无私奉献考查全面要点

1、词清平乐禁庭春昼，莺羽披新绣。百草巧求花下斗，只赌珠玑满斗。日晚却理残妆，御前闲舞霓裳。谁道腰肢窈窕，折旋笑得君王。考查全面难度合理注重思想 2009 年高考数学试卷（江苏卷）评析陈兆华 （江苏省苏州市教育科学研究院）从 2009 年高考数学江苏卷的试题中，我们看到了：改革之路，就在脚下！审视回顾2009 年江苏卷的高考数学试题，让我们理性地看到课改走过的路；总结课改走过的路，让我们坚定而愉快地踏上课改再改之路！2009 年高考是江苏省新课程高考的第二年，试题在2008 年高考的基础上，继续保持了平稳过渡的特征。2009 年高考数学江苏卷的试题清新淡雅，内蕴厚重，返璞归真，简朴优美，平而不俗，

2、锐意创新，很好地体现了数学本质，突出了选拔功能，对今后的中学数学教学，尤其是课改再改方向，有更强的指导性一、试题的基本结构1 考查全面命题重视对基础知识的考查，必做题中考查的知识点超过了65 个（ 共 76 个 ），达到85%以上对重点知识点（如函数、数列、不等式、三角、立体几何、解析几何等）既考查全面，又有一定深度2难度合理全卷设计入口容易，在难度顺序上科学合理，比例恰当，布点有序，符合考生的思维方式试题层次分明，区分度好，不偏不怪有三分之一以上的基础题，只要考生能够认真学习高中数学基础知识，就能得到基本分，从提高全民素质的角度来说是科学合理的，也符合和谐社会的政策；有三分之一以上的中档试题

3、，保证中等水平的考生能够考出水平，产生一定的区分度；有近三分之一的能力题，使高等学校选拔人才有一定的空间，尤其是难题的难度恰当，克服了以往有时“难题成废题”的不科学现象3注重思想试题充分体现出对数学思想方法的考查，体现数学学科的特点和本质既对传统数学思想方法作重点考查，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，又对新课程中的思想方法作适度考查，如必然与或然思想、离散与连续思想、统计与分析思想、模式与程序思想、类比与归纳思想等对前者的考查要求高，难度大，考查灵活，对后者的考查难度适中，充分体现对普通高中数学课程标准（实验）（以下简称“标准”）的把握二、部分试题评析1 立体几何

4、的考查立体几何问题主要体现在两个方面，一是位置关系问题，主要有平行、垂直等问题；二是量化求值问题，主要有角度与距离、面积与体积等问题 “标准”对立体几何作了新的定位，单从教学课时数而言，90 年代的教材要求58 课时，调整到上一轮教材要求38 课时，调整到新教材要求18 课时，可见“标准”淡化了过复杂的几何证明和过多的几何计算在传统高考中，曾出现过大量的空间结构复杂的立体几何问题，而目前高中教育的普及性较以前逐步提高，可见“标准”作出这样的调整对高中教学的定位有着积极的引导意义(2009年第16题)如图1,在直三棱柱 ABC AiBiCi中，E、 F分别是 AiB、AiC的中点，点 D在BiC

5、i上，AiDJBiC.求证：(1) EF / 平面ABC;(2)平面 AiFD，平面BBiCiC.“标准”较大幅度地降低了几何论证的要求，而更高要求的 几何研究放在了理科选修部分，这是区别于传统教材的一项重大 的改革.本题简单明了，比较客观地考查了考生认识常规直线与 平面的位置关系问题，只要考生能懂得平行与垂直的基本原理， 证明是非常容易的.本题难度的合理定位，有利于高中数学内容 的稳步调整.2 .解析几何的考查解析几何试题出现在填空题的第I3题、解答题的第I7题，对理科学生来讲， 加试题的第22题对解析几何作了进一步的考查.解答题的第I7题以圆为载体，对圆和直线的知识进行了较为深刻的考查，是

6、一道优秀的能力题.解析几何试题的设计是近两年江苏高考的一个 凫点.(2009年第I3题)如图2,在直角坐标系xOy中，A1、2 2A2、Bi、B2为椭圆x2 + y2=1(a> b>0)的四个顶点，F为其 a b右焦点，直线A1B2与直线BiF相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则椭圆的离心率是 .这是填空题的压轴题之一，其立意也较明朗，基本解法就是解出两条相交直线的交点T,写出中点M,代入椭圆方程，化简变形得解，是通性通法.主要考查了方程的思想，齐次 化的处理是解本题的关键.(2009年第17题)如图3,在直角坐标系 xOy中， 已知圆 Ci: (x+3)2+(

