新整理三角形四心向量形式的结论及证明

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一.知识点总结1） O是的重心；若O是的重心，则故；uuururn uuu uuurPG 3（PA PB PC） G 为 ABC 的重心.2） O是的垂心;若O是（非直角三角形）的垂心，则故3） O是的外心（或）若O是的外心则故4） O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写 成：O是内心的充要条件也可以是B若O是的内心，则故； uuu uuur uuin

2、 uuu uuu uuu r| AB | PC | BC | PA |CA|PB 0P ABC 的内心；uuuruuur向量（族 时）（0）所在直线过 ABC的内心（是 BAC的角平分|AB| |AC|线所在直线）；二.范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点 P满AB AC足OP OA （尸弓 ;C） ,0, 则P点的轨迹一定通过ABC的AB AC（A）外心（B）内心（。重心（D）垂心. AB解析：因为ABABuuiruuuuuur是向量AB的单位向量设 AB与AC方向上的单位向量分别为 ei和e2 ,又OP OA AP,则

3、原式可化为AP © e2）,由菱形的基本性质知 AP平分 BAC ,那么在 ABC 中，AP平分 BAC ,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是ABCf在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点H是ABC0勺垂心.由萌丽丽 HC HB （HC HA） 0 HB, Ac 0

4、HB AC ,同理HC Ab , ha BC.故H是ABC勺垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是ABCff在平面上一点，若丽丽 PB PC 阮 PA,则P是4ABC的（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由 PA PB PB 记得 PA PB PB PC 0.即 pB （pA pc） 0,即 pB cA 0贝PB CA,同理 PA BC, PC AB所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算， 及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义 等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。变式：

5、若H为ABCf在平面内一点，且 坤2网2懈2 %呻隧2则点H是 ABC的垂心 22证明： HA HBCA22BC(HAHB)?BA (CA CB)?BA得(HA HB CA CB)?BA 0即(HC HC)? BA 0AB HC同理 AC HB , BC HA故H是ABC勺垂心（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是ABCf在平面内一点，GA gb GC =0 点G是 ABC勺重心.证明作图如右，图中Gb GC Ge连结BE和CE贝U CE=GBBE=GC BGC为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将 gb- GC GE 代入 GA GB GC =0,得gA E

6、G =0 GA GE 2GD ,故G是 ABC勺重心.（反之亦然（证略）例5.P是ABCff在平面内任一点.G是 ABC勺重心PG -（PA PB PC）.3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG （AG BG CG） （PA PB PC）G是AABC的重心GA GB GC =0 aG BG CG =0,即 3pG pA pB PC由此可得PG 1（PA PB PC）.（反之亦然（证略）3uur uuu uuir r例6若O为 ABC内一点，OA OB OC 0 ,贝U O是 ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心uuuuuu uuurr uuruuuruuu解析：由OA

7、OB OC0得OBOCOA,如图以 OB OC为相邻两边构作平行四边形，则uur uuruuuuuir1 uuurOB OCOD,由平行四边形性质知OE1OD, OA 2 OE ,同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 点评：本题需要扎实的平面几何知识， 平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为-o本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形1的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。uuir uuur uur变式：已知D, E, F分别为4ABC的边BC, AC, AB的中点.贝AD BE CF 0 .证明： 3 -ADGA2

8、3BEGB2 3CF-GC2z-3 -二AD BE CF -(GA GB GC) 2GA GB GC 0uur uuu uuuAD BE CF 0 .P为该平面上任意一点,变式引中：如图4,平行四边形ABCD的中心为O ,证明：uuir1 uuu uur -(PA PC), 2uuiruuuQ POPO2(PBuur1 uuu (PAuuuuuiruuurPOPB PC PD)4uuri uuruuuuuruurPO(PAPBPCPD).4uuirPD),点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则， 证法2运用了向量加法的平行四边形法则.（2）uuu uuur uur uur -右P与O重合，

9、则上式变 OA OB OC OD 0.（四）.将平面向量与三角形外心结合考查uuu uuu uur例7若O为ABC内一点，OA OB OC ,则O是ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选B 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8.已知向量 op1 , op2 , OP3满足条件 op1 +op2 + op3 =0, | op1 |=| op2 |=| op3 |=1 ,求证 APiP2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6

10、题）1证明 由已知OP1 +OP2 =- OP3 ,两边平万得 OP1 - OP2 =-,i同理 OP2 OP3 =OP3 OPi =2 | PP |=| P2瓦|=| PP |=如,从而 RPB是正三角形.反之,若点。是正三角形 PP2P3的中心,则显然有op；+op2+op3 =0且| op； |=| op2 |=| op3 |. 即O是ABCf在平面内一点，函+OP；+OP3=0且|函|=| 苗|=| Op3 |点O是正 RBR的中心.例9.在AABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证: 且 QG:GH=1:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的

11、直角坐标系。 C(x2,y 2) , C E、F分别为AB BC AC的中点,则有：D (工0)、E(x、0F户，马2222 2由题设可设Q(Jyj、H(x2,y4)，GA卢，桨 233Q G H三点共线,设 A(0,0)、B(xi,0 )、uuuuAHuurBC (xumiQAHuur(X2,y4)QFxi V2，V3)2 22 xi,y 2)uurBCunu ujurAHY4 uur QQF uur?BC x2(x2x2(x2 xi)uuur ACuuury2QF ?AC(又2 x2(7y3uuuu QH*2(x2 x1)2 y 2, x；(x 2, y 4Xi)?)V22丫 3)y2y4

