 1的离心率ek 89分析：分两种情况进行讨论.解：当椭圆的焦点在x轴上时，a22_2_1k 8 b 9 ,得 c k 1

2、 .由 e ，得 k 4.2当椭圆的焦点在 y轴上时，a2 9, b2q 1 口 1 k 1 口口5由e 一,得一，即k .2944,5.满足条件的k 4或k -.4说明：本题易出现漏解.排除错误的办法是：因为k 8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在 y轴上.故必须进行讨论.22例3 已知方程 一1表示椭圆，求k的取值范围k 5 3 kk 5 0,解：由30,得 3 k 5,且 k 4.k 5 3 k,.满足条件的k的取值范围是3k 5,且 k 4.说明：本题易出现如下错解：由 k 5 0,得3 k 5,故k的取值范围是3 k 5. 3 k 0,出错的原因是没有注意椭圆的

3、标准方程中a b 0这个条件，当a b时，并不表示椭圆.2.2例4 已知x sin y cos 1 (0)表木焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围.分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性， 求出 的取值范围.x2解：方程可化为1sin2ycos1.因为焦点在y轴上，所以11cossin3 .因此sin 0且tan 1从而(一，一).2 4说明：(1)由椭圆的标准方程知(2)由焦点在 y轴上，知a2件01sin1cos0,1cos1sin0 ,这是容易忽视的地方.(3)求 的取值范围时，应注意题目中的条例5已知动圆P过定点A 3,0，且在定圆B:x 32 y2 64的内部

4、与其相内切, 的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点 P满足的关系式.解：如图所示，设动圆 P和定圆B内切于点M .动点P到两定点，即定点A 3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径，即PA PB PM |PB |BM| 8 .，点P的轨迹是以 A, B为两焦点,22半长轴为4,半短轴长为b J42 32 J7的椭圆的方程： 1 .167说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这 是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用22例1已知椭圆 y- 1 , F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ,使M到左准线l的距4312

5、"离MN是MF1与|MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：假设M存在，设M x1, y1 ,由已知条件得一1a 2, b <3 , . c 1 , e .2左准线l的方程是x 4 , MN 4 x1 .又由焦半径公式知:-1a ex1MF1 a ex2 x1 , MF2221_ 1 1_ 1211MN MF1MF2 , x1 42 _ x12 _ x122整理得 5x12 32x1 48 0.解之得x1124 或 x15另一方面 2x12则与矛盾,所以满足条件的点不存在.例2已知椭圆方程22xy.-221abab,长轴端点为Ai , A2,焦点为

6、F1 , F2, P是椭圆上一点，A1PA2, F1PF2.求：F1PF2的面积（用a、b、 表示）.分析：求面积要结合余弦定理及定义求角一一_， _1_ 的两邻边，从而利用S 'absinC求面积.2解：如图，设P x, y ,由椭圆的对称性,不妨设P x, y ,由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦定理知:由椭圆定义知:|PF1 IPF22a故 S F PF1 12sin-|PF1 |PF2 si.2F1F2I|PF12PF2I2PF1| 尸2，则2得PF1| IPF22 小cos 4c .2b2cos1 2b2 sin2 1 cos3.第二定义应用2例1椭圆162y 1的右

7、焦点为12，过点A1,J3，点M在椭圆上，当|AM|2MF为最小值时,求点M的坐标.分析：本题的关键是求出离心率，把2MF转化为M到右准线的距离,从而得最小值. .I I 1 般地，求AM -|MF|均可用此法.e过A作AQ I,垂足为Q,交椭圆于M,故Ft 0yMX.解：由已知：a 4, c 2 .所以MQ 2MF| .显然AM 2MF的最小值为|aQ ,即M 求也因此yM 芯,且M在椭圆上.故xm 2向.所M 2 <3,<3 .说明：本题关键在于未知式|AM 2MF中的“2”的处理.事实上，如图，eM到右准线的距离的一半，即图中的 MQ ,问题转化为求椭圆上一点 M ,使M到A

8、的距离与到22例2已知椭圆J 1上 4b2 b2分析：利用椭圆的两个定义,22解法一：由J ， 14b b由椭圆定义，|PF1| |PF2PF1 4b PF2 4b bPF1由椭圆第二定义，一-di右准线距离之和取最小值.一点P到右焦点F2的距离为b (b 1),求P到左准线的距离.或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.3信 a 2b ， c v 3b ， e .22a 4b,得3b.,d1为P到左准线的距离，,PF1c 点 d1 2v3b ,e即P到左准线的距离为2<3b .一PF2 c J3解法一：一- e, d2为P到右准线的距离，e - ，d2a 2.PF22V3八 a2 83.

