3位移和应变分析ppt课件

1、 物体受到外力的作用时，物体内各点与点之间有相对位移，因而物体的形状物体受到外力的作用时，物体内各点与点之间有相对位移，因而物体的形状和尺寸就会发生变化，即产生变形。和尺寸就会发生变化，即产生变形。本章主要讨论三个问题：本章主要讨论三个问题：1.位移分量和应变分量及其间的关系；位移分量和应变分量及其间的关系；2.物体内一点的应变状态分析；物体内一点的应变状态分析；3.无旋变形和等体积变形无旋变形和等体积变形1;.3-1 位移分量和应变分量以及其间的关系位移分量和应变分量以及其间的关系一一.位移分量位移分量物体受力后各点要发生位移，位移一般分为两部分，物体受力后各点要发生位移，位移一般分为两部分

2、，一部分是与物体变形相应的位移，称为相对位移；一部分是与物体变形相应的位移，称为相对位移；另一部分是与物体变形无关的位移，称为刚性位移。另一部分是与物体变形无关的位移，称为刚性位移。RruAAxyz2;.物体变形前，点物体变形前，点M（x,y,z）变形后变形后,该点由原来位置移至新的位置该点由原来位置移至新的位置M(x,yz)MM称为点称为点M的位移的位移MM在在x,y,z三轴上的投影三轴上的投影u,v,w称为该点的位移分量称为该点的位移分量符号规定：符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。与坐标轴正方向一致为正，相反为负。考虑外力作用下的两种状态：考虑外力作用下的两种状态：平衡

3、状态：平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化，）只随位置变化，不随时间变化。不随时间变化。运动状态：运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和）随位置和时间变化而变化。时间变化而变化。3;.本章仅考虑平衡状态。本章仅考虑平衡状态。 根据连续性假设，物体上任一点根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后，都一一对应于相应，当物体变形后，都一一对应于相应的点的点M； 位移分量是点坐标的单值连续函数。即：位移分量是点坐标的单值连续函数。即：(

4、 , , )( , , )( , , )uu x y zvv x y zww x y z 由于运算的需要，假定位移分量具有连续到由于运算的需要，假定位移分量具有连续到三阶的偏导数。三阶的偏导数。4;.二二.应变分量应变分量 分析物体内一点的应变状态，在物体内任一点取出一个平行于三个坐标分析物体内一点的应变状态，在物体内任一点取出一个平行于三个坐标平面的微分平行六面体（单元体）。设其三个棱边的长度分别为平面的微分平行六面体（单元体）。设其三个棱边的长度分别为dx,dy,dz。 由小变形假设，此单元体各投影面的变形情况与此微分体的变形由小变形假设，此单元体各投影面的变形情况与此微分体的变形情况的差

5、别是微小的；情况的差别是微小的； 因此，对于此微体，只要研究它在各个坐标面上投影的变形就可因此，对于此微体，只要研究它在各个坐标面上投影的变形就可以了。以了。5;. 考察物体内任意一微小线段考察物体内任意一微小线段长度的相对改变长度的相对改变 正（线）应变正（线）应变方向的相对改变方向的相对改变 剪（角）应变剪（角）应变lll 090ABABllxyzABABllCC900 xyz变形包括：变形包括：1.各棱边长度的变化（伸长或缩短）用正应变表示各棱边长度的变化（伸长或缩短）用正应变表示2.棱边夹角的变化，用剪应变表示。棱边夹角的变化，用剪应变表示。6;.沿坐标轴沿坐标轴x,y,z方向的正应变

6、分量为：方向的正应变分量为：;dxdydzxyzdxdydzxyyxyxxyyzzyzyyzzxxzxzzxxyyxxyyx它与的含义不同，与并不是同一个剪应力，它们只是数值相等而已剪应变分量为微分各面间所夹直角的改变量。（用弧度表示）剪应变分量为微分各面间所夹直角的改变量。（用弧度表示）注意：注意：即过物体内某点所引沿即过物体内某点所引沿x及及y方向的线元间夹角的改变量。方向的线元间夹角的改变量。xyyx与代表的完全是同一个量7;.当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于M点时点时,xyzxyyzzx 表示该点处的六个应变分量某点的应变状态可以由六个应变分量来

