电磁场与电磁波课后习题及答案--习题解答

1、习题解答4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零，上边盖板的电位为U0,求槽内的电位函数。解 根据题意，电位中(X，y)满足的边界条件为中(0y+中a( y = )0(x，0> 0(x，b)= U根据条件和，电位中9，y)的通解应取为由条件，有题4.1图QO(x,y) ='、Ansinh(n 1n二 y、. / n二 x、)sin()2Uon二sinh( n二b a)n二 b n二 xU0 - Ansinh()sin( )nwaa ,n二 xsin( )两边同乘以 a ,并从0到a对x积分,2Uosin( )dx =a

2、sinh(n二 ba)0 a4Uon二sinh(n二b a)'(1 -cos n二)二0 ,n =1,3,5,|n =2,4,6, HI得到中(x,y 尸U" Z 1 si rnh-(y)-n+rx(故得到槽内的电位分布二 nm ,3,5nsi n hn( b a ) a a4.2两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y=d到y=b(*<x(£)。上板和薄片保持电位 U0,下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y = 0到y =d,电位线性变化,(0,y)=U。/ d*2(x,y)= 0 仅，解 应用叠加原理，设板间的电位为;:(x

3、, y) = M(x,y)2(x,y)其中，%(x，y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U0)的电位，即tp1(x, y) =Uoy/b . %(x, y)是两个电位为零 的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：2(x,0) = 2(x,b) =0)U° -U°y(0-y-d)b2(0, y) = (0,y) - i(0,y) =U0 u。y y (d 三 y 三 b) d b根据条件和，可设中2(x, y)的通解为2(x，y)二 asin(*)e由条件有ad: An sin(n 1Uo-Uoy )=Uo Uo .d y b(0 < y < d

4、)(d三y三b) ,n二 y、 sin( )两边同乘以b ，并从0到b对y积分，得到d An =-r . (l-y)sin(-y)dyb 0 b b.也 b1-b)ysin()dy2Uo b(n二)2 dsin(小 b%y 吗：口sin(宜)sin(皿/x故得到 (x,y )= b d二 nd n b b4.3求在上题的解中，除开U°y/b 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按Cf2we定出边缘电容。解在导体板(y=0)上，相应于2(x，y)的电荷面密度322pU。二 1 sin(n4 nnd,nSx)e b则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷q2二 2dx =2 0 2d

5、x = -2 %2rU。sin(ndn7：x)e b dx = _二 1、sin(_aOnn相应的电场储能为1 一We = 2q2U 02 ；0bU-2d'、& sin(n4 n其边缘电容为2We4；0b2 一 2 ,U0 二 d- 1 2sin(n nnd4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位 U°,其余两面电位为零，求槽内的电位的解。解 根据题意，电位中（x，y）满足的边界条件为 巴 0y a a( y = ) 0(x, y) > 0 y，二)(x,0)U0根据条件和，电位 中(x,y)的通解应取为/、 a -n-y a n二x、(x, y)=&qu

6、ot; Ane y Sin( )n 1an二 xUo = >： AnSin()由条件，有M a / 二 xsin（）两边同乘以 a ,并从o到a对x积分，得到n = 1,3,5, HIn =2,4,6,1”4Uoa2Uo n x 2Unn二An =Sin()dx =山(1 cosn二尸 ca o a nnI 0 ，.：（x,y 尸处 'e*yasin（x ）故得到槽内的电位分布为, n力3.15na4.5 长、宽、高分别为 a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为x z :-=y(y -b)sin( )sin() a c的电荷。求体积内的电位中。解 在体积内，电位 中满

7、足泊松方程J ； F2 ； F2 ；1二 x 二 z(1)妥 丁 字二二内一辆喧sin%)长方体表面S上，电位，满足边界条件*S=0。由此设电位中的通解为. OQ qQ OQ(x, y, z) = 一、. '、Amnp sin(m二 x一. .)sin( a)sin(分)c代入泊松方程(1 ),可得oO oO oO工工工Amnp( mind p 1)2 (n-)2b()2cm二 x n二 y p二 z二 x 二 zsin( )sin( )sin() = y(y-b)sin()sin()a b ca c由此可得Amnp =0(m #1 或 p #1)_： 2 n 2: 2 n &

