导数难题含答案

1、、单选题1 ?已知可导函数 f x的导函数为f' X ,则不等式f x 2018eX的解集为()f 02018,若对任意的x R,都有f X f ' xA. 0,C.2 D. ,0e2 ?定义在 R上的偶函数 x的导函数为f x,且当x0,xf x 2f x0.则（）f e A.4B. 9f 3 f 1f e C.9f e D.43 ?已知f x为定义在0,的解集为、( :)A. 1,B. ,1上的可导函数，且f x xf' x恒成立，则不等式x2fC. 2,D. ,2二、解答题4 .已知函数f xax2 Inx a R(1)讨论f x的单调性；(2)若存在x 1, ,

2、f x a ,求a的取值范围、 x2 25 -设函效 f xx ax 2 x x Inx .(1)当a 2时，讨论函数f x的单调性；(2)若x 0,时，f x 0恒成立，求整数a的最小值.若a 1,求函数 f x的极值；设函数h x f x g x,求函数h x的单调区间；若在区间1,e e 2.71828上不存在x0,使得f冷g x0成立，求实数a的取值范围7.已知函数f x x a lnx,a R(1)当a 0时，求函数f x的极小值；(2)若函数f x在0,上为增函数，求a的取值范围&已知函数f xx2 ax a ex.(1)讨论f x的单调性；(2)若a 0,2 ,对于任意x

3、n x24,0，都有f搭f x2 4e 2 mea恒成立，求m的取值范围【解析】令g x0,g 02018因止匕f x 2018exx 2018 g x g 0 x 0 ,选 A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 ff x构造g x0构造xf x f x 构造 g xf x,xf x f xx 0构造g xxf2. D【解 析】设 g (x) =x2f (x),其导数g' ( x)=(X2 ),f x) +x2?f (x) =2xf(x) +x2?f (x) =x2f(x) +xf (x),又由当x

4、 > 0时，有2f (x) +xf (x) <0 成立,贝U数 g' ( x) =x2f(x) +xf (x)<0 ,则函数g (x )在(0 ,+ g)上为减函数,若 g (x) =x2f (x),且f (x)为偶函数，贝U g (-x )=(-x ) 2f (-x ) =x 2f (x)=g (x),即g (x)为偶函数，所以f e f 2厂因为f x为偶函数，所以4 e所以故选D点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数的奇偶性与单调性的应用,关键是构造函数g(x)弁分析g (x)的单调性与奇偶性.3. Axf x f1解析】令，则g xf x xf

5、xxf x f x0，即 g xxf x f x2x0在0, 上恒成立g x 在 0,上单调递减x2f 1xrwxx1二 x,即 x 1 x故选A点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系？1一一， 1-x在 0一上递增，在 一!一上递减？ ； （2）12a五【解析】试题分析对函数f x求导，再根据 a分类讨论，即可求出f x的单调性；（2 ）将fxa化简得lnx0 ,再根据定义域x 1,对a分类讨论，a 0时，满足题意,a 0时，构造g范围？lnx,求出g x的单调性，可得 g x的最大值，即可求出 a的取

6、值试题解析：（1） f1 2ax22a0时,所以x在0,上递增,0时，令f x0,得0,得 x0 C2a ;令 f x所以1上递增，在一V2a得 a x21 lnx 0 ,10,得x42a上递减？因为 x 1,所以 Inx 0,x 2 1 00时，a x21 lnx 0满足题意,2 时设 g1 Inx(x 1), g所以g x 在 1,上递增，所以g x g 1不合题意,1 1当0 a 2时，令9 x 0 ,得 、祐，1，令 g x 0,得 1,2a 1 所 ,.以 g x g max J2a g 10,则 x 1 ,g x 0 ,综上，a的取值范围是，±.2点睛：本题考查函数的单调

7、性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题攻t理导数大题时，注意分层得分的原则”般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会115. (1) f (X)递增区间为(0,1 ) , ( 1 , +x)，递减区间为(-,1)； (2)1.22【解析】试题分析：(1 )求出函数f ( x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为a>x-2 (x-1 ) Inx恒成立，

8、令g (x) =x-2 (x-1 ) Inx,根据函数的单调性求出a的最小值即可.试题解析：(1 )由题意可得f (x)的定义域为(0,+8),当 a=2 时，f (x) = - x2+2x+2(x2 x) Inx ,pJ所以 f ' (x) = - 2x+2+2(2x - 1 ) Inx+2 (x2 - x) ? :? =(4x - 2 ) Inx ,由 f ( x)> 0 可得：(4x - 2 ) Inx >0 ,C 4x-2>04 旷 2<0所以或,±解得x > 1或0 v x v (由 f ( x)v 0 可得：(4x - 2 ) Inx

