竞赛→高中竞赛→专项训练→高中数学竞赛专题讲座——集合与函数

1、竞赛试卷竞赛试题选讲集合与函数一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分） b（2006陕西赛区预赛）a,b为实数，集合M,1, P a,0,f : xx 表示把集合M1a中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x，则 a+b 的值等于（）A -1B 0C 1D 12（ 2006 天津） 已知函数f ( x)x 22ax2 ，当 x 1,) 时， f (x)a 恒成立， 则 a的取值范围是（）A 2 a 1B 2 a 1C3 a2D 3 a 13（2006 陕西赛区预赛）若关于 x 的方程 ( 3) x23a 有负数根，则实数a 的取值范围为25a（）A (,2 )(5,)B (,3 )(5,)

2、34C (2D (23,5),)3344（2006 陕西赛区预赛）若函数 f ( x) 满足 f (2)log 2 x | x | ，则 f ( x) 的解析式是x| x |（）A log 2 xB log 2 xC 2 xD x 25（2006 年江苏 ）函数 y 3log3 x 的图象是（）ABCD6（ 2006 陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程x2(1a) xab10 的两个实根为x1, x2 且 0x11, x21 则b 的取值范围是a（）A(1,1 B(1,1)C( 2,1 D (2,1 )22227（ 2006 年江苏） 设fx是定义在R 上单调递减的奇函数若x1x20 ， x

3、2x30 ，竞赛试卷x3 x10 则（）A f x1f x2f x30B f x1f x2f x30C f x1f x2f x30D f x1f x2f x38（ 2006 吉林预赛） 如果集合 A=y|y= x2+1 ， x R+ ，B=y|y= x+1，x R ，则 A 与 B的交集是（）A (0， 1)或 (1，1)B (0 ， 1)， (1， 1)C 0，1D ( ， 1)9（ 2006 安徽初赛） 已知lg x1 的小数部分为（）的小数部分为a，则 lg x2A 2a 的小数部分B 1 2a 的小数部分C 2 2a 的小数部分D以上都不正确10（ 2006 吉林预赛） 若函数 f(x

4、)=x 3 6bx+3b 在 (0， 1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（）A (0，1)B (，1)C (0， +)D (0， 0.5)11（2006年南昌市）设集合A a8| aN, B b29| bN ,ABP ,22若则 P 中元素个数为（）A 0B 1C 2D至少 3 个12（2006 年南昌市） 设 f ( x)1x,记 f1xfx,若 f n1 ( x)f ( f n ( x), 则 f 2006 (x)1x（）A xB -1C1xD x1x1xx1二、填空题（本题满分54 分，每小题9 分）1（2006 安徽初赛）已知实数x、 y 满足x11 515x115yy4 515y

5、4，则 x52（ 200 6 天津） 已知集合 ABC a1 ,a2 , a3 , a4 , a5 ，且 AB a1 , a2 ，则集合 A 、B 、 C 所有可能的情况有500种3（ 2006 年南昌市） 设 M 1,2, ,100,A 是 M 的子集 ,且 A 中至少含有一个立方数,则这种子集 A的个数是 _.4（ 2006 年江苏）集合 Ax x3n , nN ,0n10，By y 5m,mN ,0m6 ，则集合 AB 的所有元素之和为2|yk52006年南昌市）若曲线y| x2与直线3x恰有三个公共点,_（则 k 的值为6 （ 2006 年 上 海 ） 已 知 函 数 f : R R满

6、 足 ： 对 任 意 x, yR， 都 有f (x) f ( y)f ( xy)2006112005，则所有满足条件的函数f 为xy7（2006 年上海）对于任意实数a， b，不等式 maxab , a b , 2006bC 恒成立，则常数 C 的最大值是（注： maxx, y, z 表示 x， y，z 中的最大者 ）竞赛试卷8（ 2006 年上海）设f (x)x2axbcos x，x f (x)0, xRx f ( f ( x)0, xR，则满足条件的所有实数 a， b 的值分别为三、解答题（每小题 20 分，共 60 分）1（ 2006 年江苏）设集合 Ax log 13 x2 ， Bx2