9、-d2 b .又椭圆两准线的距离为 2 - b .e 3-3P到左准线的距离为8-3-b 空3 b2<3b33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如.一般地，如遇 到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二 定义.22例3已知椭圆 L 1内有一点A(1,1), FF2分别是椭圆的左、右焦点，点 P是椭圆上一 95点.(1) 求PA PF的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2) 求PA 3|PF2|的最小值及对应的点 P的坐标.分析：本题考查

10、椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代 数方法.二是数形结合，即几何方法.本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住 椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.解:如上图，2a 6,F2(2,0) , |AF2I 22 ,设 P是椭圆上任一点，由 PFi |PF2 2a 6,PAPF2AF2|,|PA|PF1|PF1|PF2AF22a |AF26 22 ,等号仅当PA PF2I AF2时成立，此时P、A、F2共线.由 PA|PF2|AF2|,"PAI PFiI PFiI PF2|AF22a a 6 & ,等号仅当PA PF2I

11、AF2时成立，此时P、A、F2共线.、一,、一 ,x y 2 0,建立A、F2的直线方程x y 2 0,解方程组22得两父点5x 9y 45915c515915515 c、P(2, v2)>P2( V2 , 22).714714714714综上所述，P点与P1重合时，PA |PF1取最小值6 Q, P点与P2重合时，PA |PF2取最大值6 22.(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作 PQ垂直椭圆右准线， Q为垂足，由a 3, c 2,e 2.由椭圆第二定义知3四ePQpq |pf2 , . . |pa |pf2 |pA pQ ,要使一一 9其和最小需有 A、P、Q共线，即求 A到右准线

12、距离.右准线方程为 x -.2，A到右准线距离为 7.此时P点纵坐标与 A点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点 P 2坐标(旦5,1).5，、1 .说明：求pa PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段.巧用焦e点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用2例1求椭圆土 y2 1上的点到直线x y 6 0的距离的最小值. 3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值.解:x椭圆的参数方程为y.C0S '设椭圆上的点的坐标为 sin .J3 cos ,sin ,则点到直线的距离为<3 cos s

13、in 62sin 一32当sin 1时，d最小值 272.3说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.22例2 (1)写出椭圆 匕 1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积.94分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数 方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题.解：x 3cosy 2sin(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设(3cos ,2sin )为矩形在第一象限的顶点，(0)，2贝U S 4 3cos 2sin 12sin2 12故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明：通过椭圆参

14、数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题， 用参数方程形式较简便.22例3 椭圆 J 1 (a b 0)与x轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使 a bOP AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.分析：:。、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把 OP AP,转化为P点坐标 的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 a、b、c的一个不等式，转化为关于 e的不等式.为 减少参数，易考虑运用椭圆参数方程.- x , , ,x a cos解：设椭圆的参数方程是(a b 0),y bsin则椭圆上的点 P(acos , bsin ), A(a , 0)

15、,. OPbsina cosbsina cos a即（a2 b2）cos22. 2a cos b 0 ,解得 cos1 或 cosb21 cos 1 cos1 (舍去)，b2b2b2a20.22. 0 f 2 , . e ，又 0 e 1 ,e 1 .c22说明:若已知椭圆离心率范围(立，1),求证在椭圆上总存在点2P使OP AP .如何证明?5.相交情况下-弦长公式的应用例1已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为210,求直线的方程5解：(1)把直线方程y x m代入椭圆方程4x2 y22.1 得 4x2 x m 1

16、,即 5x2 2mx m2 1 0 ._2_2.2m 4 5m 116m220(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为Xi , x2,由（1）得 Xix222mm 1一 ,X1X255根据弦长公式得22,2m m 1一 4552 10.斛得m说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点 F1作倾斜解为 一的直线 3交椭圆于A, B两点，

17、求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式|AB Ji k2|x1 x2 川 k2）（x1 x2）2 4x1x2求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.ABvi k2|x1 x2。(1 k2)(x1 x2)2 4x1x2.因为a 6, b 3,所以c 3c.因为焦点在x轴上,22所以椭圆方程为 1 ,左焦点F （ 3，3,0）, 369从而直线方程为yJ3x 9.由直线方程与椭圆方程联立得：13x2 72，3x36 8 0 .设 xi ,x2为方程两根，所以x1 x272 31336 813,3AB V1 k2xi x2、,(1 k2

18、)(x1 x2)24x1x24813（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为2x36设AF1m,BF1BF212(12所以AF1F2 22m) m366 一m 广.同理在4 、3AF2m 6v3 -；2AF1BRF2中，用余弦定理得肝2 2 2AF1| F1F26-r,所以4 .3ABcos348n 一13（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2 72,3x 36 80求出方程的两根x2,它们分别是A,B的横坐标.再根据焦半径 AF1 a ex,BF1a ex2,从而求出AB | AF)BF16.相交情况下一点差法的应用 例1已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