9、 v 0 ,;4x-2>0 r 4 /E所以0或，解得：'v x v 1 .NE综上可知：f (x)递增区间为(0 , :' ), (1 , +8),递减区间为(：，1 ).(2 )若 x ?( 0 , +8)时，f( x)> 0 恒成立，即 a > x - 2 (x - 1 ) Inx 恒成立,令 g ( X) =X - 2 (X - 1 ) InX,贝U a > g ( X) max工-L2因为 g' ( x) =1 - 2 (Inx+|”-|) = - 2lnx + 7所以 g' (x)在(0 , +s)上是减函数，且 g'

10、 (1 )> 0 , g' ( 2 )v 0 ,上是减函数,二x=x 0时，gf x .0 ,故存在xo ? ( 1 , 2 )使得g (x)在(0 , xo)上为增函数，在(xo , 十 (x) max =g ( Xo ) 0,? > 0，又因为 a ? Z,所以 amin =1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1） 根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f X0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为0恒成立，转化为f x max 0;（3）若f x g x恒成立，可转化为fxminxmaxe2 16. （1）极小值为f

11、11 ; （ 2）见解析（3）2（2）先求导数，求）正难则反，先求存在一点 X0,2）单调列极值分布表1 ；e 1【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值导函数零点，讨论1a与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3使得f心、g X0成立时实数a的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合性可得实数a的取值范围，最后取补集得结果x 1试题解析：解：（I ）当a 1时，f x x Inx f' x0 x 1 ,xf x在（0,1 ）上递减，在（1）上递增，？ f x的极小值为f 11 a(II )h' xal nxx当a1时,h

12、9; x 0, h x 在(0,）上递增;当a1时,h' x 0 x在(0,1a）上递减，在1a,上递增;(III )先解区间1,e上存在一点X0，使得f X0 g X0成立由(II )知g x 0在1,e上有解当x 1,e时，h xmin当a 1 h x在1,e上递增，hmin当a 1 h x在(0,1a)上递减，在1 a, 上递增0 h x在1,e上递增，1时，h x在1,e上递减2? a 2a无解hmina)-e 11 h x 在 1,1gma 2 a aln 1na al n 1 a 2令Fa上递减，在 1 a,e上递增In 1 a，则在0,e 1递减,0无解,即aln 1 a

13、 0无解；hminell综上：存在一点x。,使得f x g x。成立，头数a的取值氾围为：.e 1所以不存在一点X。，使得f Xog X。成立，实数a的取值范围为点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符 号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的 问题(有解，恒成立， 最耀翻职,.而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数17. ( 1)- ( 2)ef'x 0,解出x的值，禾U用导【解析】试题分(1 )当a 0时，得出函数的解析式，求导数，令析：数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；恒成立,(2)求出f' X,由于函数f x在0,是增函数，转化为

14、f ' x 0对任意x 0,分类参数，利用导数 g x xlnx x的最小值，即可求实数 a的取值范围.试题解析：(1)定义域为0,.当 a 0 时，f x xlnx , f' x Inx 11 i0,-时,当x 1 时，f' Xefx为增函数.0 ,fx的极小值是x a(2)由已知得f' x Inxx因为函数f x在0,是增函数,所以 f' x 0对任意x 0,恒成立,由f' X设g x0 得 Inx xxlnx x ,要使”0,即xlnx x a对任意的x 0,xlnx x a对任意x 0,恒成立”0 , g x为减函数;因为g' x

15、 Inx 2 ,令g当x 0,：,（2 时，g' xe当 x1,时，g' x0, g x 为增函数所以x的最小值是±2 e故函数f x在0,是增函数时，实数 a的取值范围是点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，禾导数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学的重点和难点，应熟练掌试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数f x在0,握，是增函数，所以f' x0对任意x 0,成立是解答的关键.& （1）见解析；（2） m1.eZ3eg min .【解析】试题分析：（1）求出f' x ,分三种情况讨论,分别令f ' x 0求得x的范围，可得函数增区间，f' x 0求得x的范围，可得函数 f x的减区间；（2）由（1）知,f X1 f X2xmax4e 2 mea，恒成立,立，利用导数研究函数的单调性，求出试题解析:(l)f若a 2,