7、表示。某点的应变状态可以由六个应变分量来表示。8;.三三.应变分量和位移分量间的关系应变分量和位移分量间的关系 将微分平行六面体的应变分量用该微体变形后在坐标平面上的投影来表明。将微分平行六面体的应变分量用该微体变形后在坐标平面上的投影来表明。 以在以在oxy平面上的投影为例，研究应变分量与位移分量的关系：平面上的投影为例，研究应变分量与位移分量的关系：P点在点在x，y轴的位移分量为：轴的位移分量为：( , , ),( , , )uu x y z vv x y zA，B两点相应的位移分量分别是：两点相应的位移分量分别是：(, , ),(, , )Auu xdx y z vv xdx y z：(

8、 , ),( , )Buu x ydy z vv x ydy z： 按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，则按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，则A点和点和B点的位点的位移分量分别为移分量分别为,uvBudy vdyyy：,uvAudx vdxxx：9;.一点的变形一点的变形线段的伸长或缩短；线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；线段间的相对转动；考察考察P点邻域内线段的变形：点邻域内线段的变形：xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA变形前变形前变形后变形后ABBAuPPvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：这里略去

9、了二阶以上高阶无穷小量。注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。10;.xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正应变：的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正应变：的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪应变：点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化点两直角线段夹角的变化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxy11;.整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx几何方程几何方程说明：说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。弹性力学的基本方程之一。（2）当当 u、v 已知

10、，则已知，则 可完全确定；反之，已知可完全确定；反之，已知 ，不能确，不能确定定u、v。xyyx,xyyx,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy 以两线段夹角减小为正，增大为负。以两线段夹角减小为正，增大为负。xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv12;.,xyzuvwxyz,xyyzzxvuwvuwxyyzzx 利用微体在另外两个坐标面上的投影，可以求得其他应变分量和位移分量之利用微体在另外两个坐标面上的投影，可以求得其他应变分量和位移分量之间的关系：间的关系：此式称为几何方程，又称柯西（此式称为几何方程

11、，又称柯西（Cauchy）方程）方程如果已知位移分量，由几何方程求偏导数可以得到应变分量如果已知位移分量，由几何方程求偏导数可以得到应变分量如果已知应变分量，求位移分量比较复杂，如果已知应变分量，求位移分量比较复杂，积分需要确定积分常数，由边界积分需要确定积分常数，由边界条件决定条件决定13;.应变分量的符号规定：应变分量的符号规定：正应变：正应变：正号的正应变表示沿该方向伸长，正号的正应变表示沿该方向伸长，负号的正应变表示沿该方向缩短；负号的正应变表示沿该方向缩短；剪应变：剪应变： 正号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度减小，正号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度减小， 负号表示沿两

12、个坐标轴正向的两条直线间的角度增大。负号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度增大。14;.3-2 物体内一点的应变状态物体内一点的应变状态,xyzxyyzzx表示该点处的六个应变分量问题：问题：1、求过此点任意方向微分线段的正应变；、求过此点任意方向微分线段的正应变；2、求过该点任意两个方向微分线段间夹角的改变量。、求过该点任意两个方向微分线段间夹角的改变量。（注意剪应变的定义）（注意剪应变的定义）一、求过一、求过A点沿点沿N方向的任一微分线段方向的任一微分线段AB的正应变的正应变;ABdrlmn微分段的方向余弦 ， ，,dxdr l dydr m dzdr n该微分线段在直角坐标轴上的投影

13、为：该微分线段在直角坐标轴上的投影为：15;.设设A点的位移分量为点的位移分量为u，v，w，则，则B点的位移为：点的位移为：uuuu =u+xyzvvvv = v+xyzwwww =w+xyzdxdydzdxdydzdxdydzABBAL，m，nL，m，ndrdr16;. 物体变形后，微分线段物体变形后，微分线段AB变为变为AB，则，则AB在坐标轴上的投影为：在坐标轴上的投影为：uuudx+u -u=dx+xyzvvvdy+v -v=dy+xyzwwwdz+w -w=dz+xyzdxdydzdxdydzdxdydz设线段设线段AB 的正应变为的正应变为N,(1)NNdrdrdrdrdr17;.

