系统辨识习题解答最新

1、系统辨识习题解答1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA莫型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小二乘格式。提示： MA模型 z(k) =D(z°)u(k)定义 e =d0,di,，dnHh(k) =u(k),u(k1),，u(kn)E解：因为MA莫型z(k) = D(z,)u(k),其中1 1nD(z )=do+dz + +dnz ，从而z(k) = d0u(k) d1u(k-1)-dnu(k-n)所以当定义 日=&4,，dnMh(k)=u(k),u(k1),，u(k n)% 则有最小二乘格式：jT E Tz(k) =£ di%(k)+e(k) = h (k

2、)日 +e(k),i =S其中e(k)是误差项。2-3、设e(k)是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型来描述它。请解释如何用白噪声和表示定理把e(k)表示成AR模型、MA模型和ARM峻型。解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声 e(k)可以看成是由白噪声 v(k)驱动的线 性环节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成H(z')D(z')”)即C(z")e(k)=D(z")v(k)其中C(z"1) =1 +gz+ +cnczfD(z4) =1 d-dndz"根据其结构，噪声模型可区分为以下

3、三类：自回归模型(AR模型)：C(z)e(k) = v(k)平均滑动模型(ma模型)：e(k) = D(z)v(k)自回归平均滑去模型(ARMA®) :C(z,)e(k)= D(z,)v(k)34、根据离散 Wiener-Hopf方程，证明Rmz (k)=( Np1)4球k)a2 tNpNpNp？“ g(j)j=0解：由于M序列是循环周期为 NpM ,PNp=2 1, &为M序列移位脉冲周期,自相关函数近似于 6函数，a为M序列的幅度。设数据的采样时间等于At ,则离散Wiener-Hopf方程为：qQRmz*)八 g(j)RM (k-j) tj当M序列的循环周期 NPAt大

4、于过程的过渡过程时间时，即 Np充分大时，离散Wiener-Hopf方程可写成：Np 1?Rmz (k) = ' g(j) Rm (k-j) tj =0由于M序列的自相关函数为2 a ,Rm*)= a2k =0, Np,2Np,k :0,Np,2Np,代入上式得o . a2 3a2.RMz(k) =a g(k) t - 2 g(j) t M g(k) tNp j.Np(Np 1)a2 tNpg?(k)-a2 tNpNp 4'、g(j)j=04证明:(1) P(k)h(k) =P(k-1)h(k)1h (k)P(k - 1)h(k)上(k)(2) P(k 1)h(k) = P(k

5、)h(k)1 -h(k)P(k)h(k)A(k)，(3) h (k)P(k)h(k) =h (k)P(k-1)h(k)1 h (k)P(k -1)h(k).(k)J,(4) h (k)P(k -1)h(k) =h (k)P(k)h(k)1 - h (k)P(k)h(k)上(k), 解：(1)由于P(k) =I -K(k)h'(k)P(k -1)K(k) = P(k -1)h(k)h (k)P(k 1)h(k)上,(k)'所以P(k)h(k) = P(k -1)h(k) -P(k -1)h(k).(k)1 h (k)P(k - 1)h(k).(k) Jh (k)P(k - 1)h

6、(k) 二P(k -1)h(k)1 -h (k)P(k - 1)h(k)A(k)1 h (k)P(k -1)h(k)上(k) =P(k -1)h(k)1 h (k)P(k - 1)h(k)A(k)(2)由于P(k)h(k) =P(k -1)h(k)1 +h"(k)P(k -1)h(k)A(k)，及P(k) = P(k -1)上(k)h(k)h (k)P(k -1)h(k) = P(k)h(k)1 h (k)P(k -1)h(k)A(k)= P(k)h(k)1 h (k)P(k-1)h(k).(k)1-h (k)P(k)h(k).(k)1 -h (k)P(k)h(k)A(k),=P(k

7、)h(k)1 -h (k)P(k)h(k)上(k)广1 h (k)(P(k -1) - P(k)h(k)上(k) -h (k)P(k -1).(k)h(k)h (k)P(k)h(k)上(k)= P(k)h(k)1 -h (k)P(k)h(k)A(k)41 h (k)(P(k -1) - P(k)h(k)上(k) -h (k)P(k -1)(P(k) -P，(k -1)P(k)h(k).(k)=P(k)h(k)1 -h<k)P(k)h(k)A(k)4(3)由于P(k)h(k) = P(k -1)h(k)1 +hT(k)P(k -1)h(k)A(k)，所以h (k)P(k)h(k) = h

8、(k)P(k -1)h(k)1h (k)P(k -1)h(k).(k)(4)由于P(k -1)h(k) =P(k)h(k)1 -hT(k)P(k)h(k)A(k)， 所以h (k)P(k -1)h(k)=h (k)P(k)h(k)1h (k)P(k)h(k”“k)418、考虑如下模型1A(z )z(k) = B(z )u(k)D(z)C(z)v(k)4_n °-nA(z ) =1 aizanaz a, B(z ) =bzbnb z_11_n_1_1_nC(z ) =1 C1ZCncZ : D(z ) =1 d1Z- - dndZ其中，u(k)和z(k)是模型的输入车出变量，v(k)是