7、a若AB，12x a求实数 a 的取值范围2 (集训试题) 已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（ 1）当b>0时，若对任意x R 都有f(x) 1，证明：a 2b ；（ 2）当（ 3）当b>1 时，证明：对任意x0, 1, |f(x)| 1 的充要条件是：0<b 1 时，讨论：对任意x 0, 1, |f(x)| 1 的充要条件。b-1 a 2b ；重庆卷)已知定义域为R的函数f ( x)满足 f f ( x) x2xf (x) x2x.3 (06（ I）若 f (2)3 ，求 f (1); 又若 f (0)a ，求 f (a) ;（ II ）设有且仅有一个实数x0

8、 ，使得 f ( x0 )x0 ，求函数 f ( x) 的解析表达式 .参考答案一、 选择题（本题满分36 分，每小题6 分）CDDBAADBDDDCB竞赛试卷二、 填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）115；2500； 3 2100296;4 225 ; 5无解 ;12006 ;71003;6 f ( x)8 0 a4 ， b 0;x三、 解答题（每小题 20 分，共60 分）1解：Ax 1 x3， Bx x a x 3a 0 当 a 0时 ，Bx 0 a x 3a， 由 AB得 0a 3； 当a 0时 ，Bx 3a x a 0 ，由 A B得 a1；当 a0 时， B x x20，

9、与 AB不符综上所说，a1,00,3 2解：（1）证：依题设，对任意xR，都有 f(x) 1。 f(x)=-b(x-a) 2+ a 2， f(a)= a 22b4b2b4b 1， a>0, b>0, a 2b 。（ 2）证：（必要性），对任意 x0, 1，|f(x)| 1-1 f(x) 据此可推出 -1 f(1) 即 a-b -1， a b-1。对任意 x 0, 1 ，|f(x)| 1f(x) 1，因为 b>1 ，可推出 f( 1) 1。即 a·1-bb 1， a 2b ，所以 b-1 a 2b 。（充分性）：因 b>1, ab-1，对任意 x 0, 1 ，可

10、以推出： ax-bx 2b(x-x 2)-x -x -1，即： ax-bx 2 -1；因为 b>1 ，a 2b ，对任意 x 0, 1 ，可推出 ax-bx2 2b -bx2 1，即 ax-bx 2 1， -1 f(x) 1。综上，当b>1 时，对任意x 0, 1, |f(x)| 1 的充要条件是：b-1 a 2b 。（ 3）解：因为 a>0, 0<b 1 时，对任意 x 0, 1 。 f(x)=ax-bx 2-b -1，即 f(x) -1；f(x) 1f(1) 1a-b 1，即 a b+1； a b+1f(x) (b+1)x-bx2 1，即 f(x) 1。所以，当 a

11、>0, 0<b 1 时，对任意 x0, 1 ， |f(x)| 1 的充要条件是： a b+1.32x 2解： (I)因为对任意x R, 有 f(f(x)-xx )f ( x)x所以 f(f(2)-22f (2)222)2又由 f(2)=3,得 f(3-222）32 22, 即 f (1)1若 f(0)=a, 则 f( a 0 20)a0 20, 即 f (a ) a竞赛试卷(II)因为对任意x，有f ( f (x)x2x)f (x) x2x.R又因为有且只有一个实数 x0，使得 f (x0 )x0所以对任意 xR, 有f ( x) x2xx0在上式中令 xx0，有 f ( x0 )

12、x02x0x0又因为，所以x02，故x0=0或x0=1f ( x0 ) x0x00若x0=0，则f ( x) x2，即f ( x) x2xx 0但方程 x2xx有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x00若 x0 =1，则有 f ( x) x2 x 1,即f ( x) x2 x 1.易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为 f ( x) x2 x 1 (x R)竞赛试卷竞赛试题选讲之集合与函数练习1（ 06 北卷） 已知 f ( x)(3a) x ，+a 的取值范4a, x 1是（ -）上的增函数，那么loga x, x1围是（）A(1，+)B(- ,3)C 3 ，3D(1 ,3)5192.（