14、222222(1)(12)(12)NNNNdrdrdrdr 2222222222222121 ()()()()21 2222Ndrdrdrdxdudydvdzdwdxdydzdxdydzdxdudydvdzdwdrdudvdwlmndrdrdr 18;.uuudu=xyzvvvdy=xyzwwwdz=xyzdxdydzdxdydzdxdydz222()()()Nxyzyzzxxyu dxu dyu dzv dxv dyv dzlmx dry drz drx dry drz drw dxw dyw dznx dry drz drlmnmnnllm19;.利用矩阵表示为：利用矩阵表示为：11221

15、1221122xxyxzNxyyyzxzyzzllmnmnxxyxzijxyyyzxzyzz20;.111,222xyxyyzyzxzxz()Nijllmnmn()ij称为应变张量称为应变张量21;.二、求过二、求过A A点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量Adr1CBCBAdr2dr2dr1CCAB的方向余弦为的方向余弦为111,l m nAC的方向余弦为的方向余弦为222,l m n22;.111111111111(,),dxdydzABdx dy dzlmndrdrdr222222222222(,),dxdydzACdx dy dzlmndrdrd

16、r1 21212cosl lm mn n变形前夹角变形前夹角211212cosl lm mn n 变形后夹角变形后夹角23;.11111111111111111211111111(1)(1)1(1)(1)(1.) (1)(1)xxxuuudxdxdydzdxdxduxyzldrdrdruulmnyzuulmnyzuulmnyz1111111111111(1)(1).vvvdydxdydzdydydvxyzmdrdrdr24;.11111(1)xuullmnyz11111(1)yvvmlmnxz11111(1)zwwnlmnxyAB的方向余弦为的方向余弦为AC的方向余弦为的方向余弦为22222(

17、1)xuullmnyz22222(1)yvvmlmnxz22222(1)zwwnlmnxy25;.利用矩阵表示为：利用矩阵表示为：111111111111xyzuuyzllvvmmxznnwwxy222222222111xyzuuyzllvvmmxznnwwxy26;.211212211122212111122221cos111111xxyyzzl lm mn nllmnmnuuvwyzxxluwvvlmnmyyxznwwuvxyzz 122111122212111xyzuvuwyxzxlvuvwlmnmxyzynuwvwzxzy变形后夹角变形后夹角27;.122111122122212211

18、121111222122121212222100222010222001xxyxzxyyyzxzyzzxxyxzxyyyzxzyzzllmnmnlllmnmlmnmnn211121222(1)cosijllmnmn21112122coscos2()()cosijllmnmn夹角改变量为夹角改变量为28;. ,90 ,cos0oABAC如果变形前则1212090;90oN NN N 剪应变1212120coscos(90)sinN NN NN N 122111222()N Nijllmnmn29;.3-3 主应变和主方向主应变和主方向 过物体内一点不同方向上的正应变以及同一点两垂直方向的剪应变是

19、不过物体内一点不同方向上的正应变以及同一点两垂直方向的剪应变是不同的。同的。问题：过该点是否存在这样三个互相垂直的方向，使沿这三个方向的微分线段，问题：过该点是否存在这样三个互相垂直的方向，使沿这三个方向的微分线段，在物体变形后只是各自改变了长度，而夹角仍保持为直角。在物体变形后只是各自改变了长度，而夹角仍保持为直角。 我们可以证明存在此单元体；我们可以证明存在此单元体； 我们把具有性质的方向称为该点应变的主方向，或应变主轴，此方向的正应我们把具有性质的方向称为该点应变的主方向，或应变主轴，此方向的正应变称为主应变。变称为主应变。30;. 设设AB表示物体内一点沿表示物体内一点沿A沿其主方向的