8、 yAm(一)2 (-)2 (-)2sin(y)=,p壬 a b cb y(y-b)(2)由式(2),可得2 n; 22_2n;An1(一)()(一)= y(y-b)sin( )d y = 4(_b_)3(cosn二一曲=a b c b 0bbn二8b2厂")30n =1,3,5,IHn =2,4,6, III：(x,y,z)=8b2:1. /"、 / n二 丫、/二y- '：-sin(一)sin()sin(0ni,3hl，5rn3(-)2 (-) 2 (-) 2a ba b c)c4.6如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷ql,其

9、位置为iy"I 0x题4.6图(0,d)。求板间的电位函数。解 由于在(0，d)处有一与z轴平行的线电荷ql ,以x = 0为界将场空间分割为 x>0和x<0两个区域，则这两个区域中的电位中1(x，y)和*2(x，y)都满足拉普拉斯方程。而在 x = 0的分界面上，可利用6函数将线电荷ql表示成电荷面密度a(y) =ql0(y-yo) o电位的边界条件为 i(x,0)= i(x,a) =02(x,0)= 2(x, a) =0 i(x,y)> 0(x.：)%(x,y) > 0 (x > -二) i(0.y) = 2(0, y):xx 0由条件和，可设电位函

10、数的通解为；(x,y) CAne*xasin(S)n ia(x 0)2(x,y) =Bnen -xasin(S) n ia由条件，有'、AnSin(3) = >, Bsin(3)n 1a n Ta(x :二 0)一上sin(S) Bn工sin(S) ="、(yd) n 3 a a n 1 a a-0由式(1),可得A=Bni(1)(2)将式(2)两边同乘以 /m二 y、 sin() na ,并从0到a对y积分，有2q an二 y、 2qi . ,n二 d、一0、.(yd)sin( )dy =sin( )AnBn n二；0 , 0an 二；0 a由式(3)和(4)解得qi

11、 _n：d、 An _ Bn - sin( ) n二；0 a:/qi1 . /n二 d -n x a . /n二 y、1 (x,y)、-sin( )e sin( )(x 0)二 0 n 3 n aa：2（x,y）=21sin（）en 二 xasin（S）二；0 nm n aa（x ； 0）4.7如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的hyb1qi * II1oa x题4.7图线电荷ql。求槽内的电位函数。解 由于在（x0,y0）处有一与z轴平行的线电荷ql,以x = x0为界将 场空间分割为0 <x <x0和x0 <x <a两个区域，则这两个区（x0,

12、y0） 域中的电位*（x，y）和%（x，y）都满足拉普拉斯方程。而在x 二 %的 分界面上，可利用函数将线电荷q表示成电荷面密度Ry) =q必y-y0),电位的边界条件为D Q(0y=) 0%(a,y)=0Z 1(x,0)= ；(x,b) =02(x,0)= 2(x,b) =01(x0,y)= ： 2 (x0 ,y )（相二 x£T（y-y。）由条件和，可设电位函数的通解为(0 x ； x0)1（x, y） =An sin（ny）sinh（ n-x）n4bbn二 yn 二：(xv)Bnsin()sinh(a -x)2(X，y) _ n 4bb(X0X - a)由条件，有_ n 二 y

13、 n 二 x0_ n 二 y n 二二 Ansin( )sinh( -)=Bn sin( )sinh (a - x0)n 1bbnbb(1)O0'、Ann 1n 二.nr：y n 二 x0-sin( -)cosh(-)-n 二 n 二 y n 二、Bn sin( )cosh (a - x0)n3bbbqi /、=(y -yo)；o由式（i）,可得n 二 x0n 二An sinh() - Bnsinh (a -xo) =0bb(3).严二 y、sin（ ）将式（2）两边同乘以 b ，并从0到b对y积分，有.,n -x0n二，一An cosh() Bn cosh (a - x0)bb2ql

14、n 二；0bn 二 y0 , (y - y0)Sin(.)dy 二2ql "：y。、Sin()m0b由式(3)和(4)解得2ql 1 n 二n 二 y0An = . _ qlsinh (a-x0)sin(-y0) sinh(n二 a b) n二；0 bbBn2ql 1sinh( n二 a b) n二；0sinh(n 二 x。in(n 二 y0)bl(x，y)="：nsinh；ab)sinh4(a-x0).小二 y0n二 xn二 y、(0 x ： x0)sin()sinh()sin(-)bb b2(x，y)=2t；nsinh(：-：ab)sinh(n 二 x,0). /n二

