平面解析几何初步典型例题整理后

1、平面解析几何初步§ 7.1直线和圆的方程经典例题导讲例1直线I经过P (2,3 ),且在x,y轴上的截距相等，试求该直线方程.3 _ 03解：在原解的基础上，再补充这样的过程：当直线过(0,0)时，此时斜率为：k,2-0 23直线方程为y=-x23综上可得：所求直线方程为 x+y-5=0或y= x .2例2已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点 A(1,3)的距离的平方，求动点P的轨迹 方程, 52221、_.1223解：接前面的过程，t方程化为(x- 2 ) +(y-3)=,方程化为(x+2 ) +(y-3)=-,5 21由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点p的轨迹方程为：(

2、x- ) 2+(y-3) 2 = (x >0)例3 m是什么数时，关于 x,y的方程(2mf+m-1) x2+ ( ni-m+2) y2+m+2=0的图象表示一个 圆？解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要 A=CM 0,得 2m+m-仁m-m+2,即卩 mf+2m-3=0,解得 m=1, m=-3 ,(1) 当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.1(2) 当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=，原方程的图形表示圆例4 自点A(-3 , 3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆2 2x +y -4x-4y+7 = 0相

3、切，求光线L所在的直线方程.解:设反射光线为L',由于L和L'关于x轴对称，L过点A(-3 , 3)，点A关于x轴的对称 点 A (-3 , -3), 于是 L '过 A(-3 , -3).设 L'的斜率为 k,贝U L'的方程为 y-(-3)= k :x-(-3),即 kx-y+3k-3 = 0,. . 2 2 . .已知圆方程即(x-2) +(y-2) = 1,圆心O的坐标为(2 , 2)，半径r = 1因L '和已知圆相切，则O到L'的距离等于半径 r = 12k -2 +3k -3|5k -5| 即< k21k2 12整理得

4、 12k -25k+12 = 043解得k=或k=3443L'的方程为 y+3=(x+3);或 y+3 = (x+3)。34即 4x-3y+3 = 0 或 3x-4y-3 = 0因L和L '关于x轴对称故 L 的方程为 4x+3y+3 = 0 或 3x+4y-3 = 0.例5求过直线x-2y '4=0和圆x2 y2 2x-4yJ=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：(1)过原点；(2)有最小面积.解：设所求圆的方程是:x2 y2 2x-4y1 亠；ix-2y 4 =0即:x2 y2 亠2 ：. x - 2 2；y14- 0(1)因为圆过原点，所以故所求圆的方程为:1

5、14 望=0，即，二422 77 cx y x y = 0.42(2) 将圆系方程化为标准式，有：x+守+(y-2-盯2.455当其半径最小时，圆的面积最小，此时-为所求.5故满足条件的圆的方程是八8例6( 06年辽宁理科)已知点A( x1, y1) ,B(x2,y2)( x1x2丰0)是抛物线y-=2px(p 0)上的两个动点，0是坐标原点，向量 OA,OB满足丨OA OB | = | OA-OB | .设圆C的方程为 x2 y2 -(x-i x2)x -山 y2)y = 025(1 )证明线段 AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值.5解：(1)

6、证明 v| OA OB | = | OA - OB |,.( OA OB ) 2=( OA - OB ) 2,整理得：OA OB = 0 x1x2 + y1 y2 = 0设M( x,y )是以线段AB为直径的圆上的任意一点，贝yMA MB = 0即 (x xj(x X2)+ (y - yj(y - y2)= 0整理得：x2 y2 -(捲 x2)x - 山 y2)y = 0 故线段AB是圆C的直径.(2)设圆C的圆心为C ( x,y),贝y2 2 %=2pxi, y2=2px2(p - 0)2 2- X1X2yi y2 -4p2又XiX2 + yi y2 = 0,X1X2 = - yiy22 2