20、微分线段，其方向余弦为沿其主方向的微分线段，其方向余弦为l,m,n,变变形后，线段形后，线段AB变为变为AB,方向余弦为方向余弦为l,m,n(1)uuullmnxyz(1)vvvmlmnxyzuuudu=xyzdxdydz(1)(1)dxdxduuuullmndrdrxyz(1)wwwnlmnxyz 表示线段表示线段ABAB的正应变，的正应变，即主应变即主应变。31;.将式子变形可得：将式子变形可得：1111(1)2222xyyyzzxmmlmnln1111(1)()()()()22221111(1)2222xxxyxzzyuvuwuvuwllmnmnyxzxyxzxlllmnmn1111(1

21、)2222xzyzzyxnnlnnlm32;. 线段线段AB的方向余弦为的方向余弦为l,m,n,变形后，线段变形后，线段AB变为变为AB,方向余弦为方向余弦为l,m,n；一般来说，它们是不一般来说，它们是不 相等的。相等的。 但是它们的偏离是由于单元体的刚性转动所引起的。但是它们的偏离是由于单元体的刚性转动所引起的。,0 xyz 令,ll mm nn故故（l,m,n）与与（l,m,n）一致）一致33;.11()022xyyyzlmn11()022xxyxzlmn11()022xzyzzlnn2221lmn此为应变主方向应该满足的方程，方向余弦还应该满足此为应变主方向应该满足的方程，方向余弦还应

22、该满足321230JJJ 与应力分析相似，采用分析主应力的方法可以得出求主应变的方程为：与应力分析相似，采用分析主应力的方法可以得出求主应变的方程为：应变状态的特征方程应变状态的特征方程34;.1xyzJ22221()4yzzxxyyzzxxyJ 3112211221122xxyxzxyyyzxzyzzJ分别称为第一、第二、第三应变不变量分别称为第一、第二、第三应变不变量123,J JJ35;. 由应变状态的特征方程求德的三个根就是由应变状态的特征方程求德的三个根就是A点的三个主应变。点的三个主应变。123 求主应变的方向，即应变主方向，将主应变的结果带入方程可以求求主应变的方向，即应变主方向

23、，将主应变的结果带入方程可以求出。出。当已知主应变时当已知主应变时1123J212233 1J 3123J 36;.3-6 体积应变体积应变体积应变：物体变形后单位体积的变化体积应变：物体变形后单位体积的变化 用体积的相对变化（体积应变）来反映物体内任一点体积的变化。用体积的相对变化（体积应变）来反映物体内任一点体积的变化。 物体内任一点物体内任一点M（x，y，z）附近取一个微分六面体，各棱边长度为）附近取一个微分六面体，各棱边长度为dx，dy，dz，其体积为：，其体积为：dVdxdydz 变形后，由于在线性应变的情况下，剪应变不会引起微分体各边长度的改变，变形后，由于在线性应变的情况下，剪应

24、变不会引起微分体各边长度的改变，而剪应变引起的体积改变为高阶微量，可以略去不记。而剪应变引起的体积改变为高阶微量，可以略去不记。 因此，研究体积改变只考虑正应变所产生的影响。因此，研究体积改变只考虑正应变所产生的影响。37;.(, , )( , )( , ,)A xdx y zB x ydy zZ x y zdz变形前：变形前：变形后：变形后：(1),(1),(1)uM Adx dy dzxvM Bdxdy dzywM Cdx dydzz 38;.dVM AM B M C 变形后：体积(1)(1)(1)(1)xyzdVM AM B M Cuvwdxdxdxxxxuvwdydydyyyyuvwd

25、zdzdzzzzdxdydz xyzdVdVuvwdVxyzt变形后：体积应变39;.Uuiy jzkM定义为点的位移矢量divUU t体积应变即应变的第一应变不变量。即应变的第一应变不变量。xyzijkxyz 为拉普拉斯算子1xyzuvwJxyzt体积应变一点的体积应变等于位移场的散度。一点的体积应变等于位移场的散度。40;.3-7 无旋变形和等体积变形无旋变形和等体积变形位移矢量公式位移矢量公式Uuiy jzkM定义为点的位移矢量uvwdivUxyz散度 考虑位移在物体所占空间各点的分布和变化的规律，引入位移场的概念。考虑位移在物体所占空间各点的分布和变化的规律，引入位移场的概念。 由场的