12、0y 吟 y3)2x 2 x 123x 2(x2 x1)uuir QGx 2 xi(丁2x9 x1(丁i UJlU =，QHXi233x2 (x 26y 2/ 2x 2V 3)(2y 2xi y2x2(x2 xi)xi) Y266 3) J(2x 2 xi3 22y23x 2 (x 2瓦xi)31HHi uur即QH =3QG，故Q G H三点共线，且QG GH=i：【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向 量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从 而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练

13、的代数运算的论证。例10.若O H分别是 ABC的外心和垂心.求证 OH OA OB OC .证明 若4ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD, CD.AD AB, CD BC.又垂心为 H, AH BC , CH AB ,AH/ CD CH/ AD四边形AHCM平行四边形，AH DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距 离是重心到外心距

14、离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11. 设Q G H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 OG 1OH3证明按重心定理 G是 ABC勺重心Og 1（OA Ob OC）3按垂心定理 OH OA OB OC由此可得 OG 10H.3三、与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用AB AC （A）外心（B）内心E / （C）重心（D）垂心/.7”'事实上如图设 AE TAB, Af 生 都是单位向量B4，/AB AC易知四边形AETF是菱形故选答案B例2: （2005年北京市东城区图二模拟题）O为 ABC所在平囿内一点，如果则O必为 ABC的（）

15、（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上 OA OB OB OC （OA OC） OB 0 CA OB 0COA OB OB OC OC OA ,OBL CA故选答案DOP OA（i一； i-；）,0,，则动点P的轨迹一定通过 ABCq （）例3:已知O为三角形 ABC所在平囿内一点，且满足Oa2 BC2 OB2 CA2 OC2 AB2,则点 O是三角形（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上由条件可推出 OA OB OB OC OC OA例4:设O是平面上一定点， A B C是平面上不共线的二点，ABAC动点 P 满足 OP OA（AB一 TC一），0,AB cosB AC co

16、sCABC的（）故选答案D,则动点P的轨迹f通过 ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心例1 : （2003年全国高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点 P满足事实上ABAC)?BCAB cosB2005AC cosC年全国（I ）卷第15题|bc| BC) 0故选答案DABC的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,UUUrOHUUU m(OAUUirOBuuutOC),则实数先解决该题:作直经BD ,连DA ,UUUDC ,有 OBUUirOD , DA AB ,DC BCAH BC , CHAB ,故 CH / DA , AH / DC故AHC

17、D是平行四边形，进而UULTAHUUirDC ,又uuur uuur imr uuut uuuDC OC OD OC OBuuurOHUUUOAUUUTAHUUUOAuuurUUUUUUuurr故OHOAOBOC,所以mUUirDC评注：外心的向量表示可以完善为:若O为ABC的外心，H为垂心,UUUrOHUUU UUU ULWOA OB OC 。其逆命题也成立。例6.已知向量 OP1 , OP2 , OP3 满足条件 OP1 +OP2 +OP3 =0,| OPi | = | OP2 | = | OP3 | = 1 ,求证: RF2R是正三角形.（数学第一册（下）,复习参考题五 B组第6题）证明

18、:由已知OPi +OP2 =- OP3 ,两边平方得 OPi-1 OP2 =-, 2同理1OP2 - OP3 = OP3 - OP1 = ,| P1 P2 |=|P2P3| = | P3P1 |=工,从而 PRR是正三角形.反之,若点 O是正三角形 RBR的中心，则显然有OP1 +OP2 +OP3 =0 且 | OP1 |=| OP2 |=| OP3 | ,即 O>AABC所在平面内一点,OP1 +OP2 +OP3 =0 且 | OP1 | = | OP2 | = | OP3 | 点 O是正 P1P2P3 的中心.四、练习1 .已知A、RC是平面上不共线的三点，O是三角形ABC勺重心，动

19、点P满足器=1（2戕+：潴+2品）， 则点P一定为三角形ABCM B）边中线的中点边中线的三等分点（非重心）C重心边的中点UUU ULUTUUUU分析：取AB边的中点M则OA OB 2OM , uur 1 1 uuur 1 uuu uut " uur uulu uuuu由 OP=（二OA+1OB+2OC）可得 30P 3OM 2MC , 3 22满2MC ,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点 P不过重心。32 .在同一个平面上有abc及一点o满足关系式：OA2+BC2=OB2+CA2= OC2+AB2,则0为aabc 的（D ）A.外心 B.内心 C.重心D.垂心3.

20、已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足:uni uun uum rPA PB PC 0 ,贝U P 为 AABC白4HA.外心B.内心 C.重心D.垂心4.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足:OP 01A（AB Ac）,则p的轨迹一定通过 abc的（C）A.外心 B.内心 C.重心D.垂心5.已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且满足: 角形的（D ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心uur uur uur uur uun uuuPA?PC PA?PB PB?PC0,则P点为三6.已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点形的（B ）uur uurP 酒足：a PA b PBuurc?PO 0 ,则P点为二角A.外心B.内心C.重心D.垂心7.在三角形A.外心ABO,动点B.内心uu 2P酒足：CAC.重心uuu 2CBD.uuuruuu2AB?CP , 垂心则P点一定通过 ABC的（B ）uuu , uutr ,8.非零向量AB与AC潴足(uuu uuurAB - AC 、uuu- + uuur )I AB| |AC |A三边