浙江省名校新高考研究联盟2012届高三数学第一次联考试题理新人教A版

1、浙江省名校新高考研究联盟2012 届第一次联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150 分，考试时间120 分钟参考公式：如果事件 A ， B 互斥，那么棱柱的体积公式PAB PAP BVSh如果事件 A ， B 相互独立， 那么其中 S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高PAB PAP B棱锥的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么V1 Sh3n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 k 次的概率其中 S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高Pn k Cnk pk 1n k,k0,1,2, , n棱台的体积公式k球的表面积公式S4R2V1 h S1S1 S2

2、S23球的体积公式V4R3其中 S1,S2分别表示棱台的上底、下3底面积，其中 R 表示球的半径h 表示棱台的高第 I 卷(选择题共 50分 )一、选择题（共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请将你认为正确的选项答在指定的位置上。）12，1已知函数 f (x)x, x 0则 f f (4)()(1x, x，2)0A4B 4C1D1442aR.则“a10”是“a1”成立的()设1a 2aA充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既非充分也非必要条件3设 m, n 是两条异面直线，下列命题中正确的是( )A过 m 且与 n 平行的平面有且只

3、有一个B过 m 且与 n 垂直的平面有且只有一个C m 与 n 所成的角的范围是0，D过空间一点P 与 m 、 n 均平行的的平面有且只有一个4 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数. 给出f1 x2log 2x ， f 2 x2四个函数：log 2 x 2 ， f3 (x) （ log 2 x） ，f 4 ( x) log 22x .则“同形”函数是用心爱心专心1()A f 1 x与 f 2 xB f 2 x与 f3 x开始C f 1 x与 f 4 xD f 2 x与 f 4 x5右面的程序框图输出的数值为()n1,S0A62B 126C254D 5106甲

4、、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记n 6?否两人所选课程相同的门数为，则 E为( )A 1B 1.5C 2D 2.5是输出 S7 P 是双曲线 x2y2SS2n1 的右支上一点，点M,N 分别是916结束圆 ( x5) 2y 24和(x5) 2y 21上的动点，则nn1PMPN 的最小值为()(第 5题)A1 B 2C 3 D 48函数f ( x)A(0,|) 的部分图象sin(x)25O12x如图所示，则f ()（）12A 4B23 C2D 39已知集合(第 8题 )M( x, y)4x3 y12R, N( x, y) ( xa) 2( yb) 2r 2 , a,bR, r

5、04x3 y, x, y12若存在 a,bR ，使得NM ，则 r 的最大值是( )A 3B2.5C.2.4D.210. 已知函数f(xx 2pxq与函数 yf ( f ( f ( x)有一个相同的零点，则f (0) 与)f (1)A均为正值B均为负值C.一正一负D.至少有一个等于0( )第卷（非选择题，共100 分）二、填空题（本题共 7 道小题，每题4 分，共 28 分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）用心爱心专心211复数 z3i 的模是 _.2i12已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体2的体积为.13正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为，侧棱与底1面所成的角为，则 t

6、an.正视图侧视图tan14二项式 (x1x)10 的展开式中，常数项的值为.2315如果一个平面与一个圆柱的轴成（ 090）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆.当30 时，椭圆的离心率是.16设函数 f ( x)x2ax a3, g(x) xa. 若不存在 x01（第 12 题）1俯视图R ，使得 f (x0 )0 与g(x0 ) 0同时成立，则实数 a 的取值范围是.17已知三点 A(1, y1 ), B(2, y2 ), C (3, y3 ) 不共线，其中yi 4,5,6,7,8,9(i 1,2,3) . 若对于 ABC 的内心 I ，存在实数，使得 IA ICIB ，

7、则这样的三角形共有个 .三、解答题（本大题共72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：18（本题满分 14 分）设函数f ( x)4 )2cos2 .cos(2xx3（）求 f (x) 的最大值，并写出使f ( x) 取最大值是 x 的集合；（）已知ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c.若 f ( B C )3 ,b c 2. 求 a2的最小值 .19（本题满分 14 分）已知数列an， bn 满足： a13，当 n2 时， an 1 an4n ；对于任意的正整数 n ， b12b2L 2n 1bn nan 设 bn的P前 n 项和为 Sn .（）计算a2 ,