7、y1)2= 4 和圆 C2: (x4)2+(y5)2 =4.(1)若直线l过点A(4, 0),且被圆Ci截得的弦长为 243,求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点 P的无穷 多对互相垂直的直线li和12,它们分别与圆 Ci和圆C2相 交，且直线li被圆Ci截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.此题有着深刻的几何背景，第(1)问是基本要求，要求考生利用圆的半径、弦心距、半弦长三者之间的勾股关系，求出直线方程；第(2)问既体现新课程的“发现，猜想，证明”的众多理念(若注意到两圆半径相等，由对称性的特性，可猜想出由对角顶点Ci、C2所确定的正方形

8、 CiPiC2P2中的Pi和P2即为所求)，又体现对传统的代数推理能力的考查 (由第(1)问的“提示；转化为Ci到li的距离等于C2至IJ l2的距离，从而列出恒等式，利用方程思想解出点 P的坐标).本题构思轻巧，可以借助几何直观，利用一定的代数运算，得出结论，这很好地体现了数形结合思想.(2009年理科加试题第 22题)在直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过 点A(2, 2),其焦点在 x轴上.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F且与直线OA垂直的直线的方程； (3)设过点 M (m, 0) (m>0)的直线交抛物线 C于D、E两点，ME = 2DM ,记D和E两点间的

9、距离为f(m),求f(m)关于m的表达式.此题第(1)问和第(2)问，都是基本问题.第(3)问，若设直线 DE的方程为：x = ty + m,代入抛物线方程 y2=2x,得 y22ty2m= 0,再设 D (x1，y1)，E(X2, y2),将 条件ME = 2DM转化为y2=2y1，结合韦达定理，则非常容易就得到4t2 = m,再代入弦长公式得解.当然就以前的传统数学而言，这是一道比较容易的问题，而新课程中由于弱化了对韦达定理的认识，表象上起了减负的作用，但实际上倒是增加了学生的负担，这一点是值得我们反思的.3 .数列的考查数列是高中数学的主干知识之一，从思维价值与实用价值考虑，重点考查数列

10、是正确的导向，全国各省历年高考常以数列作为能力区分题考查考生.(2009年第14题)设an是公比为q的等比数列，|q|>1,令bn=an+1(n= 1, 2, ),若数列bn有连续四项在集合53, 23, 19, 37, 82中，则6q =.此题作为填空题的最后一题，对思维的要求达到了一定的高度，由于集合中元素的无序性，而数列中的项又有有序性，对于这样一对矛盾，如何“调和”是区分考生能力的一个重 要标志.能力强的学生，若能先定性再定量， 则问题易于解决一一等比数列中，公比正则各项同号，公比负则各项正负相隔.由于去掉一个数后，必定同时有正、负数，因此，公比q必定为负数，因为|q|>1

11、,所以q< - 1,则连续4项中必须有2正2负相隔排列，因为 an 在 54, 24, 18, 36, 81中，且 q2 =二54 = 9 ,所以 q=-.由此得 6q = - 9.-24 4222(2009年第17题)设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2+a3 =2 , _2 c r a4 + a5, S7= 7.(1)求数列an的通项公式及前 n项和$;(2)试求所有的正整数 m,使得amam+i为数列an中的项. am+2此题第(1)问比较常规，用基本量法易得an = 2n-7,而能力强的考生由 S7 = 7得7a4=7,即电=1,可适当减少一些运算量.第(2)

12、问体现对考生分析问题、解决问题能力的 考查，因amam+l： (2m -7)(2m 5) =2巾_g +8 ,而2m 3是奇数，一8为整数，由此am+2 2m -32m -32m-3得2m 3只可能为土 1,通过试验，排除 m=1,得知m=1符合题意.本试题考查的点较 灵活，既有常规的数列基础知识，又有新课程中的“发现，试验，证明”等优秀思维品质.4 .导数的考查2009年高考中的导数问题，考查的要求和教学要求相当，试题以两道填空题的形式呈 现.(2009年第3题)函数f(x)=x315x233x+ 6的单调减区间为 .(2009年第9题)在平面直角坐标系 xOy中，点P在曲线C: y=x3-

