线性代数练习册附答案教学提纲

1、线性代数练习册附答案精品资料第1章矩阵习题1 .写出下列从变量x, y到变量xi, yi的线性变换的系数矩阵:XiyiX 0;Xiyixcos xsinysinycos仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢112 .（通路矩阵）a省两个城市ai,a2和b省三个城市bi,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数 .试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.i3 .设 A ii4 .计算4 ,求 3AB-2A和 ATB.精品资料211(1)310012ana12b1x(x, y, 1) a12a22 b2 yb1b2c1X12y1y3y13z1 z25.已知两

2、个线性变换X2213y2 2y3 ,y22z1 z3 ,写出它们的矩X34y1y2 5y3y3Z2 3Z3阵表示式,并求从Z1, Z2 , Z3到X1, X2 , X3的线性变换.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2精品资料6.设 f (x)=a0xm+ aixm'1+- + am, A 是 n阶方阵，定义 f (A)=a0Am+ aiAm-1 + - +amE.,o21.当 f (x)=x2-5x+3, A时，求 f (A).3 37.举出反例说明下列命题是错误的(1)若 A2= O,则 A= O.(2)若 A2= A,则 A=。或 A= E.仅供学习与交流，如有侵权请联系

3、网站删除谢谢117 .设方阵A满足A2-3A-2E=O,证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出 它们的逆矩阵.8 .用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：1(1) A 2123146223131422(2)B1011012134143309.对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式101210121002A 2 312 0 332 0 332 =B.2 2r1C3 C11121112111 31、一 1一141 010 .设P1AP A,其中P，A，求A9.110 211 .设 A 0 30 ，矩阵 B 满足 AB=A+2B,求 B.1 02利用初等行变换求A-1.12 .

4、设 A 21253 3精品资料复习题一1 .设A, B, C均为n阶矩阵，且ABC=E，则必有(A) ACB=E; ( B) CBA=E; ( C) BAC=E;(2 .设A0Pi1aiiai2a2ia 22a3ia 32i 00 0 , P2ai3a23, Ba33i 0 00 ia2iaiia3iaiia22ai2a32ai2D) BCA=E.a23ai3a33 ai3仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢220 0 ii 0 i1 A) APiP2=B;(B) AP2Pi = B; ( C) PiP2A=B; ( D) P2PiA=B.3 .设A为4阶可逆矩阵，将A的第1列与第4列

5、交换得 B,再把B的第2列与第3列交换得C,设i00000i0 ,则 C-I=(0i00000i0 0 0 IPi0 i 0 0 ，P0 0 i 0i 0 0 0(A) A-iPiP2；(B) PiA-1P2；(C) P2PiA-1;(D) P2A-1Pi.4 .设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O,则下列结论中一定正确的是（(A) A-E不可逆；(B) A-2E不可逆；(C) A-3E可逆；(D) A-E和A-2E都可逆.5.设 A=(1,2,3), B=(1,1/2,1/3), C=ATB,求 Cn.6.证明：如果 Ak=O,则(E-A)-1=E+A+A2+-TAk-1, k为正整数.07

6、.设A, B为三阶矩阵,A0，且 A-1BA=6A+BA,求 B.178.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,0ai00000a2009.设X0000an 1an0000(a1a2an0),求 X-1第2章行列式习题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组X1 2x2 X322X1 X2 3X31Xi X2 X303 1 x2 .当X取何值时，4x00.1 0 X3 .求下列排列的逆序数: 315624;(2)13-(2n-1)24 (2n).a3a bc4.证明:a a b a b ca 2ab 3a 2b c5.已知四阶行列式A|中第2列元素依次为1,2,-1,3,它们的余子式的值依次为3,-4

7、,-2,0 ,求 A|.6.计算下列行列式11111111(1)11111111x y x y y x y x01111011110111101x1x21x12x21x3x3a1(5) Dna2,其中 a1a2an0 1an7 .设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：A*|二A|n-1, (n阳.8 .设A, B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且A|=2, |B|=1,计算卜 2A*B-1.2119.设A210,利用公式求A111复习题二1 .设A, B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为 A*、B*,证明：（AB）* 二B*A*.2 .设A精品资料3.已知Ai, A2, Bi, B2都是3 1

8、矩阵，设|B|=3,求A+2B|.A=( Ai, A2, Bi,), B=( Ai, A2, B2), A|=2, EBAB4 .设A, B都是n阶方阵，试证：E B E仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢23精品资料第3章向量空间习题1 .设 o1=(1,-1,1)T, o2=(0,1,2)T, o3=(2,1,3)T,计算 3 a1-2 02+03.2 .设 M=(2,5,1,3)T, a2=(10,1,5,10)T, «3=(4,1,-1,1)T,且 3( M-x)+2( «2+x)=5( o3+x), 求向量x.3 .判别下列向量组的线性相关性：(1) m=(

9、-1,3,1)T, m=(2,-6,-2)T,布(5,4,1)T ;(2) "(2,3,0)T,淬(-1,4,0)T,傻二(0,0,2)T .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢264 .设B=M,佟=相+醴，伊=al+o2+a3,且向量组 M,修，3线性无关，证明向量组 01,区位线性无关.5 .设有两个向量组 队 必，03和伊=al-M+型,印=al+ o2-型,伊=-od+o2+o3,证明这两个向量组等价6 .求向量组 ai=(1,2,-1)T,或=(0,1,3)T,侬=(-2,-4,2)T, o4=(0,3,9)T 的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示