13、 06全国 II ）函数 f(x)|x n|的最小值为（）i 1A190B171C 90D453.（山东卷） 已知定义在R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2 ) =f(x),则 ,f(6)的值为（）A 1B 0C 1ax （ aD 24. 06天津卷） 已知函数yf (x)的图象与函数y0 且 a 1）的图象关于直线（yx 对称，记 g(x)f ( x) f ( x) 2 f (2) 1 若 yg (x) 在区间 1 ,2 上是增函数，则实数 a的取值范围是2C 1 ,1)D (0, 1（）A2,)B (0,1)(1,2)225（ 06 天津卷）如果函数 f (x)axx21)(a且1)

14、在区间0，( a3a0 a那么实数 a 的取值范围是23，3，B CD ， A 0311 323上是增函数，（）6.（ 06 浙江卷） 对 a,bR, 记 maxa,b=a, abR)的最小, ，函数 f（ x） max|x+1|,|x-2|( xb ab值是（）AB013D 3B C227 （ 2006 安徽初赛）若关于x 的方程1x2kx 2恰有一个实根，则k 的取值范围是8（ 2006 陕西赛区预赛）设f ( x) 是以 2 为周期的奇函数，且 f (25) 3 ，若 sin则f (4cos 2) 的值55.9（ 2006 吉林预赛）已知函数f ( x)log 1x ，设 xabc， y

15、， zf (c)，其中2f (a)f (b)0<c<b<a<1 ，那么 x、 y、 z 的大小顺序为.10（ 2006 吉林预赛）若关于x 的方程1x2log 2 ( xa) 有正数解，则实数a 的取值范围为 _.竞赛试卷11(集训试题 )对每一实数对 (x, y) ，函数 f(t) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2 ，试求满足 f(a)=a 的所有整数 a=_.12(集训试题 )设 n 是正整数，集合M=1 ，2， ， 2n 求最小的正整数k，使得对于 M 的任何一个 k 元子集，其中必有4 个互不相同的元素之和等于13 (

16、集训试题 )若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1 ，则 |x|-|y|的最小值是 _.23 )14 (06重 庆 卷 ) 设 a0, a1， 函 数 f (x)al gx ( x 2有最大值，则不等式log ax25x7 0的解集为。15 （ 2006陕西赛区预赛）(20分 ) 设 P(xa, y1)、Q( x, y2 )、r (2 a, y3 ) 是 函 数f ( x)2ay1 y32y2的实数 x 有且只有一x的反函数图象上三个不同点，且满足个，试求实数a 的取值范围 .16(06重庆卷)已知定义域为R 的函数f ( x)2xb 是奇函数。（）求 a, b的值；（）2x 1a

17、若对任意的t R ，不等式 f (t22t)f (2t 2k) 0 恒成立，求 k 的取值范围；17（ 200 6 天津）已知、是关于 x的二次方程 2x 2tx 20 的两个根，且，若函数 f (x)4xt（） 求 f ()f ( ) 的值；（）对任意的正数 x1、 x2，求证：x21| f ( x1x2 )( x1x2 ) | 2 |x1x2x1x2竞赛试题选讲之集合与函数练习答案竞赛试卷1解：依题意，有a 1 且 3 a0，解得 1a 3，又当 x1 时，（3 a）x 4a3 5a，当 x 1时， log ax0，所以 3 5a0 解得 a3 ，所以 1 a 3 故选 D1952解析 :

18、 f (x)xnx1x2x3x19 表示数轴上一点到1,2,3 19n 1的距离之和 ,可知 x 在 1 19 最中间时 f(x) 取最小值 .即 x=10 时 f(x) 有最小值 90,故选 C本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大 ,且求和符号不在高中要求范围内 ,只在线性回归中简单提到过 .3解：因为 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，所以f（ 0） 0，又 f（ x 4） f（ x 2） f（ x），故函数， f（ x）的周期为4，所以 f（ 6） f （2） f（ 0） 0，选 B4解析：已知函数yf (x)的图象与函数ya x （ a0 且 a1）的图象关于直线y

19、x对称 ,则 f (x)log ax ，记 g( x)f (x) f (x)f (2)1= (log a x)2(loga 21)log ax 当 a>1 时，若 yg ( x) 在区间 1 ,2 上是增函数， yloga x 为增函数，令 tloga x ， t12log a 2 11 log a2yg( x)log a 2,，要求对称轴2 log a2，矛盾；当 0<a<1 时，若在区间 1 ,2 上是增函数，yloga x 为减函数，令 tlog a x ， t loga 2 , log a1 ，要22求对称轴loga 21 log a1，解得 a 1,所以实数 a 的