7、Yi Y24p2XiX2 丰 0,YiY2 丰 02YiY2 = -4 pXi X2122122、 ix(yi y2 )(yi y2 2yiy2)yiy22 4 p4p4 p=(y2 2p2)p所以圆心的轨迹方程为 y2 =px-2p2设圆心C到直线x-2y =0的距离为d,贝U|x-2y|5lp(y2 2p22Y|l(y - p)2 p21、5p当y = p时，d有最小值p，由题设得 p =亘. 5.55p = 2.圆锥曲线经典例题导讲3例1设双曲线的渐近线为：y x ,求其离心率.23解：由双曲线的渐近线为 yx是不能确定焦点的位置在 x轴上的，当焦点的位置在 y2轴上时，一二一，故本题应

8、有两解，即：a 3例2设点P(x,y)在椭圆4x2 y2 =4上，求x y的最大、最小值剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件4x2 y2 =4的约束.当x=1时,y此时取不到最大值 2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令 x = cosy y = 2sin v，则 x y 二 cost - 2sin v -5sin(v -)，故其最大值为, 5，最小值为5 .离心率e = 2，由双曲线的定义知(x-10)2 y2214|整理得2 2(X 2)一丄=11648例3已知双曲线的右准线为 x=4，右焦点F(1°,°),离心率e=2,求双曲线方程解法一：设P(

9、x，y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为X - 4，右焦点F(10,°),解法二：依题意，设双曲线的中心为(m,°).m =4* c +m =10解得|a = 4< c = 8 ,所以 b? = c? a =6416 = 48,m = 2.2 2故所求双曲线方程为(x-2)丄1648V33例4设椭圆的中心是坐标原点，长轴 x在轴上，离心率e，已知点P(0, )到这个22椭圆上的最远距离是' 7，求这个椭圆的方程.1解：若b ，则当y = -b时，d 2 (从而d )有最大值.23 ?311于是C- 7) (b ),从而解得b = . 7，与b <

10、 矛盾.2 2 2 2112所以必有b -，此时当y时，d2 (从而d )有最大值，22所以 4b2=(.7)2，解得 b2 =1,a4.2于是所求椭圆的方程为 y1.42 2xy例5从椭圆二 -=1,( a >b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1,abA B分别是椭圆长、短轴的端点，AB/ 0M设Q是椭圆上任意一点，当 QF2丄AB时，延长QF2与椭圆交于另一点 P,若"FiPQ的面积为20、, 3，求此时椭圆的方程.解：本题可用待定系数法求解*2 2b=c, a=.2c,可设椭圆方程为2L- I- =1.2c c PQ! AB, a kpc=-丄=旦

11、=確2，贝U PQ的方程为 y= . 2 (x-c), kAB b代入椭圆方程整理得 5x2-8cx+2c 2=0,根据弦长公式，得PQ =空2c,5又点F1到PQ的距离d-6 c3= |PQd24-? 3 2c54 .3 2c得 c2 二 25,2 2故所求椭圆方程为15025例6已知椭圆：兀2 y2 =1，过左焦点F作倾斜角为6的直线交椭圆于 A、B两点，求9弦AB的长+解：a=3,b=1,c=2 ,2 ; 则 F (-2 显,0)由题意知：1 2| : y = 1(X边展)与-y2 =1联立消去y 得: 叫394x212 2x 15 =0设A ( x1,y1)、B ( X2,y2)，则x

12、1,X2是上面方程的二实根，由违达定理，x1 x215X1 X2, Xm4X|x22沁 又因为A、B、F都是直线l上的点,2i2 j(x1 x2)4x1x21815 =2<3点评：也可利用“焦半径”公式计算2例7 (06年全国理科)设P是椭圆笃 y2 =1(a 1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一 a个动点，求丨PQI的最大值.解：依题意可设P (0,1 ), Q( x, y)，则I PQ| = Jx2 +(yl)2，又因为Q在椭圆上，所以，x2 二a2(1 - y2),22“22c” 22I PQ| = a (1y ) y -2y 1 = (1_a )y2 1 2 1 2 =(1a)(y