10、.精品资料7 .设1, 02,，如是们线性表示，证明：湘8 .设有向量组al, 02,o=a M+b & o5=c o2+d o3(a,组n维向量，已知n维单位坐标向量 * 2,，g能由它 ，on线性无关.03, 陷 05, 其中 01, 0（2, 03线性无关，b, C, d均为不为零的实数），求向量组al,型,M a5的秩.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢289.设矩阵 A= (1,2,n), B=(n,n-1,/),求秩 R(ATB).精品资料2111210.设矩阵A11214 八一一一,求A的秩，并写出A的一个最高阶非4622436979零子式.仅供学习与交流，如有侵

11、权请联系网站删除 谢谢3111.已知矩阵A,若A的秩R(A)=2,求参数t的值.12.设 A23502611531944 ,求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大35无关组.13.设A为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵，证明：如果 A2=A,则R(A)+R(A- E)=n.14.已知向量空间R3的两组基为100-1101 ,牝1，限 1和§1 ,国 1，网 1 ,001011求由基ai, 小海到基凯阿伊的过渡矩阵.精品资料复习题三k、，-,11.设矩阵A111k1111k111,已知A的秩为3,求k的值.1k仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢402 .设向量组A:犯，循与B: 3，

12、在，若A组线性无关且B组能由A组线 性表示为(伊,，防=(柏，K,其中K为s r矩阵，试证：B组线性无关的充 分必要条件是矩阵K的秩R(K) = r.3 .设有二个n维向量组A: a1，o2, o3； B： a1，醛，o3, o4 ； C： a1，屋，於,庶.若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组 以限阻a4-a5线性无关.4 .设向量组 A: ai=(1,1,0)T, «2=(1。1)、o3=(0,1,1)t 和 B:由=(-1,1,0)T,由二(1,1,1)T, T=(0,1,-1)T(1)证明：A组和B组都是三维向量空间R3的基；(2)求由A组基到B组基的过渡矩阵；

13、已知向量a在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求a在A组基下的坐标.第4章线性方程组x1 x251.写出方程组2x1 x2 x3 2x4 1 的矩阵表示形式及向量表示形式5x13x22x3 2x432.用克朗姆法则解下列线性方程组bx ay 2ab2cy 3bz bc,其中 abc 0cx az 0xix2x303.问,取何值时，齐次线性方程组x1x2x30有非零解？x12 x2x30x1x2 k x344.设有线性方程组-x1 kx2 x3k2 ,讨论当k为何值时，（1）有唯一解?x1 x2 2x34（2）有无穷多解？（3）无解?Xi8x210x32x405.求齐次线性方程组2x14x25

14、x3x40的一个基础解系3xi8x26x32x403,已知邛，邛，刀3是它的三个解向量，且6 .设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为用二(2,3,4,5)t,伊产(1,2,3,4)t,求此方程组的的通解.7 .求下列非齐次线性方程组的通解：x1 x252x1 x2 x3 2x4 15x1 3x2 2x3 2x438, 设有向量组A: a12112 , %1,031及向量33101问向量B能否由向量组A线性表示?9.设“*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，&,纪，,是它的导出组的一个基础解系，证明：(1)不0, 2,一线性无关;(2) -,+&, rj*+图，4*+也-r线性

15、无关.复习题四12 121 .设A 0 1 a a ,且方程组AX=8的解空间的维数为2,则a=. 1 a 0 12 .设齐次线性方程组 a1X1+a2X2+anxn=0,且a1,a2,an不全为零，则它的基础解系所含向量个数为3 .设有向量组 兀：a1=(a,2,10)T,醛=(-2,1,5)T, o3=(-1,1,4)T及向量 片(1,b,-1)T,问 a, b为何值时，(1)向量B不能由向量组冗线性表示；(2)向量B能由向量组冗线性表示，且表示式唯一；(3)向量B能由向量组冗线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.精品资料4 .设四元齐次线性方程组x1 x2 0x2 x3 x4 0x2

16、 x4 0求：（1）方程组（I）与（H）的基础解系；（2）方程组（I ）与（H）的公共解.5 .设次E阵A=（吼 /o3,加），其中建，型,加线性无关，a1二2理-a3,向量3=8+02+03+%,求非齐次线性方程组 Ax= B的通解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢41精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢49aibici6.设a2，b2，c2，证明三直线a3b3c311 : a1xb1y c1012 : a2x2b?yc20aiI3：a3xb3yc30相交于一点的充分必要条件是向量组b：0, i 1,2,3,线性无关，且向量组，线性相关.第5章 矩阵的特征值和特征向

17、量1 .已知向量od=(1,-1,1)T,试求两个向量02, 03,使al,必，0(3为R 3的一组正交2 .设A, B都是n阶正交矩阵，证明 AB也是正交矩阵.3 .设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1，证明：-1是A的一个特征值.24.求矩阵511233 的特征值和特征向量025.已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3 ,计算行列式|A3-5 A2+7E|.6.设矩阵A5 000 y 0相似，求x, y ；并求一个正交10 04矩阵 P,使 P-1AP=A.7.将下列对称矩阵相似对角化:22 0(1) 2 1202 0400(2) 0310138 .设人是可逆矩阵A的特征值，证明：囚是A*的特征化 （2）当1,-2,3是3阶矩阵A的特征值时，求A*的特征值.9 .设三阶实对称矩阵A的特征值为