15、y。 nn二 y、sin( )sinh(ax)sin( )bbb(xo ： x : a)若以y =y。为界将场空间分割为0 <y <y。和y。<y <b两个区域，则可类似地得到2a 二 1n 二i(X，y)=3；insinh(n：ba)Sinht(b - yo)n 二 Xon 二 y n 二 xsin()sinh()sin()aa a(0 二 y :二 %)2a 二2(x，y)'-、力 n4 nsinh(n b a)n二 No、 sinh() a.小二 xonn二 x、sin()sinh(b - y)sin()a aa(y。 ： y :二 b)4.8如题4.8图

16、所示，在均匀电场 E0 =exEo中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为ao求导体圆柱外的电位中和电场E以及导体表面的感应电荷密度仃。解 在外电场Eo作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场r ,、平，一一E o的电位 o与感应 , CD ,，一， ,一 ，、一电荷的电位in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中,外电场的电位为*o(r,*)= 一Eox*C =-曰8$中"(常数C的值由参考点确定)，而感应电荷的电位*n(rM应与'o(r阳一样按cos，变化，而且在无限远处为o。由于导体是等位体,由此可设由条件,故圆柱外的

17、电位为所以中(，*)满足的边界条件为中(r ,4 p 耳 r co®+ C i(t 8 )(r, ) - -Eor cosArqcos C有一 EoacosA1a " cosC = C于是得到Ai =a2Eo:(r, ) =( r a2r ')Eo cosC若选择导体圆柱表面为电位参考点，即*(a*) =0,则C = 0。导体圆柱外的电场则为1 二：:a2a2E (r，)= er ； -e e -e.(1 7止0 cos e (-1 i)E0sin：(r ,):0 0 0=2 ；(E 0cos导体圆柱表面的电荷面密度为24.9在介电常数为 名的无限大的介质中，沿Z轴

18、方向开一个半径为 a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场 E 0 = exE0 , 求空腔内和空腔外的电位函数。解 在电场E。的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场 E为外加 电场Eo与极化电荷的电场 E p的叠加。外电场的电位为 中。(，射=_Eox = _Eor 8s中而感应电 荷的电位鸳(r阳应与。"如一样按C0S中变化，则空腔内、外的电位分别为%(r加和%(r，门的边界条件为T 笛时，(r阳 T E0rcos®；r=0时，%(r，刊为有限值； r=a时，Q(a仲)=Q(a，“° 济,由 由条件和，可设1(r, ) - -E0r c

19、osAr cos(r 三 a)2(r, ) - -E0rcosA2r 4 cos(r - a)4一.一-2 .带入条件，有Aa =A2a , -%E0 %入=-吒0-9A一 n 一一 n 2 一AE0A2=a2E0由此解得七飞,0 s0i(r, ) = -2 E0rcos所以；, ；。(r -a)2(r, ) 71 二(a)2Eorcos；0 r(r - a)4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位U0和一U0。求圆柱面内部的电位函数。解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满

20、足边界条件为阳°为有限值;U。0(b，)=.U00:二二；2二:2 ：“:.：二：二3二；23n/2<2冗.由条件可知，圆柱面内部的电位函数的通解为od:(r,)= rn(An sin nBn cosn )n 1(r £b)00' bn(An si n，Bn cos = ) b (,)代入条件，有nW由此得到U0 (1 - cosn二)= blln 二1 2二.1万 0(b， )sinnd 二产7： 23二 2U0sinn d - U0sinn d =0二2U0 n 二 bn 0，n =1,3,5j"n =2,4,6,111Bn b2 二(b, )c

21、osn d0二 23二 2U0cosn d - U0cosn d =0二U。bnn 二(sinn二.3n二、sin)22j n -3(-1)2(r,)=弛oOzn *3,5,|，i2U0- bnn =1,3,5川n =2,4,6,11(1 r()sin n(-1)2 cosn n b(r - b)l (r, ) = -ln In R = -q ln r2 r02 - 2rr0 cos2二；02二；0(1)为1 = ：2, r=a时，:12_ -0.r 二 r4.11如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为名，在距离轴线。（。a处,有一与圆柱平行的线电荷 ql，计算空间各部分的