13、E e ".PQ |取最大值L11因为1 J 1 , a > 1，若 a ，则 ll - 1，当 八 R 时2 2 1J二一；若1V a V 2，则当y = 1时，| PQ|取最大值2. a2 -1例8:已知双曲线的中心在原点，过右焦点F (2, 0)作斜率为、3的直线，交双曲线于 5M N两点，且 MN =4,求双曲线方程+2 2解：设所求双曲线方程为刍-与=1(a 0,b 0)，由右焦点为(2, 0)知 C=2, b2=4- a a b.：5(x2)，代入双曲线方程2 2则双曲线方程为 笃 J =1，设直线MN的方程为:a 4 a整理得：(20-8 a2)x2+12a2x+

14、5a4-32 a 2=0设 M (X1,y 1),N(x 2,y 2),则 x1 x2-12a220 -8a25a4 -32a2x”2 _ 20_8a2MNx2 - 4x1 x2-12a2.屮2 一亠4520 -8a220 - 8a2解得 a2=1 , - b2=4_1=3+故所求双曲线方程为：2x2-y 九3点、直线和圆锥曲线经典例题导讲2例1求过点(01)的直线，使它与抛物线y =2x仅有一个交点解：当所求直线斜率不存在时，即直线垂直X轴，因为过点(0,1)，所以X -0,即y轴，它正好与抛物线 屮=2x相切.当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1平行x轴，它正好 与抛物线y2=2x只有

15、一个交点.一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y =kx+1 (k 式0),则了 =kx +12 ，y =2x2 2 1 1.k x - (2k -2)x 1 = 0.令厶=0,解得k =,二 所求直线为y x 1.1综上，满足条件的直线为：y=1, x=0, y x 1.例2已知曲线c： y二三0与直线2L： y = X m仅有一个公共点，求m的范围.解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分:2 . 5y形易求得m的范围为m = 5或-2 . 5 : m注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错例3已知A、B是圆x2 y2 =1与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线 A

16、C和DB相交于点P,问是否存在两个 定点E、F,使| | PE | -1 PF |为定值？若存在，求出 E、 F的坐标；若不存在，请说明理由解：由已知得A ( 1,0 )、B ( 1,0 ),设 P ( x, y ), C (x°,y°),则 d (x°,yo),由A、CP三点共线得y。X°1AypAODP三点共线得yX 12一 y0x02 -12得乙x -1又x。2y。2 -1,2 “ 2 y° =1 -x° ,代入得2 =1上，故由双曲线定义知，存在两个定点 E (F ( 2 , 0 )(即此双曲线的焦点)，使| PE | - |

17、 PF | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).例4已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线y=X+1与该椭圆相交于Tq且OPLOQ I PQI = 一，求椭圆的方程.22 2解：设所求椭圆的方程为务与=1.a b依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：'2 2Hia2 b2y =x 1将代入，整理得x a2(1 -b2) = 0 ,Xi、X2，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(Xi, X1+1)，Q( X2, X2+1).'10由题设OPL OQ I OP| = ，可得2(a2 +b2)x2 +2a设方程的两个根分别为j_110)22X1X2(X2 -X1)2(X21)

18、-(X11)2 =()整理得(冷 +X2) +2x1X2 +1 =0' 2丄4( X + X2) 16x1 X2 5 = 0 解这个方程组，得1X X2 =4X1 X22根据根与系数的关系,2a22丄！ 21X1X2412XiX2由式得3(1) a2 b22 2|a2(1 -b2) _ 1I ab2=4解方程组(1)、得a2 =22a21a2 b22a2(1 -b2)1.a2b2八；或b2b2-3故所求椭圆方程为2 2x y=1 ,2丄=1.22 2 ，x2例5( 06年高考湖南)已知椭圆2(y-m) =2px(p - 0)，且 Ci、C2的公共弦Ci :AB过椭圆C的右焦点。=1 ,抛物线C2 :(1)当AB! X轴时，4求m、p的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直