20、取值范围是 (0, 1 ,选 D.22225解析：函数 y ax (a x 3a21)(a0 且 a1)可以看作是关于ax 的二次函数，若a>1 ，则 y a x 是增函数，原函数在区间 0,) 上是增函数，则要求对称轴3a21 0，矛盾；ax 是减函数， 原函数在区间 0,2ax若 0<a<1，则 y) 上是增函数， 则要求当 t(0<t<1)时， y t 2(3a21)t 在 t(0 ， 1) 上为减函数，即对称轴3a21 1， a21，实23数 a 的取值范围是3,1) ，选 B.36解：当 x 1 时， |x 1| x 1， |x 2| 2 x，因为（ x

21、1）（ 2 x） 30，所以 2 x x1；当 1x1 时， |x1| x 1，|x 2| 2 x，因为（ x1）（ 2 x）2 2x 1 0， x 1 2 x；当 1x 2 时， x 1 2x；当 x 2 时， |x 1| x 1， |x 2| x2 2，显然 x 1 x 2；竞赛试卷2x( x(, 1)2x( x1,1)3故 f ( x)2据此求得最小值为。选 C8。 -3 1 ,2)2x1(x2x1(x2,)111 或 -2;解：令 x=y=0得 f(0)=-1 ；令 x=y=-1 ，由 f(-2)=-2得， f(-1)=-2 ，又令 x=1, y=-1可得 f(1)=1 ，再令 x=1

22、 ，得 f(y+1)=f(y)+y+2，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即 y 为正整数时， f(y+1)-f(y)>0，由 f(1)=1可知对一切正整数 y，f(y)>0 ，因此 yN * 时， f(y+1)=f(y)+y+2>y+1 ，即对一切大于1 的正整数 t，恒有 f(t)>t ，由得f(-3)=-1, f(-4)=1。下面证明：当整数 t -4时， f(t)>0 ，因 t -4，故 -(t+2)>0 ，由得： f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0 ，即 f(-5)-f(-4)>0 ， f(-6)-f(-5)>0 ， f(

23、t+1)-f(t+2)>0 ， f(t)-f(t+1)>0相加得： f(t)-f(-4)>0 ，因为： t 4，故 f(t)>t 。综上所述： 满足 f(t)=t 的整数只有t=1 或 t=2 。12解：考虑M 的 n+2 元子集 P=n-l ， n， n+1， ， 2n P 中任何 4 个不同元素之和不小于 (n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2 ，所以 kn+3将 M 的元配为 n 对，Bi=(i ，2n+1-i) ，1 i n 对M 的任一 n+3 元子集 A ，必有三对 Bi1 , Bi2 , Bi3 同属于 A(i 1、i 2、i 3 两两不同 )又

24、将 M 的元配为 n-1 对， C i(i ， 2n-i) ， 1 in-1对 M 的任一 n+3元子集 A ，必有一对 Ci4同属于A ，这一对 Ci必与 Bi, Bi2, Bi中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为4132n+1+2n=4n+1, 最小的正整数 k=n+310 x2 y0x2 | y |13解： x2 y03x24 y24( x2 y)( x2y)4由对称性只考虑 y 0，因为 x>0，只须求 x-y 的最小值，令22x-y=u ，代入 x -4y=4，有3y2-2uy+(4-u) 2=0，这个关于 y 的二次方程显然有实根，故=16(u 2-3) 0。14 解析 ：设 a0, a1 ，函数 f ( x)alg( x22x3) 有最大值，lg( x22x3) lg 2有最小值， 0<a<1 ，则不等式 log a x25x70的解为x25x70 ，解得 2<x<3，x25x71所以不等式的解集为2,3 .15.(a1 或 a0）22 xb10b1f(116解析：（） 因为 f ( x) 是奇函数， 所以 f (0) =0，即2x)2x 11aa1212a 2.又由 f（ 1）= -f （-1）知4a1a2x（）解法一：由（）知f ( x)111，易知 f( x) 在 (,) 上22x122x1为减函数