弹簧振子模型

1、弹簧振子”模型太原市第十二中学姚维明模型建构:【模型】常见弹簧振子及其类型问题在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1,简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2,简称模型乙）。认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。了二三.二 一K2F=-kx，“回复力”为振子运动方向上的合a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、【特点】弹簧振子做简谐运动时，回复力力。加速度为a = -Vm简谐运动具有对称性，即以平衡位置（ 位移都是对称的。这是解题的关键。模型典案：【典案1把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图 2。当它平衡后再

2、用力向下拉伸一 小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。R证明1设弹簧劲度系数为 k,不受拉力时的长度为lo,小球质量为 m,当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为 xoo由题意得mg=kxo容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O的距离为x,取向下的方向为正方向则回复力 F=mg+ -k（xo+x） =mg-kx o-kx= -kx根据简谐运动定义，得证比较：（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。（2）模型甲中，由弹篝的弹力提供回复力。因此,位移 （x）,回复力（F）,速度（v）,加速

3、 度（a）,各量大小是关于平衡位置O点对称的。（3）模型乙中，由弹篝的弹力和重力两者的合力提供回复力。弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称的，这点要特别注意。但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称的。在解题时我们经常用到这点。【典案2】如图3所示，质量为 m的物块放在弹簧上， 弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？R解析1 1）选物体为研究对象，画出其振动过程的几个 特殊点，如图4所示，O为平衡位置，P为最高点，Q为最低点。经判断，可知物体对弹簧的最大压力在Q处

4、,Fmax=1.8mg.a q =(F max-mg)/m=(1.8mg-mg)/m=0.8g物体对弹簧的最小压力时，在P处,根据对称性知aP=aQa Q =(mg- F min)/mF min/mg=0.2(2)欲使物体在振动过程不离开弹簧， 只需在最局点(P点)满足NWO即可。其离开弹簧的临界条件为N=0。此时，ap' =g设振幅最大值为A',劲度系数为k,贝U有 kA=map kAz =mpa联列两式得A =1.25A模型体验：【体验1】如图5所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊 索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在下端接触地后直到最低点的一段运动

5、过程()A.升降机的速度不断减小g =0> o B a aB.升降机的加速度不断变大C.先是弹力做的负功小于重力做的正功 后是弹力做的负功大于重力做的正功D.到最低点时，升降机加速度的值 一定大于重力加速度的值.R解析1本题实质上是模型乙的变形。机吊索断裂后先做自由落体运动，当弹簧与地面接触后，容易判断，v先增大后减小，a先减小后增大，则 AB错。根据动能定理容易判断C正确。难度较大的是 D选项。我们可以把升降机简化为如图6所示的弹簧振子，弹簧刚触地时升降机位置在 A处，升降机向下运动到最低点位置为B处，速度最大位置为 。处(即简谐运动的平衡位置)，则B为位移等于振幅位置。由振子的对称关

6、系，不难判断点A并非位移等于振幅位置，与A点关于O点对称的点应在 B点上方。在A点a=g方向向下，所以在B处 a 一定大于g,方向向上。【体验2】如图7所示，两木块质量分别为 m、M ,用劲度系数为k的轻弹簧连在一起， 放在水平地面上，将木块 m压下一段距离后释放，它就上下作简谐运动。在运动过程中木 块M刚好始终不离开地面(即它对地面最小压力为零)。_(1)则木块m的最大加速度大小是多少？mf(2)木块M对地面最大压力是多少？|“FR解析1 (1)在m运动过程中，弹簧对 m、M施加的弹pX-. m * " J力的方向可以向上也可以向下。Mg审选M为研究对象，刚好始终不离开地面图7即

7、FNmin =0由平衡条件F +FN=Mg,可知 F max=Mg此时，弹簧处于伸长状态，m具有向下的加速度(失重)要使木块m的加速度最大，应该使弹力F最大am=(F max+mg)/m=(M+m)g/m(2)要使木块M对地面的压力最大，此时弹簧对 M的弹力方向应向下。(此时，弹簧处于压缩状态)选M为研究对象，对其受力分析Fn' = F ' + Mg要使Fn最大，则F最大 这里要注思， Fmax WF Nmax = Mg根据木块m做简谐运动的特点，(1) (2)两种情况，加速度大小 相等。 '对 m, 有 Fm a k mg = mam 'F max=mg+ma

8、m(3)am= (M+m)g/m联列三式，得 F/Nmax =Mg + F' =2(M+m)g图9根据牛顿第三定律 Fn * =-F/Nmax = 2(M+m)g【体验3】如图9所示，质量为3m的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为 5mg, 求小球运动到最高点时，台秤的示数为 ，小球的瞬 时加速度的大小为 。R解析1当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg,即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mga,此由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加

9、速度，设该时刻小球加速度大小为 时框架的加速度大小为 0则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得FN - M mg = FN -4mg = m a 3m 0解得：a = g由弹簧振子的典型特征 1知识，小球运动到最高点， 即最低点的对称点时， 小球加速度的大小也为g,方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mgo*【体验4】如图10所示，在光滑的水平面上，有滑块 A和B, A和B的质量均为10g, 现有一轻质弹簧固定在两滑块右方的墙壁上，弹簧的劲度系数为k = 2N/m。开始时两滑块均静止，现给 A滑块一冲量，使其以10m/s的速度向右滑行，并与 B相碰后，与B粘在 一起，