19、与直线 x y 1 0交于A、B两点，M为AB中点,OM的斜率为0.25 ,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解：由题意，设椭圆方程为y2 1 ，x由x2a2a2x0, xmX21xMkOMyM4,xMy2 1为所求.说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题., 一 x221 1 L -例2已知椭圆 y2 1 ,求过点P1,且被P平分的弦所在的直线方程.22 2分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为解法一：设所求直线的斜率为 k,则直线方程为y1，、， 一 广一代入椭圆方程，并整理得21 2k2

20、x2 2k2122k x k2 k2由韦达定理得x1X22k2 2k1 2k2 P是弦中点，X1X21.故得所以所求直线方程为 2x 4y 3 0.分析二：设弦两端坐标为 x1, y1、x2,y2 ,列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率:vy2x1x2 ,f 11解法二：设过P ,一的直线与椭圆交于2 2A x1，y1、B x2, y ,则由题意得2 yi2V21,1,将、代入得止当X1 x21, , , “ q 1-,即直线的斜率为 -.222 Xi -22 X2 22Xi X21,yi V2 1.22得 xx! y；y20 .2所求直线方程为2x 4y 3 0.说明：(1)有关

21、弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过 定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.例3已知椭圆 y2 1,(1)求过点P 1,1且被P平分的弦所在直线的方程； 22 2(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1(4)椭圆上有两点 P、Q,。为原点，且有直线 OP、OQ斜率满足kOP kOQ一，2求线段PQ中点M的轨迹方程.分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑

22、设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M x1，y1 ，N X2, y ,线段 MN 的中点 Rx, y，则22X2 2y2 2,22X； 2y2 2,X2 2x,V1 丫2 2y,山 一得X13) 由题意知x1X2 X1 X22 yy2 y1y20.x2 , 则上式两端同除以X1 x2 , 有X1 X2 2 y1y2 X1 X20,将代入得X 2y江上 0X1 X2(1)将X -, y 1代入，得y1 y21,故所求直线方程为：2x 4y 3 0 .22x1 x2211将代入椭圆万程X2 2y2 2得6y2 6y 0 ,36 4 6 - 0符合题意，442x 4y 3 0为所求.(2)将Y一

23、四 2代入得所求轨迹方程为：x 4y 0.(椭圆内部分)x1 x2(3)将当当 义代入得所求轨迹方程为：x x2 x 222(4)由+得：当一x2 y； y2 2,222 4 2cx x2 4x 2x1x2,，2将代入得：丝一生24x2 2y2 2x 2y 0.（椭圆内部分），将平方并整理得22/2-y y2 4y 2y1y2,4y2 2yly22,1221再 将 y1 y2 x1x2 代入 式得： 2x x1x24y 2 - x1x22 ,即22此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.22例4已知椭圆C： 1,试确定m的取值范围，使得对于直线 43l: y 4

24、xm,椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上 A, B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB 1; (2)弦AB的 中点M在1上.利用上述条件建立 m的不等式即可求得 m的取值范围.解：(法1)设椭圆上A(x1，y1)，B(x2 , y2)两点关于直线1对称，直线 AB与1交于M (x°, y°)点.11的斜率ki 4, .设直线AB的方程为y -x n.由万程组 4y2 x41-x n,4 消去y得2L，一 2 一一 2一13x8nx 16n48 08nx1 x2 一13x x2 4n于是 x0 213y。1x0412n13即点M的坐标为(4n

25、 12n、一 ,).点M在直线y 4x m上， n13134n4 -13n13m.4将式代入式得13x226mx169m2 48.A, B是椭圆上的两点,(26m)2 413(169m2 48) 0 .解得2,13132. 1313(法2)同解法1得出ny0i4X013 m413m414 x A(- x0 13(、13m) m4%)4M点坐标为(m,为椭圆上的两点，M点在椭圆(m)24(3m)232.1313(法3)设A(xi , yj , B% , y)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为2 13m 13(xo, yo) .A , B在椭圆上，2y132x24两式相减得3(

26、x x2)(x1x2) 4( y1 y2)(y1y2)0,即 3 2x0 (x1x2) 4 2y0(yy2)y2x23x0 , (x14 y0x2)又.直线ABki1,1,即 y0 3x0。又M点在直线l上，y04x0 m。由,得M点的坐标为(m , 3m).以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点 A, B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满 足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0,建立参数方程.2"1,将x0, y0利用参数表示，建立 b2(2)禾I用弦AB的中点M (x0 , y0)在椭圆内部，满足 迎 a参数不等式.22例5已知P(4,2)是直线l被椭圆x- y- 1所截得的线段的中点，求直线l的方程.369分析：本题考查直线与椭圆的位置