《信号与系统》讲义教案-第6章 离散信号与系统的Z域分析

1、第6章 离散信号与系统的Z域分析 33第6章 离散信号与系统的Z域分析6.0 引言 与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。6.1 双边Z变换6.1.1 双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为hn的离散时间LTI系统对复指数输入的响应yn为 (6.1)其中 (6.2)式(6. 2)就称为hn的双边Z变换。 当z=时，Z变换就转变为傅立叶变换。因此一个离散时间信号的双边Z变换定义为： (6.3)式中z是一个复变量。而xn与它的双边z变换之间

2、的关系可以记做 6.1.2 双边Z变换的收敛域xn的双边Z变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z平面上的所有点都能使X(z)收敛。那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。只有当式(6.3)的级数收敛，才存在。存在或级数收敛的充分条件是 (6.4) 在xn给定的条件下，式(6.4)级数是否收敛取决于z的取值。在z复平面上，使式(6.4)级数收敛的z取值区域就是X(z)的收敛域。6.1.3 零极点图如果X(z)是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到： (6.5)

3、则由其全部的零极点即可表示出，最多相差一个常数因子。在 Z 平面上表示出全部的零极点，即构成的几何表示零极点图。如果在零极点图上标出ROC，则该零极点图可以确定一个信号。在 Z 平面上将零点、极点表示出来即为零极点图。图 6.1 零极点图例6.1 有序列，由式（6.1.3）式，它的为：要使收敛，就必须满足，即，因此可得 (6.6)当在0到1之间取值时，其零极点图和ROC如图6.2所示：图 6.2 例6.1的收敛域例6.2 设，那么当，即时，上使是收敛的，可得 (6.7)当在0到1取值时，其零极点图和ROC如下图所示：图 6.3 例6.2的收敛域例6.1和

4、例6.2的结论是应该熟记的，在以后的学习将经常用到。例6.3 设一个信号是两个实指数序列之和于是其z变换为可得它ROC为。例6.4 信号的Z变换为 ，ROC：图 6.4 例6.4的收敛域6.1.4收敛域的特征ROC的特征：性质1：的ROC是Z平面内以原点为中心的圆环。性质2：ROC内不包含任何极点。性质3：如果是有限长序列，那么ROC就是整个z平面，可能除去和/或。性质4：如果是一个右边序列，并且的圆位于ROC内，那么的全部有限值都在这个ROC内。性质5：如果是一个左边序列，而且的圆位于ROC内，那么满足的全部值都一定在这个ROC内。性质6：如果是一个双边序列，而且的圆位于这个ROC内，那么该

5、ROC一定是由包括在内的圆环组成的。性质7：如果的变换是有理的，那么它的就被极点所界定，或者延伸至无限远。性质8：如果的变换是有理的，而且若是右边序列，那么ROC就位于平面内最外层极点的外边；也就是半径等于极点中最大模值的圆的外边。而且若是因果序列（即为等于0的右边序列），那么也包括。性质9：如果的变换是有理的，而且若是左边序列，那么ROC就位于平面内最里层的非零点的里边；也就是半径等于中除去的极点中最小模值的圆的里边，并且向圆内延伸到可能包括。特别是若是反因果序列(即为等于0的左边序列)，ROC那么也包括。例6.5 讨论信号的Z变换。 (6.8)在时，两部分收敛域无公共部分，表明此时不存在。

6、当时，ROC为。如图所示。图 6.5 例6.5的收敛域 6.2 双边Z变换的性质Z变换的许多性质与离散时间傅立叶变换的性质相似，其推论方法也相同。主要讨论其ROC的变化。1、 线性若 ，ROC: ；，ROC: 则 ，包括 (6.9)如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则ROC可能会扩大。2、 时移若 ，ROC: 则 ，ROC: （6.10)但在和可能会有增删。当信号时移可能会改变其因果性，故ROC在，有可能改变。3、Z域尺度变换若 ，ROC: 则 ，ROC: (6.11)因为时收敛，则时，收敛。所以。当时，即为移频特性。若是一般复数，则的零极点不仅要将的零极点逆时针旋转一个角度，而且在径向有