10、碰撞时间很短。求弹簧与墙有作用力的时间。【解析】滑块 A向右与滑块B相碰粘合一起，由动量一LJI_守恒知，两者以5m/s的速度向右运动，A、B两滑块整体做图10简谐运动弹簧作用时间即弹簧与墙存在作用力的时间两滑块整体与弹簧相互作用时，两者组成了一个弹簧振子，两滑块整体与弹簧的作用时间t为弹簧振子周期 T的一半，即t = TT =2二m 一,已知 m = mA + mB = 0.02kg, k = 2 N / m .k代入周期公式得：T =02二： 0628s所以弹簧与墙存在作用力的时间：t =1=0.314s2【体验5】如图11,一水平弹簧振子在光滑绝缘水平面上振动 ，其振动小球带正电，在没有

11、 外加电场时，振子的平衡位置在 O点,当它振动到最左边时突然加一个向左的匀强电场，振子图11继续振动时，以下说法正确的是：A.平衡位置在。点的左方，振子的振幅增大B.平衡位置在。点的右方，振子的振幅减小C.平衡位置在。点的左方，振子的振幅减小 D.平衡位置在。点的右方，振子的振幅增大R答案1 C【体验6】已劲度系数为k,绝缘材料制成的轻弹簧，一端固定，另一端与质量为m、带电量为q的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上。当加入如图所示的场强为E的匀强电场后，小球开始运动，下列说法正确的是（）A.球的速度为零时，弹簧伸长量为qE/kB.球做简谐运动，振幅为 qE/kC.运动过程中，小球的机械能守恒D.

12、运动过程中，是电势能、动能和弹性势能的相互转化R答案1 BD【体验7】如图12所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k,开始时，振子被拉到平衡位置 O的右侧某处，此时拉力为 F,然后轻轻释放振子， 振子从初速度 为零的状态开始向左运动，经过时间 t后到达平衡位置。处，此时振子的速度为 v,则在这 过程中，振子的平均速度为 （）、.A. v/2C. vR答案B. F/ (2kt)D. F/ (kt) D【体验8】在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 k,振子质量为M,振动的最大速度为 Vo.如 图所示，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放在其上，则（1）要保持物体

13、和振子一起振动，二者间动摩擦 因数至少多大？ （2）一起振动时，二者经过平衡位置的速度多图12图13大？二者的振幅又是多大？（已知弹簧弹形势能 E产kx【体验9】在一种叫做“蹦极”的运动中，质量为良的橡皮绳，从高处由静止开始下落，下落到1.5L2 ,x为弹簧相对原长伸长量）m的游戏者身系一根长为 L、弹性优 时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力,A.B.C.D.则以下说法中正确的是（ 速度先增大后减小在下落位移为L时速度达到最大值加速度先减小后增大在下落位移为1.5L时加速度达到最大值R解析1游戏者从高处由静止开始下落，下落到它分成两段来分析，在下落 L的过程中自由落体运动,1.5L时到达

14、最低点的过程，我们可把加速度不变，速度一直增大；从 L到1.5L的过程可看成简谐振动，等效成弹簧振子模型，因此，人的运动可看成是先向平衡 位置再离开平衡位置运动，所以加速度先减小后增大， 而速度是先增大后减小， 平衡位置速度最大，在最低点是最大位移处加速度最大。所以答案选A和d【体验10】一升降机在箱底装有若干个弹簧，如图所示，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段过程中()A.升降机的速度不断减小B.升降机的加速度不断变大C.先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D.到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加

15、速度的值R解析1升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段过程可等效成弹簧振子模型。升降机先向平衡位置后向最大位移处(最低点)运动，所以速度先增大后减小，加速度先减小后增大，因此选项A和B不对。同时可知弹力先小于重力后大于重力，所以先弹力做的负功小于重力做的正功， 然后是弹力做的负功大于重力做的正功，选项C正确。在最低点时加速度大于刚落地时的重力加速度，选项D正确。【体验11如图14所示，质量为 m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的图14物体B相连，开始时 A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为xo, 一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体 A、另一端C握在手中，各段绳均处于刚好伸直

16、状态，A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端施水平恒力F而使A从静止开始向上运动。(整个过程弹簧始终处在弹性限度以内)(1)如果在C端所施恒力大小为 3mg ,则在B物块刚要离开地 面时A的速度为多大？(2)若将B的质量增加到2m,为了保证运动中 B始终不离开 地面，则F最大不超过多少？【解析】由题意可知：弹簧开始的压缩量x0=mg ,在B物块0 k刚要离开地面时弹簧的伸长量也是X0 = mgk(1)若F=3mg,在弹簧伸长到xo时，B开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相 等，F所做的功等于A增加的动能及重力势能的和。即12F 2xo =mg 2xo +2mv可解得：v = 232gXo(2)所施力为恒力Fo时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体 A做简谐运动。在最低点：Fo - mg+kx o=ma1式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点A的加速度。在最高