22、电位。解在线电荷q作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位中（几均为线电荷ql的电位*（r与极化电荷的电位"的叠加，即中（加=%（r*）*p（r,g。线电荷ql的电位而极化电荷的电位 'p（r仲）满足拉普拉斯方程，且是 ©的偶函数。介质圆柱内外的电位 叼（冲）和中2（冲）满足的边界条件为分别为2（09为有限值；2（r，l： （ . ）H 二）(2)(3)(4)(5)q F In R°)2二;0 Fr由条件和可知，*（3）和平2（刈的通解为1(r, ) = i (r, )二 Anrn cosn nm(05 Ma )od2(r, ) = (r,)二二 Bn

23、r " cosnnm(a r ：二二)将式(1)(3)带入条件，可得到QOQO、' Anan cosn =' Bna cosnn 1n 1co、' (An nan 1 Bn 0na 4)cos n =(； n 1InR= Ir0-Z ( n ) cs当r < r0时，将In R展开为级数，有g n r0(6)% （An ；nan 1 Bn ；ona_）cos n =-IqL " （）n_ cosn 带入式（5）,得 n427r/r0 n二 r0（7）n n由式（4）和（7）,有Ana - Bnan 1n 1（； - Vq/apAn na Bn

24、ona=-（）2二；ororoa _ qi（； - 1qi （- o） aAnnBnn由此解得2n%（*+J nr °,2*o（名+ %）nro故得到圆柱内、外的电位分别为1（r,）二一一qln r2 r（2 -2rr0cos - ql（2）- % 1 （）ncosn2 二；o.2 二；0（一 %） nw n ro22（r, ） =-qin r2 r02-2rr0cos - ql（'0 7（a）ncosn2二；0'2二;o（二-三o） nn ror讨论：利用式（6）,可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为qi（ -） -1 （与ncosn .二 qi（；o）（in

25、R一in r。）2二；。（二一；o） nm n ro2二；o（二 To）qi （o）1 a nqi （o）-（）cosn （in R -in r）2二；o（ ） nm n ror2二；o（ ； , ；o）其中 R = "r2 +（a2/ro）2 -2r（a2/ro）cos、。因此可将Q（r，*）和*2（r,"）分别写成为1（r,）=,Hr2 二；o ； ；oq （； - ；o）2 二；o（ ；o）in ro2（r，六1nR-六一inR-六Tinr由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（2 ；oqiro,o）的线电荷& % 的电位相同，而介质圆2g,o）柱外的电位相当

26、于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（ro,o）的线电荷qi ；位于ro的oo一 qiqi线电荷 七 %；位于r =0的线电荷 %。4.12将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位穴r，好均为线电荷ql的电位'(，与与感应电荷的电位*n(rM的叠加，即*(rM =*l(r，g*n(r，g。线电荷q"电位为i(r,)二-qln R =q ln 、. r2 r0 -2rr0cos(1)2二;。2二；0而感应电荷的电位*n(ra)满足拉普拉斯方程，且是,的偶函数。中(几件满足的边界条件为中(rh * "(r)T空).?(a，*)

27、=C。由于电位分布是,的偶函数，并由条件可知，*(，*)的通解为oO(r, ) = l(r,) 一 二：Anr 工 cosnn=0(2)将式(1)和(2)带入条件，可得到00“ Ana 43 cosn =C In . a2 r02 -2ar0 cos(3)n£2二；0'将ln Ja2+r02-2ar0cos、展开为级数,有-o 一二 1 a cln ar0 -2ar0cos ; =ln r0() cosn(4)nT n r0带入式(3),得q,一二 1 a二 Ana cosn =C ln r0() cosn (5)n ：02' 0n£nr02A0 = C -