7、倍的尺度变化。4、时域反转若 ，ROC: 则 ，ROC: （收敛域边界倒置） (6.12)信号在时域反转，会引起的零极点分布按倒量对称发生改变。如果是的零/极点，则就是的零/极点。即：与的零极点呈共轭倒量对称。图 6.6给出了其示意图。图6.6零极点呈共轭倒量对称 例如，的ROC为：，则的ROC为：。5、时域内插 若 ，ROC: 则 ， ROC： （6.13）6、共轭对称若 ，ROC: 则 ，ROC: （6.14）当是实信号时，于是有。表明如果有复数零极点，必共轭成对出现。7、卷积性质，ROC包括： （6.15）如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能扩大。该性质是LTI系统Z变换分析法的

8、理论基础。8、Z域微分若 ，ROC: 则 ，ROC: （6.16）利用该性质可以方便地求出某些非有理函数的反变换或具有高阶极点的的反变换。例6.6 求下面的反变换:，解：因为 所以 例6.7 求下面的反变换: ，解：因为 ，所以 9、初值定理若 ，则 （6.17）10、终值定理若 ，除了在可以有单阶极点外，其它极点均在单位圆内，则 （6.18）下图为极点的位置与信号终值之间的关系：图6.7 极点的位置与信号终值之间的关系6.3常用信号的双边Z变换表6.1 几个常用的Z变换对信号变换ROC1续表6.1 几个常用的Z变换对6.4双边Z反变换我们先来推导双边Z变换的反变换：因为 所以 则 令，从时，

9、 Z 沿着ROC内半径为 r 的圆周变化一周。所以反变换的定义为 （6.19）其中 C 是 ROC 中逆时针方向的圆周。求解双边Z反变换通常使用部分分式展开法和幂级数展开法。一、部分分式展开法当是有理函数时，可将其展开为部分式 （6.20）步骤：1.求出的的所有极点；2.将展开为部分分式；3.根据总的ROC，确定每一项的ROC；4.利用常用变换对和z变换性质求出每一项的反变换。例6.8 将展开为部分分式有： 所以二、 幂级数展开法 由的定义，将其展开为幂级数，有 （6.21）展开式中项的系数即为。当是有理函数时，可

10、以通过长除的方法将其展开为幂级数。例如：，由式（6.21）可得。6.4离散时间LTI系统的复频域分析6.4.1 系统函数根据卷积性质 （6.22）式中分别是系统输入、输出和单位脉冲响应z的变换。称为系统的系统函数或转移函数。只要单位圆是在的ROC内，将在单位圆上求值（即），就变成系统的频率响应。6.4.2 系统函数与线性常系数差分方程考虑一个LTI系统，其输入、输出满足下列线性方程 （6.23） 两边取z变换，并利用线性和时移性质可得 于是有 （6.24）的ROC需要通过其它条件确定，如：（1）系统的因果性或稳定性。（2）系统是否具有零初始条件等。例6.9 假设关于一个LTI系统给出下列信息：

11、1、若系统的输入是，那么输出是。其中a是实数。2、若,那么输出是。求该系统的差分方程。解:由第一条信息，所给出的信号的z变换是于是可得：因为是特征函数，于是有：解得：，所以即： 因此该系统的差分方程为：6.4.3系统函数与系统特性LTI系统的特性可以由或描述，因而也可以由连同ROC来表征。称为系统函数。1、因果性如果LTI系统因果，则时，所以，的ROC是最外部极点的外部，并且包括。2、稳定性若LTI系统稳定，则，则的傅立叶变换存在。表明单位圆在的ROC内。即的ROC必包括单位圆。因此，因果稳定的LTI系统其的全部极点必须位于单位圆内，反之亦然。当是关于Z的有理函数时，因果性要求的分子阶数不能高