8、a3 ，并求数列an 的通项公式；（）求满足13Sn14 的 n 的集合 .20（本题满分14ABC DEF 中，E分）如图，在正三棱柱NAB 2,AD 1. P是 CF 的沿长线上一点， FPt . 过 FMDB用心爱心专心3CA20 题A, B, P 三点的平面交FD 于 M ，交 FE 于 N.（）求证：MN 平面 CDE ；（）当平面PAB平面 CDE 时，求 t 的值 .21（本题满分 15 分）如图，已知点 A(2,0) ，点 P 是 B ： ( x 2) 2y 236 上任意一点，线段 AP 的垂直平分线交BP 于点 Q ，点 Q 的轨迹记为曲线 C.（）求曲线 C 的方程；（）

9、已知 O ： x2y 2r 2 （ r0 ）的切线 l 总与曲线 C 有两个交点M 、N ，并且其中一条切线满足MON900，求证：对于任意一条切线l 总有MON900.21 题22（本题满分 15 分）已知函数f (x)a ln x ( x1) 2ax （常数 aR ） .（）求 f (x) 的单调区间；（）设 a0. 如果对于 f (x) 的图象上两点 P1(x1 , f ( x1 ), P2 ( x2 , f (x2 ) ( x1x2 ) ，存在 x0(x1 , x2 ) ， 使 得 f (x) 的 图 象 在 x x0处 的 切 线 m P1 P2，求证：x0x1x2 .2浙江省名校新

10、高考研究联盟2012 届第一次联考数学（理科）答题卷一二三题号111718192021总分1 1022用心爱心专心4得分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。题号12345678910答案二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分，请将答案填在下面横线上。11、12、13、14、15、16、17、三、解答题：本大题有5 小题，共72 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。18、（本小题满分14 分）19、（本小题满分14 分）5P20、（本小题满分14 分）ENFMDBCA20 题21、（本小题满分1

11、5 分）21 题622、（本小题满分15 分）7浙江省名校新高考研究联盟2012 届第一次联考试题数学（理科）答案及评分标准一、选择题： BCADB BCACD二、填空题： 11212315162三、解答题c1210513142323,617 3018（）4244)(1cos2 )f (x) cos(2x)2 cos x(cos2x cossin 2xsin3x331 cos 2x3 sin 2x1cos(2x)13223f ( x) 的最大值为 2 4 分要使 f (x) 取最大值，cos(2 x)1,2x2(kZ)3k3故 x 的集合为x xk,kZ6 分6注：未写“ kZ ”扣 1 分；

12、结果未写成集合形式扣1分 . 如果两者都不符合也扣1 分 .（）由题意， f ( B C )cos2(BC )13，即 cos(2 2A3)1 .1322化简得 cos(2A)分 832用心爱心专心8Q A0，2A(,5， A.3) ，只有 2A3310333分在ABC 中，由余弦定理， a 2b2c 2bccos(bc) 23bc 12 分2(bc) 23由 bc2 知 bc1，即 a 21，当 bc 1时 a 取最小值 1. 14 分2注：不讨论角的范围扣1 分 .19（）在 an 1an4n 中，取 n2 ，得 a1a28，又，a13 ，故 a25.同样取 n3可得 a37. 2 分由

13、an 1an4n 及 an1an4(n1)两式相减可得： an1an14 ，所以数列an的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而 a2a12 ，故an是公差为2 的等差数列，an2n1. 5 分注：猜想 an2n1而未能证明的扣2 分；用数学归纳法证明不扣分 .（）在122n 1nnan中令n1得ba3.6分1b2b + Lb1又 b12b2L2n bn 1(n1)an 1 ，与 b12b2L2n 1 bnnan 两式相减可得：2n bn 1(n 1)an 1nan(n 1)(2n 3) n(2n 1) 4n 3 ， bn 14n3 ，4n12n即当 n2 时，bn2 n 14n1经检验，

14、 b13 也符合该式，所以，bn的通项公式为 bn2n 1 9 分11) ( 1 )n 1 .Sn37L(4n221 Sn317(1)2L(4n5) ( 1) n1(4n1) ( 1) n.22222相减可得： 1Sn341(12L(1)n1(4n 1) (1n222)22)利用等比数列求和公式并化简得：Sn144n711 分P2n 1可见，nN ， Sn1412 分经计算， S5142713, S6143113，注意到1632ENH用心爱心专心 FMD9BGCAbn的 各 项 为 正 ， 故 Sn 单 调 递 增 ， 所 以 满 足 13Sn14 的 n 的 集 合 为n n6, nN .

