第6讲再见吧,五大模型等积模型作业

1、再见吧，五大模型（等积模型）1 ,已知 MBC中，AB =AC =12cm , iABC的面积是42cm2 , P是BC上任意一点，P到AB , AC 的距离分别是x厘米、y厘米，那么x + y=.2 .图中的E、F、G分别是正方形 ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是 ;3 . （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形 ABCD中，E、F分别是其两腰 AB、CD的中点，G是EF上的27任意一点，已知 MDG 的面积为15cm2,而ABCG的面积恰好是梯形 ABCD面积的 ,20则梯形ABCD的面积是 cm2.4 . （2007首

2、届全国资优生思维能力测试 ）ABCD是边长为 12的正方形，如图所示，P是内部任意一点，BL = DM=4、BK =DN =5 ,那么阴影部分的面积是 .5 .如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH ,若APBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 多少平方分米？的面积比平行四边形PGAE的面积大FFBCHDAOPFGHIEDEDAAHHGGCCBBADOE的面积比三角形DIE的面积大多B8厘米 四边形iBOD的面积小16平方厘米，求梯形 AEBD的面积正方形 ABCD的边长为8厘米，梯形AEBD的对角线交于点 O ,且 MOECE为AD的中点，F为CE的中点，GI

3、FI F25cmB HO是长方形ABCD内一点 的面积是多少？右图中，正方形ABCD的边长为 为BF的中点，H为AG的中点.少平方厘米.E PE P .一 .-2.AOAB的面积是2cm ,求AOBDCAOBC的面积是DD6.7.8.CBA GA G9 .如图，对于任意四边形 ABCD ,通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形 EFGH ,求四边形EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？MNBGHF . KAJ. EOPC10 .（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF = FC ,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形ABCD的

4、面积是32平方厘米.求图中阴影部分的面积.11 .如图，已知长方形 ADEF的面积16 ,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4, 那么三角形ABC的面积是多少？12 . （2008年“希望杯"二试六年级 ）如图，E、F、G、H分别是四边形 ABCD各边的中点，FG与FH交于点O , §、&、0及S4分别表示四个小四边形的面积.试比较§十$与$2十$4的大小.答案:1.【详解】（法1）特殊点法.由于 P是BC上任意一点，不妨设 P在B点，则此时x=0,那 么1S 四BC =Q AC My =42 ,得至 1 y=7, x + y=7.（法2）如图所

5、示，连接 AP.三角形ABC的面积等于三角形 APB与三角形APC的面积之和，而这两个三角形的 1底AB、AC相等，局分别为 x和y,所以12M（x+yF,=42,可得x + y = 7.2.把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段.把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 9个形状各不相同的三角形.这9个三角形的 底边分别是在正方形的 3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一.阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第 1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第 3第4 个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等.因此这3个阴影三

6、角形的面积分别是 ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部 阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一 .正方形的面积是144,阴影部分的面 积就是48 .3.【详解】 如果可以求出 MBG与ACDG的面积之和与梯形 ABCD面积的比，那么就可以知道ZiADG的面积占梯形 ABCD面积的多少，从而可以求出梯形ABCD的面积.如图，连接 CE、DE.则SAEG=SDJG,SdEG= SCEG,于是S&BGS SCDG= S&DE .要求ZiCDE与梯形ABCD的面积之比，可以把梯形 ABCD绕F点旋转180、变成一个平行四边形.如下图所示：11_ 1/曰2 S&BC_ S&

7、amp;DC =3 SABCD 信从中容易看出iCDE的面积为梯形ABCD的面积的一半.（也可以根据Q.Q. =Q.=lt. Q. Q.SaEC2 S&BC，S&EDS+FD2 SaDC , S占ECSAED来） 173那么，根据题意可知 MDG的面积占梯形 ABCD面积的1=一，所以梯形2 20 20 32ABCD 的面积是 15丁一 =100cm2.20小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯 形面积的一半，这是一个很有用的结论.本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设 G与E重合，则iCDE的面积占梯形面积的一半，那么 MDG与BC

8、G合起来占4.【详解】(法1)特殊点法.由于 P是内部任意一点，不妨设 P点与A点重合，那么阴影部分就是 MMN和iALK .而AAMN的面积为(12-5)x4- 2 = 14, MLK的面积为(124)x5+2=20,所以阴影部分的面积为14 - 20 =34(法2)寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、DP可得右图所示:1 一 1一2 则有:S PDC ' S PAB =- Sabcd =- 12 =72同理可得：S PAD - S PBC =72;而 S pdm ：Ss =DM : DC =4:12 =1:3，即S-&DC；3 :1 _5 c_同理： S PBL =