13、10x+ 3上，且在第二象限内，已知曲线 C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 .导数作为新教材新增内容，是全国多数省市高考命题的压轴大餐，备受命题者的青睐，但是江苏省的高考命题者认为将导数知识作为重点考查，会给中学教学造成一种误解或伤 害，教师会将大量的时间和精力耗在大量的数学分析试题上，这样会给中学教学产生一个误区一一把学生在大学中学习的导数要求移植到中学.由于中学数学中的导数知识，主要是作为研究函数简单性质的工具，因此应作简单的考查.当然导数知识重点在于应用性，像2008年那样考查也是非常合适的。（2008年第1题7）如图4,某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点 A、B及

14、CD的中点P处，已知 AB = 20 km, AD = 10 km,为了处理三家工厂的污水， 现要在该矩形 ABCD的区域上（含 边界），且与A、B等距离的一点。处，建造一个污水处理厂， 并铺设 三条排污管道 AO、BO、PO,设排污管道的总长度为 y km.（1）按下列要求建立函数关系：设/BAD= 0 （rad）,将y表示为0的函数；设 OP（2）请你选用（1）中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的=x （km）,将y表示成x的函数;总长度最短.建议今后江苏省的高考对导数知识的考查，继续保持在简单应用的水平上，不要把大学的微积分知识，过多过重地放在中学进行考查.5 .应

15、用题的考查增强应用意识，是新课程的一大特点.课本中有大量的应用题，高考中也力求着重强调 应用题，但应用题在考卷中呈现，无论对命题者还是解答者，都是一个难点.2008年的应用题（上例）以图形为模型，直观形象，避免叙述不准确引起歧义.2009年江苏卷的高考应用题（下例）与不等式知识结合，再次创新，情景设计源于生活，要求考 生具有较强的阅读理解能力、数据处理能力和应用意识，能把握题意，正确构造数学模型， 灵活运用函数、不等式等知识将实际问题转化为数学问题并加以解决.（2009年第19题）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为 m元，则他的满意度为上一；如果他买

16、进该产品 的单价为n元，则 m -a他的满意度为 一a.如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为和h2,则他n -a对这两种交易的综合满意度 为阿2 .现假设甲生产 A, B两种产品的单件成本分别为 12元和5元，乙生产A, B两种产品的 单件成本分别为 3元和20元，设产品A、B的单价分别为 mA元和mB元，甲买进 A与卖出 B的综合满意度为 饰，乙卖出A与买进B的综合满意度为 尼.3 一 ，、一（1）求h乙关于mA, mB的表达式；当 mA= mB时，求证：八甲=尼；5（2）设mA= 3mB,当mA, mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大 5的综合满意度为多少？（3

17、）记（2）中最大的综合满意度为 h0,试问能否适当选取 mA, mB的值，使得饰洋o 和hi南0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.就试题立意本身而言，它是考查基本不等式的好题，符合C级要求特点，对能力要求较高.但是，试题有近 400个文字，涉及的量太多，有产品单件成本、产品的单价、卖出产 品的满意度、买进产品的满意度以及两种交易的综合满意度等，试题长度给考生带来了阅读理解上的困难.较长的文字，力求使考生能正确阅读理解，但以上叙述仍有值得商榷之处，有些问题仍让人在理解上有一定的困难，会使人们产生以下疑问。疑问1： “综合满意度”可对“不同产品”而言吗？“综合满意度”是一个“新定义的概念”，

18、在第一段表述中，有“如果他买进该.产品” ，说明强调的是“同一产品”，经过“卖出或买进”，产生“此人对同一产品在两种交易后的综合满意度”，这个“综合满意度”必须,都与“同一产品”的单件成本“ a”相关(这是第一段定义中明确体现的) ，即它是a 的一个函数而第二段表述中，后来针对的又是“不同产品”的买卖，则“不同产品”的“综合满意度”如何计算？从何可以推断，对两种“不同产品”也可以计算其买卖的“综合满意度”？原则上说，这是一个没有定义的概念！作为解答者，理应只能“严格尊重”定义解题，因此，第二段的h甲与尼是不明确的，即不能从第一段定义中严格得出幅与h. .疑问2： “甲买进A与卖出B的综合满意度

19、为 降”中，甲买进了谁生产的A卖出了谁生产的B,者B “默认”买卖自己生产的吗？第一段确实是叙述了 “一个人”对 “一种产品”进行了 “卖出与买进”两种交易，但 “同一产品”在第二段中，也可理解为“不同产品”，那买卖为何一定要指“同一个人”生产的呢？况且自己买自己生产的产品也不是太合情理，从情理理解，一般总是卖出自己生产的，买进他人生产的(自己生产的产品自己还用买吗？ )，解答者完全可能是这样理解的，这样h甲与h,的计算又是另外的结果了.以上说明，每人对“买进了谁生产的A,与卖出了谁生产的B”，还应作更明确说明，以免引起不必要的理解分歧.在短短只有两个小时的高考时间中，要让考生思考那么多的问题