12、于分母阶数。例6.10 已知一因果LTI系统的差分方程为试确定系统的系统函数。若，用z变换确定上述系统的输出。解：的变换为所以极点为，收敛域为。的变换为所以于是得：6.4.4 系统函数零极点图与频率响应的几何求值当ROC包括时，Z变换在单位圆上的情况就是，因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。其方法与拉氏变换时类似：考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即反映系统的频率特性。 （6.25）， （6.26） （6.27）由零极点图所做的矢量，如图6.8所示。图6.8 零极点图的矢量示意图例6.11 一阶系统：,其，则当时，ROC包括单位圆。相应的频率响应为，

13、模记为 显然， 取决于的变化。 图6.9 时的矢量示意图 图6.10 时的矢量示意图当时，在处最大，时，最小，呈单调变化 图6.11 时频率响应的模特性图和相位特性图当时，频率响应的模特性图和相位特性图为 图6.12 时频率响应的模特性图和相位特性图可以看出：越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的衰减越快，上升越快。越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。6.5 系统的方框图表示6.5.1 系统的互联1、 级联，ROC包括： （6.28）2、 并联，ROC包括： （6.29）3、 反馈联接：，ROC包括： （6.30） （a）

14、级联 （b）并联 （c）反馈联接图6.13 系统的互联6.5.2 由线性常系数差分方程描述的因果LTI系统的方框图表示由线性常系数差分方程描述的LTI系统，其系统函数为有理函数，可以将其因式分解或展开为部分分式。不同的分解对应不同系统结构，下面介绍由系统函数来设计LTI系统的级联与并联结构。1、 级联型将因式分解 （6.31）其中是二阶（或一阶）系统函数。由此即可得系统的级联结构：图6.14 系统的级联结构2、 并联型将展开为部分分式 （6.32）图6.15 系统的并联结构6.6 单边Z变换6.6.1单边Z变换举例我们先给出单边Z变换的定义： （6.33）单边Z变换是双边Z变换的特例，也就是因

15、果信号的双边Z变换。因此单边Z变换的ROC一定是最外部极点的外部，并包括。所以在讨论单边Z变换时,不再强调其ROC。它的反变换也一定与双边Z变换的反变换一致： （6.34）如果信号不是因果序列，则其与不同。例6.12 分析信号的Z变换。，；     ，显然 。例6.13 分析信号的Z变换。，；    ，显然 ，这是因为在的部分对双边Z变换起作用，而对单边Z变换不起作用所致。6.6.2单边Z变换性质单边Z变换除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其它性质与双边Z变换的情况是一致的，只要所涉及的信号是因果信号。

16、时移特性：如果 则 （6.35）证明： 同理可得： （6.36） （6.37）单边Z变换在将线性常系数差分方程变换为代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。6.6.3利用单边Z变换分析增量线性系统我们用一个例子来说明单边Z变换在分析增量线性系统时的应用。例6.14 已知某离散时间系统的输入输出方程为，当输入信号为时，求系统的输出响应。已知。解： 方程两边同时求单边Z变换，则有， 所以 习题六6.1设信号为为利用（6.3）式求该信号的变换，并标出对应的收敛域。6.2设xn是一个绝对可和的信号，其有理变换为。若已知在有一个极点，能够是(a) 有限长信号吗？

17、（b）左边信号吗？ （c）右边信号吗？ （d）双边信号吗？6.3已知利用部分分式展开求下面的反变换： 6.4 求出下列每个序列的变换，画出零极点图，指出收敛域，并指出序列的傅立叶变换是否存在。（a）（b）6.5有一矩形数列设（a） 求信号，并直接计算它的z变换。（b） 注意到 利用表6.1求的变换。6.6考虑稳定LTI系统的下列系统函数，不用求反变换，试判断是否是因果的系统。（a）（b） （c）6.7关于一个单位脉冲响应为，变换为的LTI系统S，已知下列5个事实：1是实序列。2是右边序列。34有两个零点5的极点中有一个位于圆上的一个非实数位置。试回答下列两个问题：（a） S是因果的吗？ （b）S是稳定的吗？6.8 （a）求由差分方程 表示的因果LTI系统的系统函数（b） 若为 用z变换求。6.9考虑