研究生矩阵论试题及答案

1、dfdX设 A = (aj)m汨 Rm>n, x=(x1,x2*|,xn)T 亡 Rn 是向量变量,F (x) = Ax ,求dFdxT09级-研-矩阵论试题及参考答案一(15分)设实数域上的多项式.3232p1(x) = x +2x +2x + 3, p2(x)=x +x +2x+3,、323- 2 八 一P3(x)=-x +x -4x-5, p4(x) =x -3x +6x + 7(1)求线性空间 W =span( p, p2, p3, p4 )的一组基和维数；32(2)求多项式p(x)=x +4x +1在你所求基下的坐标。111110 002 11-30 10-1解：(1) A =

2、一匚2 2T 60 0 1-2口 3 -5 7 ,、0 0 0 0 ,pi, p2, 6是W 的一组基，dimW =3；(2) p(x) = pi(x) + p2(x) + p3(x) , p 的坐标为 x = (1,1,1T。或：xA3+1 , xA2 , x+1.这三个基形式是最简单的。坐标为(1,4,0)。(15分)设f(X)=|x|； =tr(XTX),其中X=(xj)m殉亡Rm>n是矩阵变量，求m nf斛(1) f (X) = E £ xij , = 2xij , y jm:xjdfdX=2xj)m>n=2X；(2) F(x)= Ax 二n n£ a1

3、kXkk4aii,i =1,2,，n ，n£ amkxk1k 4dF 干干 .) -xn（15分）已知微分方程组d x=Ax dt(1)(2)(3)(4)aii1am1HIanI a amn0-1x(0) =Xo求矩阵 A的Jordan标准形J和可逆矩阵求矩阵A的的最小多项式 mA（八）计算矩阵函数eAt；求该微分方程组的解。P使PAP = J解：(1)川一A=(九一2)3, rank(2 I A) =1 ,'=2对应两个线性无关的特征向量A的Jordan标准形J =P“AP = J =一2 ；1! 2 1 ,其中J2j一11-11（2）由A的Jordan标准形知（不唯一）m

4、A( ') = ('02)2100(3) eAt =e2t 0 1+t-t(方法不限)0t1-t如用代定系数法：f （K） =e' r （八）=a+b九由 r(2) =(2), r(2) = f'(2)可求得 a = (1 2t)e2t,b = te2tAte = aIbA =e2t一100 1-tJt15一 4131-330e2t1(4) x(t) =eAtX0 =2te2t? 一四（15分）已知矛盾方程组 Ax = bX1 X2 = 1x1 2x2 = 1(1)求A的满秩分解A = FG(2)求A的广义逆A+；(3)求该方程组的最小二乘解Xls。2xi 3x

5、2二1解（1） A是列秩的，故一11112 , G =301 1（不唯一）(2) ATA 二9 14J143 IL-9T-1 TA = (AT A) AT,c、“+1O(3)Xls =A"b = 3、0-2五(10分)设A =-1(1)写出A的4个盖尔圆;(2)应用盖尔圆定理证明矩阵A至少有两个实特征值。解(1) G1: z-9 <4; G2:z-8| <2;G3 : z-4 <1;G4: z-1 <1;(2)它们构成两个连通部分S1 =GjjG2UG3, S2=G4,且S1,S2均关于实轴对称，故 S2中只有一个特征值且必为实数,S1中有三个特征值，故至少有

6、一个实特征值。1六(10分)设A = 1-02 20 2 ,用Schmidt正交方法求 A的QR分解。1 1解：见教材P118例题2仁, O' T七(10分)设矩阵A'Rr的奇异值分解为 A=UrVT,<0 0；证明：(1)写出A +的表达式；(2)证明 N(A)=' x Rn | Ax = 0? =span(vr 1,vr 2JH,vn)广工，0解(1) a+=v -r UT< 00;,一T 0)设 V =(V1,V2,，vr |vr#，Vn AMM),由 UTAV= r<0 0JTT任r 0 ) t(UTAV1 |UTAV2 )=(00j=UTAy

7、=0= AV2=0即Avi =0(i =r +1,，n),这说明vr4,vr.，vn为Ax = 0的基础解系，得证。八(10分)设n阶矩阵A,B满足AB = BA,证明：(1)列空间 R(A + B)uR(A)+R(B), R( AB)u R(A)R(B)；(2)矩阵秩不等式r(A+B) Mr(A)+r(B)r(AB)。(提示：用维数定理)证：(1)设人=(0(1,%,|儿册)，B=(Pi,P2/|，Pn)，则有A B =(：-1 - '-1, ：2 - -2,IH,：-n ：2)-x - R(A B), x =k(1)k2(： 2 -) - IM kn(： n)= (kr1 k2：