20、，若应用题的文字叙述过长，就会使考生花在数学本质问题上的思考时间变少，因此，就总体而言，笔者认为，考查时让考生花在建模上的时间不易过长，而应把重点放在把生活问题转化为数学问题后的解模能力上6函数的考查2004 年江苏省高考数学实现单独命题以来，高考压轴题都是一道代数证明题，除了 2005年高考压轴题有些常规，几乎每年的试题难度都相当大，得分情况不尽如人意，全省几十万考生，压轴题答对的学生不超过百人，平均分也不超过1 分，而 2009 年江苏省高考数学压轴题与前几年相比降低了难度，且面孔考生比较熟悉试题保持了2002 年和 2005 年江苏省高考试题的部分特征。(2002 年试题)设 a 为实数

21、，函数 f(x)=x2+|xa|+1, aCR.(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值.(2005年试题)已知 a页，函数f(x) = x2|x-a|,(1)当a=2时，求使f(x)=x成立的x的集合；(2)求函数y=f(x)在区间1 , 2上的最小值.(2009 年试题 20)设 a 为实数，函数 f(x) = 2x2+(x a)|x-a|.(1)若f(0)*,求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)=f(x), xC(0, +8),其族写出(不需给出?K算步骤)不等式h(xp1的解 集2009 年的第(1)问，如果时间允许，90%以上的考生能独立完成解答

22、，由于考生在考场上花在前面试题上的时间太多，或根据以往压轴题太难，考生心理上不想去过问此题，所以有不少考生选择了放弃关注此题，这也是以往试题的一大缺点（多年来，教师常指导考生，最后一题一定很难， 绝大多数人不要过问），显然2009年这样命题更具指导性、合理性.第（2）问求函数的最小值，需要对参数a进行分类讨论，要求较高，基础非常好的学生能独立完成.第（3）问要求学生直接写出不等式的解集，看上去第（3）问比较平淡，实际上对考生的综合能力的要求非常高.考生在分类讨论的基础上，对解答的概括要求尽善尽美，实在不太容易.若今后高考压轴题继续保持2009年的风格和难度，则既利于教学，又可真正达到选拔人才的

23、目的.7.理科加试题的考查2009年江苏卷理科加试题中，对选修4系列的四选二部分，继续保持适当的难度，试题不超过课本例题和习题的难度，从命题的角度，四个试题的难度比较相当，但从得分的情况看，四道题的得分率还是有很大差距的。据有关抽样分析，低的得分率低于0.5,高的得分率高于0.9,说明四选二的公平性是难以把握的。因此，目前的高考模式，是值得我们深 思的.理科加试题的压轴题是一道以概率为背景的试题，涉及到数列n2的求和以及数列不等式的证明.（2009年理科试题23）对于正整数n或，用Tn表示关于x的一元二次方程x2+2ax+b =0有实数根的有序数组（a,b）的组数，其中a,bw 1,2, |”

24、,n （ a和b可以相 等）；对于随机选取的a,bw l,2,|,n （ a和b可以相等），记Pn为关于x的一元二次方程 x2 +2ax +b =0有实数根的概率.（1）求Tn2和巳2；1（2）求证：对任意正整数 n或，有 >1 -营.'一 n试题分两个小问。第（1）问如果学生能正确理解题意，就不难得到答案。第（2）问对考生的能力有较高要求，由于考生要在30分钟的时间里完成 4个解答题，大多数学生没有多少时间来考虑第（2）问，因此此题的得分率非常低，尽管这是一道优秀的试题，充分体 现了命题者的智慧， 但由于考生没有时间作答，确为憾事.因此，对于目前的加试形式的考试，是有待进一步作高考改革而调整的.三、几点建议和思考1 .建议增加填空题的梯度2009年高考数学江苏卷的填空题从第1题到第12题之间的梯度不太明显， 填空题处于低档题的部分略偏多，建议适当增加中档题（不是难题），以产生更好的区分度.填空题第13题和第14题有一定难度，对于第 13题，试题的运算量较大，且答案不是一个特殊值， 考生需要进一步演算才能确定