28、q ln r0An =一(包)n由此可得2F，2；T%n r0故导体圆柱外的电为(r,):q ln , r2 r； -2rr0cos2二；°qlql 、二 1 / a2、n(C In r0) -%() cosn2n，2o nn r°r(6)讨论：利用式(4),可将式(6)中的第二项写成为2-qL x -()ncosn =-qL(ln Rnr)2 二；0 nn r0r2 二；0其中一9十片了人商九的"因此可将邛(K)写成为(r, ) = 一一qln R -qln R -qln r C -qln r02 二；02 二；02二；02二；0由此可见，导体圆柱外的电位相当于

29、三根线电荷所产生，它们分别为：位于(r0, 0)的线电荷ql ;2/ a c、 (一,。)位于r0的线电荷ql ；位于r = 0的线电荷ql。4.13在均匀外电场E0=ezE0中放入半径为a的导体球，设(1)导体充电至U0； (2)导体上充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解(1)这里导体充电至 U0应理解为未加外电场 E0时导体球相对于无限远处的电位为U0,此时导体球面上的电荷密度a =*0U0/a,总电荷q =4"%aU0。将导体球放入均匀外电场E0中后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。设 9(r,8)

30、=邛0(r,8)+*n(r,8)，其中0(人)-E0z - -E0r cosu是均匀外电场 E0的电位，*n(r,6)是导体球上的电荷产生的电位。电位中(r，9)满足的边界条件为D r-*00 时，*(，”-> E0rcos日；D r=a时，*(a, e)=C0,dS = q其中C0为常数，若适当选择 9(r的参考点,可使C0 =U0由条件，可设 盟=qrcosB+Ar/cose + Bir,+G代入条件，可得到A =a3E0Bi =aU。Ci =C。-Uo若使 C0 =U°,可得到中(r=E°rcose +a3E0rcos9 +aU°rQU0 )(2)导体

31、上充电荷Q时，令Q=4n%aU0 ,有4口0a(r, ) - -E0r cos? a3E0r ? cos利用(1)的结果，得到.q4 二；0r4.14如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场E0=ezE0,在介质中有一一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场 E和空腔表面的极化电荷密度(介质的介电常数为解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场 E p的叠加。设空腔内、外的电位分别为d2)和2(几,)，则边界条件为中2(,8)t -EorcosQ .D r =0 时,*(r，S为有限值; r=a时,；(a,) = 2(a

32、)；1： ：2，0 二，-T cr由条件和，可设1(r,) = -EjcosB A cos2(r, -) - -E0rcos - A2r 皂cos-带入条件，有Aa=A2a?4£0+斤人-E0 - 2 ；a sA2£ £A1 E。由此解得2'003 .A2 二a E02；0题4.14图E0r cosi所以2(r,与=11 (a)3Eor costi 2" -0 r空腔内、外的电场为3 ;Ei - -1' i(r,u) =E02 二 fE0由巨(当3er2cose_sinE2 =42() =02； ；0、r" r"空腔表

33、面的极化电荷面密度为3；0(；一；0)匚 一C，、一一E0COSHDp n P2 r -g ( - % )er E 2 r =a 28 + %4.15如题4.15图所示，空心导体球壳的内、 外半径分别为r1和r2 ,球的中心放置一个电偶极子p,球壳上的电荷量为 Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q ,且均匀分布在外表面上。球壳外的场可由高斯定理求得为QE2(r) "4二犷2(r)=4 二 0r外表面上的电荷面密度为24二 r22Q题4.

34、15图OP设球内的电位为1（r, ）=匕0+,”,其中；（，） =pcos-，2，40r4 0r2 Ip(COS-)是电偶极子 p的电位，*n（r，°）是球壳内表面上的感应电荷的电位。；in (一)满足的边界条件为中in（0，6）为有限值; Q(1=%(2),即 0n(1 +4(r1,8)=%(r2),所以；n(2)l Q4 二；0r24上"（8期由条件可知 *n（r,e）的通解为i n(r,u)八n =0Anr Pn( cos“ Ar1nPn(cos)由条件，有nz0Q4二；0r24二;or2 P(COS8 )比较两端Pn（8ss的系数，得到QpA -QA1 =-4兀80

35、r24兀年口An =0 (n _2)最后得到；（）=4二；0r24二；°3P3 COS1球壳内表面上的感应电荷面密度为感应电荷的总量为qi 二 口，" dS =3P 二. 2.3 cosi 2二 r1 sin【d1-04 二 r1 04.16 欲在一个半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的密 度）？解设球内的均匀场为H1 =ezH。（r <a）,球外的场为H2 （r >a）,如 题4.16图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为Js =n (H 2 H1) r. =er(H 2 gH。)yerH2 r=ae H0sin -JS =e

