学高中数学 1.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修22

1、1 1.4 4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决某些实际问题的方法,能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.2.利用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值.3.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用可导函数求最值的方法求最值.其方法如下:(1)审题:阅读并理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数

2、学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;(4)对结果进行验证评估,定性定量分析,做出正确的判断,确定其答案.2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么?剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)=0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量

3、的定义区间.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四在定义域(0,1.6)内,只有x=1使y=0,且x=1是函数y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1.6)内唯一的极大值点,也就是最大值点.因此,当x=1时,y取得最大值,ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),这时高为3.2-21=1.2(m).故高为1.2 m时,容器的容积最大,最大容积为1.8 m3.反思解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四所以函数在(140,+)内

4、单调递增,在(20,140)内单调递减.所以当x=140时,s取得最小值.当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,s取得最小值24 500.故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思选取合适的量为自变量,并确定其取值范围.正确列出函数关系式,然后利用导数求最值,其中正确列出函数关系式是解题的关键.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数,所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,

5、120上只有一个极值,所以它是最小值.故当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25 l.题型一题型二题型三题型四利润最大问题【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a(3a5)元的管理费,预计当每件产品的售价为x(9x11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润l(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润l最大?并求出l的最大值q(a).分析:(1)利用题中等量关系找出l与x的函数关系式;(2)求出(1)中函数关系式的导函数,再利用导数求最

6、值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系为p=24 200- x2,且生产x吨该产品的成本为(50 000+200 x)元.则每月生产吨产品才能使利润达到最大,最大利润是元.(利润=收入-成本)答案200315万题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:忽略实际问题中的定义域而致错【例4】 甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成;可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例