矩阵乘积的运算法则的证明

1、矩阵乘积的运算法则的证明矩阵乘积的运算法则1。乘法结合律：若AwCm>n ,BwCnx：p , C wCp期，则 A(BC) = (AB)C.2口乘法左分配律：若 A和B是两个 mxn矩阵，且C是一个nx p矩阵，则 (A B)C = AC BC .3口乘法右分配律：若 A是一个 mn矩阵，并且B和C是两个n父p矩阵，则 A(B C) = AC BC .4口若o(是一个标量，并且 A和B是两个nm矩阵，则o(A + B) =aA+aB.证明11先设 n 阶矩阵为 A = (aj), B =(bj), C =(cj ) , AB =(dj ), BC = (ej)ABC = (fj) ,

2、A(BC) = (gj ),有矩阵的乘法得：dj =2心口 - ai2b2j .上ambnj.i, j =1,2上 nej =biRj>2c2j .上7cnj.i, j =1,2上 nfij=di1C1j.di2c2j.上. dinCnj.i, j =1,2上ngij=ai1e1j-ai2e2jAainenj.i, j =1,2上n故对任意i, j =1,2A n有：fij =di1c1j . di2c2j - I -dingj二 (ai1b11 ai2b21 .上, ainbn1)c1j .(ai 1b12 ai2b22 ，ain bn2 )c2j(ai1b1n ai 2 b2n ai

3、n bnn)cnj=ai1 (bn01 j b12c2j ,八b1ncnj )ai2(b21cijb22c2jb2ncnj ) 'ain (bnicl j ' bn2c2j ,b bnnCnj )= ai1e1j - ai2e2j上'ainenj=g ij故(AB)C =A(BC)再看 A=(aik)mn , B =(bkj)np,C =(Cjt)pq, AB = (dj )mp , BC =(履端A(BC) =(git)mq,有矩阵的乘法得：dij 二aiibij . ai2b2j 八.ainbnj.i,j =1,2上 nekt=bkiGt. bk2 02t A bk

4、pCpt.k =1,2上 n,t =1,2上qfit=diG di2c2t：二；" dipCpt.i =12'、m,t=1,2.二qgit 二ai10t , ai2e2t f -ainent.i =1,2上 m,t =1,2A q故对任意的 i =1,2A m, j =1,2A p, k =1,2A n, t=1,2Aq 有：fit =di£1t , di2c2t二-dipCpt=(ai1b11ai2b21- - - ain bn1 ) c1t(ai1b12ai2b22 .上ainbn2)c2t上(ai1b1pai2b2P 二ainbnp)Cpt= ai1(b11c

5、1tb12c2t- Lb1pcpt )ai2(b21Gtb2202t_b2pcpt) ain (bn1 c1tbn2c2t bnpcpt )6=为隹北'ai2e2t' ainent=g ij故(AB)C =A(BC)设Aj表示矩阵 A的第i行,第j列上的元素，则有(A B)C ij(AikBik)Ckj=EkAikCkj '、BikCkjk= (AC)j(BC)j故证出矩阵乘法左分配律同理矩阵乘法左分配律可得(AC)j (BC)jAikCkjBikCkjk故证出矩阵乘法左分配律设 A = (aij )mn可得A B =二(A B)=£k(AkBik)Ckj(A

6、 B)C ijMi ai2 Aam 1biibi2Abina2ia22A a2nb2ib22Ab2n,B = (bj ) mn =M MMM MMjamlam2 4 amn _11_bmibm2A bmn -aii *biiai2 +b12Aain +bna21 + b21a22 + b22Aa2n+b2nMMMtaml b bmi am2 b bm2A amn * bmn _-£(aii +b1i)a(a12+ bi2)A a(ain + bin )0t (a2i +b2i)0t Q22+ b22)A «(a2n * b2n )MMM依(amibmi)A”(amn +bmn)_：(am2 bm2)aaiiaai2AS泡*22Aua2 naA =MMM:«amiS2Aaamn-(aii bn):(a12八，c口(a2i +b2i)a(a22uA +aB =M产(ami bmi)： (am2所以:(A B) = ： A = B.abii岫