9、3 S PAB , S PND = 12 S 'PDA , S PBK-S PBC ;12:1-5-所以：(S.PDM ' S PBL ) ' (S PND ' S PBK ) = (S PDC - S PAB ) ' 12 (S PDA - S PBC )而(S/fDM +S&BL) +(SND +SabQ yS4PNMSK +(S百NM + SLK ) ；1, L “S省NM =SLK = 2 父4 M 5 =10 ；所以阴影部分的面积是：S PNM ' S PLK153(S.PDC . S PAB) ' 12 (S.PDA

10、' S PBC ) _ (S DNM ' S BLK )15即为：父72 +父7210父2=24 +3020=34 .125.【详解】(法1)设APGD的GD边上的高为APEB的PE边上的高为h?.则1一一 一 1 _1-(h1 +h2 J(AG +GD )AGMh1 -GDXh1 -PE x h2 =Sbd =8 ,整理得1 _11 _1 一-GD Xh2 AG Mh1 =8 ,即一SPHCF 一 S PGAE =8 ,所以S PHCF - S PGAE =16 (平方 2222 _分米).(法2)根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF的面积与平行四边形 PGAE的面积差，

11、相当于求平行四边形 BCFE 如右上图，连接CP、AP.的面积与平行四边形 ABHG的面积差.6.由于S.Bcp ' S.Adp 二S.ABP ' S. BDP.c1 CS SADP SaBCD ,所以 S逢CP S&BP SBDP .1 c c .=1 c叫 S&CP2 SBCFE , SaBP 2 SABHG ,SBCFE【详解】由于S .AodS.O所以- SABHG =2(S占CP S&BP )=2S占DP =16(平方分米).ABCD是长方形,所以S&OD +S伟OC =；SaBCD ,+ S&OC S山BD,BS凶:S.B c

12、 3SC 一 1 一而 Sabd S 2S.：ABC D所以7.mA B【详解】8.【详解】如图，连接EG、EH、EB .根据差不变原理，要求四边形FGHI与三角形DIE的面积差，相当于求四边形EFGA与三角形DAH的面积差.而三角形 DAH的面积等于三角形 EAH的面积的 2倍，三角形EAG的面积也等于三角形 EAH的面积的2倍，所以四边形 EFGA与 三角形DAH的面积差就等于 &EFG的面积.根据题意，AEFG的面积等于AEFB的面积的一半，AEFB的面积等于AECB的面积的一半，在CB的面积等于正方形 ABCD面积的一半，所以iEFG的面积等于正 方形ABCD面积的1x1x1

13、=1 ,为82/=8平方厘米，所以四边形 FGHI的面积 2 2 2 88比三角形DIE的面积大8平方厘米.由于AEBD是梯形，所以 SD =SdOE ；9.【详解】分层次来考虑:如下左图,22SBMD =SABD 父一, SBPD = SCBD 父一, 33所以 SMBPD =(SABD ' SCBD )= SABCD33又因为 SDOM =SPOM,SMNP = SBNP ,所以SMNPO2SMNPO1 2 -二SABCD2 31 c=SABCD 3OP由于AAOE的面积比iBOD的面积小16平方厘米，根据差不变原理，可知AABE的 面积比 MBD的面积小16平方厘米，而AABD的

14、面积为82+2 =32平方厘米，所以 MBE的面积为3216 =16平方厘米，那么梯形 AEBD的面积等于 AABE与AABD 的面积之和，为32 +16 =48平方厘米.MNB12如右上图，已知 MJ =BD , OK =BD ;所以MJ : BD =1: 2 ； 33所以ME : EO =1: 2 ,即E是三等分点；同理，可知F、G、H都是三等分点；所以再次应用的结论,可知,SEFGH =门父SMNPO =门父c父SABCD =八SABCD -33 3910.【分析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底 DF =FC .所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即 AE与CD平行，四边形ADCE

15、是平行四边形，阴影部分的面积 =平行四边形ADCE的面积的1 ,所以阴影部分的面积=乙的面积父2 .设甲、乙、丙2的面积分别为1份，则阴影面积为 2份，梯形白面积为5份，从而阴影部分的面积=32 -5 M2 =12.8 （平方厘米）.11.【分析】方法一：连接BF,由图知Saabf =16。2= 8所以Sa bef =1 6 8 3 5又由Sa acf=4 ,恰好是 AEF面积的一半，所以C是EF的中点，因此=16 -3 -4 -2.5 =6.5SA BCE =Sa BCF = 5 + 2=2.5，所以 SaABC方法二：连接对角线 AE . ADEF是长方形1- -S.Ade - S. Aef -