15、14 分20（）因为 AB DE ， AB 在平面 FDE 外，所以 AB 平面 FDE ； 2 分 MN 是平面 PAB 与平面 FDE 的交线，所以 AB MN ，故 MN DE ； 4分而 MN 在平面 CDE 外，所以 MN 平面 CDE. 6 分注：不写“ AB在平面 FDE 外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.（）解法一：取AB中点G、DE中点 H则由GHPC 知 P,C, G, H 在同一平面上，并且由 PAPB知PGAB. 而与（）同理可证AB 平行于平面 PAB 与平面 CDE的交线，因此，PG 也垂直于该交线，但平面 PAB

16、平面 CDE ，所以 PG 平面CDE ，PGCH 10 分于是，CGH PCGPCCGCG 12 分GH即 1 t3 , t2. 14 分31注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直， 阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理 .（）解法二： 如图，取 AB 中点 G 、 DE 中点 H .P以 G 为原点， GB 为 x 轴、 GC 为 y 轴、 GH为 z 轴建立空间直角坐标系 .则在平面 PAB 中, B(1,0,0), P(0, 3,1zt ) ，向量 GB(1,0,0), GP(0,3,1t).ENHxFMD设平面 PAB 的法向量 n,( x1 , y1 , z1 ) ，则由Bn

17、1GB 0x11 0G即yCy13 z1 (1 t ) 0An1 GP 0得 n1(0,1t ,3) 9 分在平面 CDE 中 ,H (0,0,1), C(0, 3,0) ，向量 CH(0,3,1), HE GB (1,0,0).设平面 CDE 的法向量 n2y2(3)z2 0( x2 , y2 , z2 ) ，由10x2得 n2(0,1,3) 12 分用心爱心专心10平面 PAB平面 CDE ，n1 n20 ，即 1t30,t2. 14 分注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分.21、（I ）由题意， |QA | |QB | |QP | |QB |6 ， Q点轨迹是以 A、 B 为焦点的

18、椭圆，且 a3, c2 ,曲线 C 的轨迹方程是 x2y 21 . 5 分95（II ）先考虑切线的斜率存在的情形.设切线 l ： ykxm ，图 1则由 l 与 O相切得| m |r 即 m2r 2 (1 k 2 )1 k2 7 分ykxm由 x2y2，消去 y 得， (5 9k 2 ) x218kmx 9(m25) 0,19 5设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，则由韦达定理得x1 x218km9(m25)5 9k 2 ， x1 x259k 2 9 分OMONx1x2y1 y2x1 x2(kx1m)(kx2 m)(1k 2 ) x1 x2km( x1 x2 )

19、 m29(1k2 )(m25)18k 2m2m259k 259k214m245(1k 2 ) 10 分59k 2MON图 2由于其中一条切线满足900 ，对此OMON14m245(1k 2 )059k 2用心爱心专心11结合式 m 2r 2 (1k 2 ) 可得 r 245 12 分14于是，对于任意一条切线l ，总有 m245 (1k 2 ) ，进而14OM14m245(1 k2 )ON59k20故总有MON900.14 分最后考虑两种特殊情况：（ 1）当满足MON900 的那条切线斜率不存在时，切线方程为xr .代入椭圆方程可得交点的纵坐标y55r 2，因MON900，故9r55r 2245l 均满足MON0，得到 r14，同上可得：任意一条切线90 ；（ 2）9当满足MON900 的那条切线斜率存在时，r 245， r55r 2，对于斜率不149存在的切线 xr 也有MON 900.综上所述，命题成立 .15 分22、（