26、概念定义位移场由场的概念定义位移场 如果在物体所占空间内的每一点，都对于着大小和方向完全确定的位移，如果在物体所占空间内的每一点，都对于着大小和方向完全确定的位移，就称在这个空间里确定了该位移的场，而这空间区域叫做位移场。就称在这个空间里确定了该位移的场，而这空间区域叫做位移场。用场论的观点来分析位移：用场论的观点来分析位移：uvwgradUijkxyz梯度ijkrotUUxyzuvw 旋度41;.一、无旋变形一、无旋变形 势量场势量场 如物体变形时，其中任一微小体积都不作刚性转动，这样的变形称如物体变形时，其中任一微小体积都不作刚性转动，这样的变形称为无旋变形，即：为无旋变形，即：2220

27、xyzikjpiq jrk2xwvpyz2yuwqzx2zvurxy,0UU 故无旋变形时有 如果连续体内的位移场有一个标量位如果连续体内的位移场有一个标量位，则位移场等于此标量位的梯度。，则位移场等于此标量位的梯度。UgradUijkxyz 即：这种位移场称为势量场，或无旋场这种位移场称为势量场，或无旋场42;.证明：证明：位移场是势量场的必要充分条件是位移场是势量场的必要充分条件是0rotUU故证明了，如位移场是势量场，则位移场的旋度等于零故证明了，如位移场是势量场，则位移场的旋度等于零0UgradU 如果则：如果位移场的旋度为零，则此位移场是势量场如果位移场的旋度为零，则此位移场是势量场

28、,uvwxyz上式要成立必有:0,Uwvuwvuyzzxxy如果则1、2、U 因而有：43;.二、等体积变形二、等体积变形 管量场管量场 如物体变形时，其中任一微小体积的大小都不改变，即体积应变为如物体变形时，其中任一微小体积的大小都不改变，即体积应变为零，这样的变形称为等体积变形。在此情况下：零，这样的变形称为等体积变形。在此情况下：0divUUt体积应变 如果连续体内的位移场有一个矢量位如果连续体内的位移场有一个矢量位则位移场等于此矢量位的旋度。则位移场等于此矢量位的旋度。Urot这种位移场称为管量场或无源场。这种位移场称为管量场或无源场。44;.位移场是管量场的必要充分条件是位移场是管量

29、场的必要充分条件是0divUU证明：证明：1、0UdivUU 如果则故证明了，如位移场是管量场，则位移场的散度等于零故证明了，如位移场是管量场，则位移场的散度等于零2、00divUUuvwxyz 如果即xyzijkUuiv jwkxyz45;.,yyxxzzuvwyzzxxy具体的求一组解的方法：具体的求一组解的方法：( , , );( , , )xzu x y zw x y zyy 0y设，可得00( , , )( , )( , , )( , )yzyyxyu x y z dyA z xw x y z dyB z x-对对y积分可以得到积分可以得到46;.0yywuBAvdyzxzx 代入可

30、得：0uvwxyz由于：0000( , , )(,)yyvBAvdyyzxBAv x y zv xyzzx代入可得：000;( , )zzABv x yz dz令可以满足上式。可以满足上式。47;.可以得到此方程的一组解；可以得到此方程的一组解；0000( , , )( , )0( , , )yzxyzyyzyw x y z dyv x yz dzu x y z dy- 证明了由位移场的散度为零所决定的矢量位存在，但是解不是唯一的。证明了由位移场的散度为零所决定的矢量位存在，但是解不是唯一的。 所以知道：如果位移场的散度为零，则此位移场是管量场。所以知道：如果位移场的散度为零，则此位移场是管量

