对比分析最小二乘法与回归分析

1、对比分析最小二乘法与回归分 析对比分析最小二乘法与回归分析摘要最小二乘法是在模型确定的情况下对未知参数由观测数据来进 行估计，而回归分析则是研究变量间相关关系的统计分析方法。关键词：最小二乘法回归分析数据估计目录摘要 3目录 4一：最小二乘法 5主要内容 5基本原理 5二：回归分析法 8回归分析的主要内容 8回归分析原理 9三：分析与总结 12一：最小二乘法主要内容最小二乘法又称最小平方法是一种数学优化技术。它通过定义残差平 方和的方式，最小化残差的平方和以求寻找数据的最佳函数匹配，可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系 ，这种函数关系称 为经验公式.利用最小二乘法可以十分简便地求得未知

2、的数据，并使 得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化 嫡用最小二乘法来表达。基本原理考虑超定方程组(超定指未知数大于方程个数)：)X可图1,2t J.i.ifi),其中m代表有m个等式，n代表有n个未知数 P (m>n；将其进 行向量化后为：X外y*21 X?2Xz*X 二. iKAlpiy = :显然该方程组一般而言没有解，所以为了选取最合适的?让该等式“尽量成立"，引入残差平方和函数 S5d邓一4（在统计学中，残差平方和函数可以看成 n倍的均方误差当g = S时，耶）取最小值，记作：®

3、; = bgjrt£MS（p）通过对$（向进行微分求最值，可以得到：XTX=XTy如果矩阵xrx非奇异则P有唯一解：8 二 （XX）T*。二：回归分析法回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的相关关系的 一种统计分析方法。回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之一。 它基于观测数据建立变量间适当的依赖关系，建立不同的回归模型， 确立不同的未知参数，之后使用最小二乘法等方法来估计模型中的未 知参数，以分析数据间的内在联系。当自变量的个数等于一时称为一 元回归，大于1时称为多元回归，当因变量个数大于1时称为多重回 归，其次按自变量与因变量之间是否呈线性关系分为线性回归与非线 性回归。最

4、简单的情形是一个自变量和一个因变量， 且它们大体上有 线性关系，叫一元线性回归。回归分析的主要内容从一组数据出发，确定某些变量之间的定量关系式，即建立数 学模型并估计其中的未知参数。估计参数的常用方法是最小二乘法。对这些关系式的可信程度进行检验。在许多自变量共同影响着一个因变量的关系中，判断哪个（或 哪些）自变量的影响是显著的，哪些自变量的影响是不显著的， 将影 响显著的自变量加入模型中，而剔除影响不显著的变量，通常用逐步 回归、向前回归和向后回归等方法。利用所求的关系式对某一生产过程进行预测或控制A 1*3回归分析的主宴内自主要向番具体内看同心邛7的选撞电it的选产方愀电网法廊后就逐步旧的.

5、4.成分过史址类揖的请定自咬青有定性变微的Kin ffi螂血支性文*的白耶附FT现的电症从歌露摧注叵日帙方由小福敬欣式连选铎,逋小一需法一一的估II他，、*泮trih品小r还广式找小二亲汰算福计在干黑玲孽曲后归怙计1点价同四偏量小二票故似甑循”及其悔最大似.怯脩汁H植回'门横隼的澹If网n操叟的堞撕回口粮邛的悔市同出基前惮林回归分析原理在回归分析中自变量x (X1，X2，Xm)是影响因变量y的主要因素， 是人们能控制或能观察的，而y还受到随机因素的干扰，可以合理地 假设这种干扰服从零均值的正态分布，于是模型记作丫 01x1mxmN(0, 2)其中 未知。现得到n个独立观测数据(yi ,

6、Xii, , Xm) , i 1, ,n,n m, 由上式得yi01Xi1mximi2iN(0, 2), i 1, ,n记1 X11X1 my1X, Y1 Xn1Xnmy nmT表为Y X N(0, 2)参数估计用最小二乘法估计模型中的参数。由这组数据的误差平方和为n _2TQ( ) i (Y X ) (Y X )i 1求使Q()最小，得到 的最小二乘估计，记作？，可以推出? (XTX)1XTY将？代回原模型得到y的估计值C ? ?、，？、，y 0 1 x1mxm而这组数据的拟合值为Y? X?,拟合误差e Y Y?称为残差，可作为 随机误差的估计)而 nn_2-2Qei(yi ?i)1 1i

7、1为残差平方和(或剩余平方和)，即Q(?)。(3统计分析不加证明地给出以下结果： ? 一 ？ 一 (1) .是 的线性无偏最小方差估计。指的是.是Y的线性函数；的期望等于；在 的线性无偏估计中，？的方差最小。(ii ) ?服从正态分布?N( , 2(XTX) 1)2(iii )对残差平方和Q, EQ (n m 1)，且Q 2 / (n m 1)由此得到2的无偏估计s2?2n m 1S2是剩余方差(残差的方差)，s称为剩余标准差。(iv)对Y的样本方差S(yi y)2进行分解，有n(?i y)2i 1其中Q残差平方和，反映随机误差对y的影响，U称为回归平方和,反映自变量对y的影响。回归模型的假设检验 因变量y与自变量Xi, ,Xm之间是否存在如模型所示的线性关系是需要检验的，显然，如果所有的|?j| (j 1, ,m)都很小，y与X1，,Xm线性关系就不明显，所以可令原假设为H。： j 0(j1, ,m)当H0成立时由分解式定义的U,Q满足U / m 广F (m,n m 1)Q/(n m 1)在显著性水平下有1分位数 Fi (m，n m 1),若F Fi (m，n m 1),接受H0；否则，拒绝。三：分析与总结最小二乘法是基于既定模型对未知参数的一种估计方法， 以函数 残差和最小的条件对未知参数进行估计。回归分析包括：建立带有参数的函数模型（即经验公式） ，通过 最小二