36、 HoSi n题 4.17图若令er MH 2 rm =0 ,则得到球面上的电流面密度为这表明球面上的绕线密度正比于sin 9 ,则将在球内产生均匀场。4.17 一个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。（1）证明：球内的电场是均匀的，等于 曲；4二 R3 T =（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子PT产生的电场相同，3解（1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、 外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷

37、面密度为二 d = P n = P er = P cos 二 p 1 邛一中4 , , E i,介质球内、外的电位 1和2满足的边界条件为%0为有限值；例中2（r,8）T 0 （rT 笛）.1（R,。）= ：2（R,u）二；0（ 一 一一） r卡=PCOSU 二 r二 r因此，可设球内、外电位的通解为*（r,。） = Ar cos。2（r, 1） = -Brcos - rAR=B2；0（A 鲁产由条件，有R ,RA1 B1 二萼解得3% ,3%题4.18图于是得到球内的电位i(r,)3 ；or cosi =z3心故球内的电场为(2)介质球外的电位为：2()=PR33；°r24 二;0

38、r23P.cosi =2 cos4 二；0r4 二 R3T其中3 为介质球的体积。故介质球外的电场为E2 =-2()=-4 -ej 工二 rr ；r4二；0r3可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子PT产生的电场相同。4.18半径为a的接地导体球，离球心r1(r1 >a)处放置一个点电荷q ,如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。设中(r=”(r,8)+*n(r 其中0(r, 1) =

39、/i -q D =24 oR 4 二；0、rr1' -2rr1 cos -是点电荷q的电位，*n (r，°)是导体球上感应电荷产生的电位。 电位中(r，8)满足的边界条件为 rT g时，*(r，e)T 0. r =a时，中(a,6) =0。由条件，可得号",")的通解为in()=J A一至(8$?)n =0为了确定系数An,利用1/R的球坐标展开式rn工 FPn(cos8) (r wi)1n：0 riR nIr r' -kPn(cosu) (r/i)In"q 二 anj .、：。(a，u) ='、niPn(cosu)将。(r，刃在

40、球面上展开为44 0 n卫rin“ AnaPn(cosu)乙“ 4rPn(cos)=0代入条件，有 必4- ；0 n=0 r12n 1An=_ qa _比较Pn(C°S切的系数，得到4瞄0*二二2n :：1”口)=q- -9-' aPn(cosi)故得到球外的电位为4n%R 4n%n,)2n -1：/5 :讨论：将中(的第二项与1R的球坐标展开式比较，可得到a ri,r2 (a2 ri)2 -2r(a2 ri)cos由此可见，*(r，°)的第二项是位于r'al'ri的一个点电荷q'=-qa/ri所产生的电位，此电荷 正是球面上感应电荷的等效电

41、荷，即像电荷。4.i9 一根密度为ql、长为2a的线电荷沿z轴放置，中心在原点上。 证明：对于r >a的点，有/35、(r，0) =q +77P2(cos0) + 7TP4(cos9)+HI2兀% J 3r5r)解线电荷产生的电位为aa中(r,e)=qJdz' = 2 f , i _dz4 0 R 4 0. r2 z2 -2rz cos。1二(z)n22=、VrPcosu)r - z -2rz cosr n 山 r故得到(r,少=-ql-4二；，二 a (z )n .-'-ni P(cos)dz =q : 1 an1-(a)n14n%nn+1rn*pn(cos 句q2二；

42、o35aaa一不 P2(cosu) r 3r5rP4(cosi)川0 n=0 _a r4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与 xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q ,如题4.20图所示。证明：空间任意点电位为m Q 一 1 fr 23<r 4I*=|1- I：P2(cos8)+I jP4(cose)+|4n/a-2 1al81alj(r<a)中2= -Q,1-11a|P2(cos.+31a |P4(cos8)+1|4n%r_2 lrJ81r J_(r>a)解 以细导线圆环所在的球面 r =a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用 $函题 4.20图CT 二