31、场。48;.三、位移矢量公式三、位移矢量公式 一般情况下，物体变形时，其中任一微小体积既有体积改变，又作刚性转一般情况下，物体变形时，其中任一微小体积既有体积改变，又作刚性转动。动。 因此，相应的位移场就是势量场和管量场的迭加。因此，相应的位移场就是势量场和管量场的迭加。即位移矢量可以分解为两个分矢量，即位移矢量可以分解为两个分矢量，第一个分矢量表示无转动，而是纯体积膨胀的位移，就是标量位的梯第一个分矢量表示无转动，而是纯体积膨胀的位移，就是标量位的梯度。度。第二个分矢量表示没有体积膨胀的纯转动的位移，就是矢量位的旋度。第二个分矢量表示没有体积膨胀的纯转动的位移，就是矢量位的旋度。Ugrad

32、UrotUgradrot此为位移矢量公式此为位移矢量公式49;.3-8 位移边界条件位移边界条件解决弹性力学问题，必须考虑边界条件解决弹性力学问题，必须考虑边界条件力的边界条件：物体表面上给定了面力，力的边界条件：物体表面上给定了面力，位移边界条件：物体表面给定的是位移。位移边界条件：物体表面给定的是位移。xzyzzZlmnxyyzyYlmnxyxzxXlmn力的边界条件给出了应力和面力之间的关系。力的边界条件给出了应力和面力之间的关系。位移边界条件是指当物体变形时，相应的位移函数在边界上应满足的条件。位移边界条件是指当物体变形时，相应的位移函数在边界上应满足的条件。50;.3-9 应变协调方

33、程应变协调方程 由连续性假设，物体在变形前后均是连续体，因此物体内各单元体由连续性假设，物体在变形前后均是连续体，因此物体内各单元体与单元体之间的变形必须相互协调；否则各单元体发生变形以后，就不与单元体之间的变形必须相互协调；否则各单元体发生变形以后，就不能再组成一个连续体。能再组成一个连续体。位移分量：位移分量：u，v，w,xyzxyyzzx 应变分量：应变分量：,xyzuvwxyz,xyyzzxvuwvuwxyyzzx几何方程：几何方程：51;. 六个应变分量可以用三个位移分量来表示，各应变分量之间必须存在一六个应变分量可以用三个位移分量来表示，各应变分量之间必须存在一定的关系；如果不满足

34、，则应变就不能与一组连续的位移相对应，变形将不定的关系；如果不满足，则应变就不能与一组连续的位移相对应，变形将不协调。协调。 为使变形连续或者协调，各应变分量所满足的关系就是应变协调方程。为使变形连续或者协调，各应变分量所满足的关系就是应变协调方程。 应变分量满足应变协调方程，是保证物体连续的一个必要条件。应变分量满足应变协调方程，是保证物体连续的一个必要条件。 如果物体是单连通的，应变分量满足应变协调方程也是物体连续的充分条件。如果物体是单连通的，应变分量满足应变协调方程也是物体连续的充分条件。52;.考虑考虑xy平面内各应变分量之间的关系：平面内各应变分量之间的关系：将几何方程：将几何方程

35、：xvyuyvxuxyyx,作如下运算：作如下运算：2322yxuyx2322xyvxy223322xyuvuvx yy xyxx yy x 显然有：显然有：yxxyxyyx22222 应变协调方程（或相容方程）应变协调方程（或相容方程）即：即： 必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能的存在与协调，才能求得这些位移分量。求得这些位移分量。xyyx,53;. 同理可以求得另外两平面内应变分量的关系式，综合起来可以得到以下方程同理可以求得另外两平面内应变分量的关系式，综合起来可以得到以下方程组：组：yxxyxyyx2222222222yyzzzyy z

36、 22222xzxzxzz x 例：例：Cxyxy0 x0y其中：其中：C为常数。为常数。由几何方程得：由几何方程得：0, 0yvxu积分得：积分得：12( )( )uf yvfx由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：CxyxvyuxyCxydxxdfdyydf)()(21显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。54;.考虑不同平面内的应变分量之间的关系：考虑不同平面内的应变分量之间的关系：22yzvwxz xx y 22zxwuyx yz y 22xyuvzy zx z 22yzxyzxwxyzx y 2222yzxyzxzwzxyzx yzx y 55;.同理：同