简单的线性规划问题(附答案)

1、简单的线性规划问题学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.rjaiwjsa自圭学习知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量 x,y 的一次不等式 ( 组)线性约束条件关于 x,y 的一次不等式 ( 组 )目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x,y 的函数解析式线性目标函数关于变量 x,y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解( x, y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知

2、识点二线性规划问题i?目标函数的最值线性目标函数z = ax + by (b0) 对应的斜截式直线方程是y= + §在 y 轴上的截距是b, 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线.当 b>0 , 截距最大时， z 取得最大值，截距最小时,z 取得最小值 ;当 b<0 , 截距最大时， z 取得最小值，截距最小时,z 取得最大值 .2 ?解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是

3、封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2) 移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界 ) 便是最优解 .精选资料，欢迎下载(3) 求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值.答：写出答案 .知识点三简单线性规划问题的实际应用1 ?线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2) 给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.常见问题有：物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的

4、，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2 ?解答线性规划实际应用题的步骤(1) 模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法.(2) 模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标

5、函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解 .(3) 模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.歹题型探究题型一求线性目标函数的最值y w 2,例 1 已知变量 x,y 满足约束条件x + y> 1,则 z = 3x+y 的最大值为 ()x y< 1,A.12B.11C.3D. 1答案B精选资料，欢迎下载解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可. 如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y = 3x+ z精选资料，欢迎下载x= 3,经过点 A 时， z 取得最大值 . 由此时 z = 3x+ y

6、= 11.y= 2,x + y 2w 0,跟踪训练 1 (1) x, y 满足约束条件x 2y 2 w 0,若 z= y ax 取得最大值的最优解不2x y + 2 > 0,唯一，则实数a 的值为 ()11A.q 或一 1B.2 或-C.2或1D.2 或1x y+10w ,(2) 若变量 x,y 满足约束条件x+ 2y8w 0,则 z = 3x + y 的最小值为x>0,答案 ( 1)D(2)1解析 ( 1)如图，由 y = ax + z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距 ,故当 a>0 时，要使 z= y ax 取得最大值的最优解不唯一，则a= 2； 当 a<

7、0 时，要使 z = y ax取得最大值的最优解不唯一，则a= 1. 由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z = 3x + y, 即 y= 3x + z 过点 (0,1) 时 z 取最小值 1.更 ' jr-v+l-o一i.精选资料，欢迎下载题型二非线性目标函数的最值问题精选资料，欢迎下载x y 2w 0,例 2 设实数 x,y 满足约束条件x + 2y 4>0,求2y 3w 0,(1) x2 + y2 的最小值； x 的最大值 .解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC（ 1）令 u = x2 + y2 , 其几何意义是可行域ABC 内任一点 （x,y）与原点的

8、距离的平方 .x+2y4=0,的解，即4 8,过原点向直线 x+ 2y 4= 0 作垂线 y= 2x, 则垂足为,y= 2xx+ 2y 4= 0,又由2y 3 = 0,所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为I 0C =,13所以， x + / 的最小值为 . 令 v = y, 其几何意义是可行域ABC 内任一点 （x,y）与原点相连的直线I 的斜率为 v, 即 vxy 0=.由图形可知，当直线I 经过可行域内点C 时， v 最大，x 03由知 CI,所以 Vmax = 3，所以 - 的最大值为 3.2 x2x > 0,跟踪训练 2 已知 x,y 满足约束条件

9、y>0,则（x+ 3）2 + y2 的最小值为_ .x + y > 1,精选资料，欢迎下载答案10解析画出可行域 （如图所示 ）.（x + 3） 2 + y2 即点 A 3,0 ）与可行域内点 （x,y）之间距离的平方 . 显然 AC 长度最小，? AC= （0 + 3） 2+ （ 1 0）2 = 10, 即（x+ 3） 2+ y2 的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例 3 某公司生产甲、乙两种桶装产品 ?已知生产甲产品1桶需耗 A原料 1千克、B原料 2千克；生产乙产品1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 ?每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是4

10、00 元?公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A, B 原料都不超过 12 千克 ?通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为z 元，于是有x + 2y < 12,2x+ y w 12 ,z= 300 x + 400 y,x>0,y>0,x ?N, y ? N,在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300 x+ 400y = 0, 平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（4,4 ）时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时z= 300 x + 400 y 取

11、得最大值，最大值是 z= 300 X 4+ 400 X 4= 2 800 ,即该公司可获得的最大利润是2 800元.反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：分析并根据已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数（直线）求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解.跟踪训练 3预算用 2 000元购买单价为50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、 y 把，目标函数z = x+ y,把所给的条件表示成不等式组，即约束

12、条件为精选资料，欢迎下载50x+ 20 y w 2 000 , y > x,yw 1.5 x,x>0, x? N,50 x+ 20 y= 2 000 ,由解得y=x,200200所以 A 点的坐标为7 ,7 .50 x+ 20 y= 2 000 ,由解得y= 1.5 x,75所以 B 点的坐标为 25,2 .y> 0, y ? N .qo,o ）为顶点的三角形区域由图形可知，目标函数z= x+y 在可行域内的最优解为B 25,但注意到 x?N ,y ?N ,200x =7 ,200y= -7 ,x = 25,75y=2 ,200 , B25, 弓,752 ，x= 25,故取y

13、= 37.所以满足条件的可行域是以故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择 .戸当堂检测精选资料，欢迎下载x+ y 3w 0,1 . 若直线 y= 2x 上存在点（ x,y）满足约束条件x 2y 3w 0,贝 U 实数 m 的最大值为x> m（ ）A. 1B .1C. 3D25x 11y > 22,2x + 3y > 9,2. 某公司招收男职员x 名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件x< 11,2x ?N*,y ?N* ,z = 10 x+ 10y 的最大值是 （）A. 80B. 85C. 90D. 95y w 1,3 . 已知实数 x,y 满足 x

14、w 1,则 z= x2+ y2 的最小值为 _x + y> 1,1 . 若点 （x, y ）位于曲线 y = | x|与 y = 2所围成的封闭区域，则 2x y 的最小值为 （）A. 6 B . 2 C . 0 D x> 1,. 22 . 设变量 x, y 满足约束条件x+ y 4w 0,x 3y+ 4w0,则目标函数 z= 3x y 的最大值为（A. 4B.0C.x> 1,y 13 . 实数 x,y 满足 y0,则 z =的取值范围是 （x y>0,）xA. 1,0精选资料，欢迎下载C. 1,+ a)D. 1,1)x y> 0,4 . 若满足条件 x + y

15、2w 0,的整点 （x,y）（整点是指横、纵坐标都是整数的点）恰有 9y > a个，则整数 a 的值为 ()A. 3B. 2C.1D.0x > 1 ,5. 已知 x,y 满足x + yw 4,目标函数 z = 2x+ y 的最大值为7 最小值为 1, 则 b,x + by + cw 0,c 的值分别为 （)A. 1,4B. 1, 3C. 2, 1D. 1, 2x + y> 5,使 z = x + ay （a> 0）取得最小值的最优解有6 . 已知 x,y 满足约束条件x y +5> 0,无x w 3,数个，则 a的值为 （A.3B.3C.1D. 1二、填空题x w 2,7 . 若 x,y 满足约束条件y w 2,则 z= x + 2y 的取值范围是x