43、2- a2(cos【-cos)二2 ' (cos)数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r=a上的电荷面密度再根据边界条件确定系数。设球面r =a内、外的电位分别为 *1（r,曾和*2（r,S ,则边界条件为：Q（0为有限值；2（9） 0 （r，二）；(a)2(a,U) Q与方一，）,去3（co叫根据条件和，可得“（,"）和"的通解为QO1(r,I)- AnrnR(cosi) n 02(r,)八 Bnr"°P,(cosi)n 0代入条件，有(1)(3)od” Anan,Bn(n 1)a2Pn(cos)n O2 二；0a2, (cost)(4)将式（

44、4）两端同乘以Pm（8sssin6，并从0到n对6进行积分，得n -1_AnnaBn (n 1)a(2n 1)Q 二 .2- 、(cosi)Fn (cos)sin "二=4二；0a°(2n 1)Q24 二；0aPn(0)(5)n =1,3,5,|其中1 3 51H(n -1)2 4 6111nn =2,4,6,由式（代入式3)An和（5）,解得（1）和（2）,即得到QFL0)QanBn )4二；0Pn(0)4夜 0a 一 2 1a3 r P2(cos -)-8 aP4(cos?)(r - a)Q4 二；0r;1卜；1 - I 2 1rlP2(cos -) 3 i a P4(

45、cos) IH8 r(r -a)Anan = Bna4.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d,如果把它移到 无穷远处，需要作多少功?题4.21图题4.21图所示。像电荷q '在点P处产生的电场为E (x) .ex q724 二；0(2 x)所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功为_2We-dqE (x)dr= d4dx =2q16二；0dWo = -We外力所作的功为4.22如题4.22图所示，一个点电荷 q放在60的接地导体角域内的点（1,1,0）处。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点x = 2, y =1处的电位。解（1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，

46、分布在以点电荷q到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于位置分别为x； = V2cos75O = 0.366q； = F,L 0y1 =、2sin75 =1.366x2 = 2cos165'、=T366q2=q，y =、2sin165 =0.366,x3 =<2cos195 0 = -1.366q3 = -q,l qy3 = .2sin195 =-0.366,x4 =V2 cos285 ° =0.366q4 =q，厂。y = 2sin285 - -1.366,x5 =弋2 cos315 = 1q5 = -q，1 ry5 2sin315 =

47、Tq,且正负电荷交错分布，其大小和iy题 4.22图（2）点x =2，y=1处电位1(2, 1, 0)= 4二；。%+电+里+里+ &'R R R R3 R R-（1 一0.597 0.292 一0.275 0.348 一0.477） - 0321 q =2.88 109q （V）4二；04二；°4.23 一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为 h o3求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设 m = 2>d0 kg h=0.02m）。解 将小带电体视为点电荷 q,导体平面上的感应电荷对 q的静电力等于镜像电荷 q

48、'对q的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为q' = -q,位于导体平面上方为h处，则小带电体q受到的静2f _qS2、电力为4二；。（2）令fe的大小与重力mg相等，即2q7 二 mg4 二;0（h2）题 4.24 图（a）题 4.24 图（b）题 4.24 图（C）于是得到q=4h,二;0mg =5.9 10"4.24 如题4.24 （a）图所示，在ZM0的下半空间是介电常数为名的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为 h处有一点电荷q,求：（1） Z A 0和Z<0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q

49、。4.24 图（b ）、（ c）所示）解（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面 上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题q =一q，位于z - -h位于z = h上半空间内的电位由点电荷 q和镜像电荷"共同产生，即中+工1 4值0R 4戒0R' 4唉1222(z-h)2；o , r2 (z h)2下半空间内的电位由点电荷 q和镜像电荷q共同产生，即 （2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为4二展2二(； , r2 (z _ h)2bp =n P-P2ze = oNE)A z£= zcz(；- ；0)hq2二(；力)(1 h2)32极化电荷总电量为COqP -PdS - ； -p2：rdr 二(-)hq" / 2232d 0 (r h)dr 二（；- ；0）q二 q；.；。解（1）导体球上除带有电荷量| Q qFFq - -q =R Dq4.25 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q,在球体外距离球心为D处有一个点电荷口。（1）RD32=772求点电荷q与导体球之间的静电力