9、零均值白噪声。定义参数向量ita1, ,ana ,b1 , ,bnb，C1, ,Cnc,d1, 0/ 1请利用增广最小二乘思想，写出模型参数9的递推辨识算法。解：令Zf(k) =C(z)z(k)-1Uf(k)=C(z )u(k)hf(k) =-zf(k-1),-zf(k -na),Uf(k-1),Uf(k-nb),v(k-1), ,v(k-nd)% =回,anah,凤01, ,dnd则模型化成最小二乘格式：zf(k) = hNk)L v(k)令 e(k)=11C(z )'he(k) =-e(k -1)，-e(k -nc)v(k)，及L r1工入=Ci,J. c则噪声模型也化成最小二乘格

10、式：e(k) = he<k)工 v(k)数据向量he(k)包含着不可测的噪声量，这可用相应的估计值代替：AA The(k) = -e(k -1),-e(k - nc)e(k)=0，k£0； e(k) =z(k) -h (k”；(k)AAh(k) =-z(k -1),-z(k -na),u(k -1), ,u(k -nb),e(k -1), ，e(k -%)则可写出利用增广最小二乘法得到的递推算法：3f (k)=4(k 1)十 K f(k)Zf(k) -h f Xk)<?f(k-1) K f(k) =P f (k -1)h f(k) h J(k)P f(k-1)h f (k

11、) +1 / P f(k) =I-K f(k) h J(k)P f(k-1)A目(k) =N(k-1)K e(k)e(k) -h e (k)说(k-1)K e(k) =Pe(k-1)h e(k) h e (k)Pe(k7)h e(k) 1Pe(k) =I -K e(k)h e (k)Pe(k-1)0可表不成：u a a1, ' ,ana,b1, ,bnb,d1, ,dnd,C1,-" ,Cnc ='',%.419、考虑如下模型1A(z)z(k) =B(z)u(k) -v(k)C(z )A(z') =1 aanz B(z,)5 bnz”其中，u(k)和z

12、(k)分别为模型的输入和输出变量，它们是可测的；v(k)是零均值白噪声，它是不可测的。试从 Markov估计概念出发，证明该模型的参数向量8 =a， ,bi,bn 7的估计值6可以写成如下加权最小二乘算法的形式6 = ( H JAl H l)H J Al Zl式中，H L为数据矩阵，zL为C为 C =解：令zu及:hf(k)=-Zf(k-1; -? -ai, ,an,b,加权矩阵取AL =2CTC ,其中矩阵11c11c2 c1109 .+ .cn cn _1c1 1a + + .0cn c n 1c1 1. 一 f(k) =C(z)z(k)f(k)=C(z)u(k)，-Zf (k -n),U

13、f (k -1), ,Uf (k -n)n则模型化成最小二乘格式：z“k) = hf(k" v(k)L准则函数取J(6)=£ A(k)zf (k) -h J(k)82,其中A(k)为加权因子，对所 k 1有的k, A(k)都必须大于零。对于k =1,2，L ( L为数据长度)，可以构成线性方程组 z fL = H fL9 +vL式中z fL =Zf(1)，Zf (L)7-hfT(1) - 一 -Zf(。)hJ_-zf(1)v H fL - 二“T(L)：Zf(L-1)Vl =v(1),v(L)一 Zf(1 - n)Uf(0)Uf(1 - n)-zf (2 -n)uf (1)

14、uf(2-n)aaa-zf(L-n) uf(L-1)uf(L-n)则J(6) = (zfL -H fL尸Al(zfL -H支日)，式中Al为加权矩阵，它是正定的对角阵，由加权因子A ( k )构成A00 _Al =0 A(2)09 9+9一 00A(L)_设WLS 使得J (。)最小，则有：. ) | &LS = _T (ZfL - H X L( z fL - H fL ) WLS =。' CO己d从而:(H fL "A L H fL )Rwls = H fL A l z fL ,当HlH fL是正则矩阵时，模型的加权最小二乘解为%LS = (H fL A L H fL ) H ；lA L z fL ° 由于 HfL =C(z')Hl, ZfL =C(z)Zl,所以.二-(H L 入 H l)，H L Al Zl由 Markov 估计，Xv =CovVl =EVlVl3 =<20%)：其中矢B阵 C 为取加权阵P532/4 :ClC2CnC1CnC1C11解：（1）由参数估计值偏差的估计式:8 (k 1) =I -R(k)h(k)h (k)9 (k)我们有:(A)9 (k 1)8 (k 1) =8 (k)I -h(k)h (k)R (k)I -R(k)h(k)h (k)9