8、2 IHkn'n) (k1k2-2 .川 K ) R(A) R(B)所以，R(A + B)=R(A)+ R(B);因AB的列都是由 A的列的线性组合，又 AB = BA, 所以AB的列也都是由B的列的线性组合。因此， R(AB)仁R( A)C R(B)。(2)由 R(A+B)UR(A)+R(B)知r(A B) = dim R(A B). dim l-R(A) R(B) 1由 R(AB) c R(A)pR(B)知dim R(AB) < dimR(A)D R(B) 1由维数定理r(A B) <dimR(A) R(B)-dim R(A) dim R(B) - dim i-R(A)

9、Hr(B)1<dim R(A) +dim R(B) -dim R(AB) = r(A)+r(B) r(AB)。证毕。填空(每题4分，共40分)1.2 -382 12 -2131212 ，则 4 的值域 R(A) = y y=/ix XtR'的维数2.设八的若当标准型J =()202000则人的最小多项式心(之)=(乂 + 1)3(之一 2)2.3.设4= -4 3 0 ,则人(/)=T 34，+'+3一 一3=4 -3 ()4.5.则矩阵A为正定的埃尔米特连.4=(2.3,-1) ；£ =(1,1,1)',6=(1,2,3)，6=(2,0.1)'

10、,，-6 -19 -r则由4,%，%到夕”A，A的过渡矩阵尸=-13 T2-1 .2 T L6 .设AV,间L：=应力%|¥，AA"的非零特征值分别为3, 5. 15, 1-1则同L=J23. 21+»I设埃尔米特阵为八=1-/50-I 02在R'中有下列两组向量：a =(-3.1-2)', 4 =(i,-i'i)，7 .设八=：；：，；一 ：；，X，匕分别为齐次线性方程组 - /tr=O, 6x=（）的解空间，则dim（KfK）= 1n +(-1 f8.(I-1)7n产+92n-则 lim An =9.f2 _1 3、设A= 1 2 1

11、,则A的分解为2 0 2v72 4 4 «s I 2(2 42 0 4 010 .设八=19 B = I，则=(-2 5)12 ()J4 / 10 2(-4 0 10 0二.（io分）设丁为维欧氏空间y中的线性变换.且满足：（n.y） = Tx.4）,试证明：丁在标准正交基下的矩阵人为反对称阵（人=-1） 证明：设ay,a”为V的标准正交基,/'=%»,下证：与 由丁（必，%9以）=（8aj，a）人知Ta, ="i,a +°2，a2 + +"小a,， Tat =ai/ai + +"町a,，(Ta，a，=a，Ta，；+aitaz

12、 + (。.7%)=(。,吗"| +«2/a: + - +yaJ =°八所以：ai = -a.J4 2 1()、三.(10分)在复数域上求矩阵4= -4 3 7的若当标准形./并求出可逆一3 I 7Z矩阵P使得尸JP=/.2 1 0)解：A的若当标准形1= 0 2 1.令P=(Pi,P2.pV,则有0 0 2K77m=05010)7 Pi解得：Pi=(2»l. l)r, p2 =(0, 1 0)rw =(1.2.1)11,2110、7lh = Pl四.（10分）己知X =,f(X) = ex +sin(x2x5) + x5x4,求， (I A.解答:&l

13、t;=ar,a&'3ax< cosCxx Xxy cos(x.x.) x1r ni10-13五.（10分）己知A= -2-1解："EAI = U_2) A的最小多项式夕(用=(2-2)2.待定系数一：sin2=< AM2-2r +a +Z>x .贝!J4 +2b =1. b = 0, sin(J.4) = E ;令d =</(2H2-2r +a + 2 贝0/+2方=r.2=e<(1 Ife1 =e2E +e2A=e2 -2-12.-1 2待定系数二：令3119之=44«4 21+力，则a -t-2b + 4c =1b+4c =

14、0=><z =1 _/8, b =/8, c =-/32 ;2c =疗/16si呜A) = E(4£-4A+A2) = E .3 2el =</(AM2-2r' +«+H+<X：,贝!1u +2b +4r =e2h + 4c =e2=4=£、 b =3, c = e2 ;2c =e2e 1 =e2(E-4 + A2)2-1220 1_ 0六.(10分)设人=,求/'的奇异值分解.()210解答一：Ah4= 2 ° , A的奇异值为后.逐;0 5VnAnAV解答二：人"人=0 5那么4的奇异值为值，逐，人”

15、人对应于特征值5,2的标准特征向量为x再计算的标准正交特征向量，解得分别与5, 2, 0, 0对应的四个标准 正交特征向量。7501711710 2710I -U。1?同-_2601710一T。手lm-21 套02750 -5V50-1所以A=匕2丫"=1七.(10 分)设o 工人C j, rank = rank A； (i = 1.2. 9 w),且当 iwj 时44 =（）（i,/ =1.2,）.试用归纳法证明存在同一个可逆隆P eC3使得对所有的i （i =1.2有A, =%PE/t ,其中% eC.证明： =I时，命题显然.假设 $太时.命题成立.当=太 + 1 时，设rank =r.由若当分解A =尸。（）0 01-1,其中Re C"可逆:当j=2.时，由&4,=八八=（）可得A,=: