概率论与数理统计习题解答

1、习题解答一一第一章1 1解：(1) ABC ; (2) ABC; (3) ABC ; (4) ABC ABC ABC ;(5) A B C ； (6) ABC ABC ABC ABC 01-2解：(1) A i B; (2) A e B; (3) A i BC ; (4) A e (B U C)1-3解：1 + 1=2点，6 + 6=12点，共11种；样本空间的样本点数：n= 6X 6= 12,和为 2, A= 1,1 , nA = 1 , P(A) = n =,n 36和为 6, A= 1,5; 2,4;3,3;4,2;5,1, nA = 5 , P(A)= n =-5 ,n 36和为(2

2、+ 12)/2=7 , A= 1,6; 2,5;3,4;4,3;5,2;6,1 , nA= 6 , P(A) = A = = 1n 36 6和为 8, A= 2,6;3,5;4,4; 5,3;6,2 , nA = 5 , P(A) = nA =,n 36P(A) =和为 12, A= 6,6 , nA = 1 ,出现7点的概率最大1-4A；3，解：只有n=133种取法，设事件A为取到3张不同的牌，则nA（1）P（A）二X乐1二寝； P瓜）=1-P（A）二白。 n 1313169169解：(1) P(ABC) = P(A)- P(AB)- P(AC)+ P(ABC)= 0.45- 0.10- 0

3、.08+ 0.03= 0.30(2) P(ABC)= P(AB)- P(ABC) = 0.10- 0.03= 0.07(3) aBC, AbC, ABC为互不相容事件，参照(1)有P(ABC U ABC U ABC)=P(ABC)+ P(ABC)+ P(ABc)=P(A)- P(AB)- P(AC)+ P(ABC)+ P(B)- P(AB)- P(BC)+ P(ABC)+ P(C)- P(AC)- P(BC)+ P(ABC)=P(A)+ P(B)+ P(C)- 2P(AB)+ P(BC)+ P(AC) + 3P(ABC)=0.45+ 0.35+ 0.30- 2(0.10+ 0.08+ 0.05

4、) + 0.09 =0.73(4) ABC, Abc, aBc为互不相容事件，参照(2)有P(ABCU ABCU ABC)= P(ABC)+ P(ABC) + P(ABC)=P(AB)+ P(AC) + P(BC)- 3P(ABC)=0.10+ 0.08+ 0.05- 3? 0.03=0.14(5)P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)- P(AC)- P(BC)+ 3P(ABC) =0.45+ 0.35+ 0.30- 0.10- 0.08- 0.05+ 3? 0.03 0.90(6) P(AU BUC)= 1- P(AU BUC) = 1- 0.90= 0.10

5、 。解：设Ai,A2, A3为（1）、（2）、（3）的事件，由题意知Cl (1)P(A)= -3- =C101C21. P(A2)=ci=面； P(A3)=c4，c51Cw1-7解：5卷书任意排列的方法有n=5!种，设事件A = 第i卷书放在两边,i = 1,2,3,4,5。 .2' 412(1) A = 用 1卷书放在两边，口内=4!+ 4! , P(A)= 一5!5P(AAs) 二(2)(3)(4)2! 3!1=；5!10217P(AUA)= P(A)+ P(A5)- P(AA)= 2? 二一；5 101019p(AUA)= P(AA)= 1- P(AA)= 1- -= °

6、;1010解：这是一个几何概率问题，设折断点为 x,y,x< y)0由题意及三角形的特点知:(D折断点在棍内：0< x< y< L ；折成三段后，每段小于棍的一半:, 1 ,x< - L, y-2(3)任两段之和大于棍的一半:y>L-x>1L- y+ x> L ;21-8整理条件:< x< y< L>1l2£x< L 2 21 .1 J?y- x< 2L1L2所包含的区域如图，故P(A) =1 9解：设 A= AA, B= Aa, C= aa。P(A) =200460012501=,P(B) = =

7、, P(C)=200+ 600+ 50 17200+ 600+ 50 17200+ 600+ 50 17415p(AUC)=p(A)+p(C)- P(AC)=-+-0=-解：设 A = 活到 20岁; B=活到 25 岁, P(A)= 0.8, P(B)= 0.4P(A)P(A)显然 A? B, AB AI B= B ,由题意得 P(B| A) = P(AB)= £"=0.51 11解：设Ai =第i次取到次品, i = 1,2,3。由题意得9089 10P(A A2A3)= P(A)P(A2|A)P(A3 1A2 A)=创一 一二0.8256100 99 981 12解：

8、设A =第i人译出密码, i = 1,2,3。由题意得 4-2 3P(AU A2U A)= 1- P(A U A2U 4)=1- P(A)P(A2)P(A)= 1- -创一 一 二0.65 3 41 13解：设Ai =第i道工序的合格品 (i = 1,2,3,4),且Ai,A2,A3, A4相互独立。由题意得P(AA2A3A4)= P(A)P(A2)P(A3)P(AJ=1- p(A1)i- p(A；)i - p仄)1- p(A4)=(1- 0.005)(1- 0.002)(1- 0.001)(1- 0.008)=0.9841 14解：这是贝努里概型：Pn(k)= C：pk(1- p)n-k,

9、(k=0,1,L ,n),由题意P1(k? 1) 1- R(k= 0) = 1- (1- p)n 侈0.95(1- p)n 人 0.05 n? 991 15解：设A、A A分别为从甲袋取到1个红、白、黑球，设B、8、B分别为从乙袋取到 1个红、白、黑球，由题意知P(AB1UA2B2UA3B3)= P(ABi)+ P(A2B2)+ P(A3B3)=P(A)P(B)+ P(A2)P(B2)+ P(A)P(&)0.3312J?9 29 10 gg25 25 25 25 25 251 16解：设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示为正品。A1, A2,A3 构成一个完备事件

10、组，且有 P(A)= 0.5, P(A2)= 0.3, P(A3)= 0.2 ;P(B/A) = 9/10, P(B/A2) = 14/15, P(B/A3)= 19/20。(1)由全概率公式c 9c 14 c 19P(B) = ? P(A)P(B/A) =0.5? 0.3?0.2?0.92101520(2)由贝叶斯公式P(A/ b)=P(A)P(B/A1)P(B50.5' 0.9 _ 450.92 921-17解：设A = 第一次取到i个新球, (i=0, 1, 2, 3); B=第二次取到3个新球。则A, Ai, A2, A构成完备事件组，其中31221P(Ao)=得，P(A)=

11、T=POn C9XPOn 法C12121212由全概率公式3P(B)= ? P(A)P(B/A)= k= 0CI?c! r3 - r3C12C12c9c； ? c；c；c3? c3r3 c3C12 C12G3?G r3 - r3 C12 C12工？ J! 巨？旭 您？竺 J!? J07056 = 0 146220 . 220 220 . 220 220, 220 220, 220220' 220 一 .由贝叶斯公式1680p(a；/b)=POPB/AL 220' 220 = 0238P(B)7056220' 220解：设Ai,A2分别表示甲、乙击中目标，由题意知Ai,A

12、2相互独立。(1 P(AA2)= P(A)P(A2)= 0.8? 0.9 0.72(2) p(aAuAa2)= p(A.2)+ p(AAD=P(A)P(A2) + P(A)P(A2) = 0.8? 0.1 0.9? 0.2 0.26(3) P(AiA>)= 1- P(A3)=1- P(A)P(A2)= 1- 0.2? 0.1 0.98(4) P(AA)= P(A)P(A) = 0.2? 0.1 0.021-19P(AB)P(B)0.85解：与 1 10 题类似。P(B| A)= -= = =0.9239P(A)P(A)0.921-20解法1:设Ai =3000小时未坏, (i =1, 2

13、, 3), A, A, A相互独立，所以(1)P(AA2A3)= P(A)P(A2)P(A)= 0.83= 0.512(2) P(AA2A3U aA2A3U Aa2A3)= 3P(Ai)P(A2)P(A3)= 3创0.82 0.2= 0.384(3) P(AA2A3U AA2A3U A'A U&A2A0 = 0.512+ 0.384 = 0.896解法2:这是n重贝努里概型，Pn(k)= Ckpk(1- p)n-k, n = 3, p =(1)Pn(k= 3)= Ckpk(1- p)n-k= C；(0.8)3(1- 0.8)3-3= 0.512(2) Pn(k = 2) = C

14、：pk(1- p)n-k = C；(0.8)2(1- 0.8)3- 2 = 0.384(3) Pn(k? 2) R(k= 2)+ Pn(k= 3)= 0.512+ 0.384 = 0.8961-21解：这是贝努里概型，Pn(k) = C：pk(1- p)n-k, n=12, p=712事件设A = >9台同时使用P(A) = ? R(k)? 0.4925k = 91-22解：(1)为贝努里概型，设Ai=第i个人的血型为O型, (i=1, 2, 3, 4, 5),则恰有2 人血型为。型的概率为R(k= 2) = Ckpk(1- p)n-k = C；p2(1- p)5-2= 10创0.462

15、 (1- 0.46)5-2 = 0.3333(2)设81=第i个人的血型为 A型, (i =1, 2, 3, 4, 5),3 _2因P(AA2A3B4B5)= P(A)P(A2)P(A3)P(B4)P(B5)= 0.46 ? 0.40而5人中有3人为O型、2人为A型的排列有C5 10种，故所求概率为P= C；0.463? 0.4020.1557(3)设Ci = 第i个人的血型为AB型, (i=1, 2, 3, 4, 5),则没有AB型的概率为P(CiUC2UC3UC4UC5)= P(C；C；C；C；C；)= p(C；)p(C；)p(C；)p(C；)p(C；)=(1- 0.03)5 = 0.85

16、871 23*解：设Ai=第i次摸到黑球 , (i=1, 2,，a+b),由题意知P(A) =a+ b,P(A)=ba+ bk= 2 p(A2)= P(AUA)4)= p(AA2)+ P(AA)= P(A)P(A?/A)+ P(A)P(4/A)= _? a-1=？ a 3a+ b a+ b- 1 a+ b a+ b- 1 a+ bk= 3 p(A3)= P(AA)+ P(*)= P(AA2%)+ P(AAA)+ P(A*)+ pR)=P(A)P(A2/A)P(A3/AiA2)+ P(Ai)P(4/Ai)P(A3/AA2)+ p(A)p(A2/A)p(A/AA2)+ p(a)p(A2/A)p(A

17、/AA2)q创a+ b a+ b- 1aa+ ba+ b-a- 2 +a+ b- 2a- 1 +a+ b- 2_b_ 包aa+ b a+ b- 1b b- 1仓Ja+ b a+ b- 1a- 1a+ b- 2a _ aa+ b- 2 a+ b依此类推可得P(Ak) = a, (1#k a+ b)a+ b1 24*解：设Ai=第i次按对号码 , (i =1, 2, 3),所求概率为P(AiUAiA2U AA2A0= P(Ai)+ P(AA0+ P(AA2A3)=P(A)+ p(A)p(A2)+ p(A)p(A2)p(a)19 c 19 a8 13=+ ?创一=10 10 9 10 9 8 10若

18、已知最后一位数为偶数，则其概率为P(A1UA1A2U A1A2A3)= P(A1)+ P(AA2)+ P(A1A2A3)=P(A1)+ P(A)P(A2)+ P(A1)P(A2)P(A3)-1+ 4? 1+5 5 41 25*解：设A= 从甲袋中取一白球, B= 从乙袋中取一白球,由已知得P(A)-P(A)-由全概率公式得P(B) - P(AB)+ P(AB) - P(A)P(B/A)+ P(A)P(B/A)N o n+ 1 M o n? ?M + N m+ n+1 M + N m + n + 1_ Mn + N(n+ 1)(M + N)(m+ n+ 1)1-26*证明：;P(B)- P(AB

19、)+ P(AB)- P(A)P(B| A)+ P(A)P(B| A)-P(A)P(B | A)+ P(A)P(B| A) - P(B | A)P(AB)- P(A)P(B |A)- P(A)P(B)故由定义知，A,B相互独立1-27*解：设Ai = 甲在第i次射中, Bi = 乙在第i次射中,由已知，P(Ai)-p 1,P(Bi)-p 2 甲射中的概率为P(A1UAB1A2UAB1A2B2A3UL )- P(A)+ P(A1)P(B1)P(A2)+ P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3) + L-? P1(1- P1)k(1- P2)k -k- 0P1- (1- p1)(1- p2

20、)同理，乙射中的概率为P(A1B1 UAB1A2B2UL ) - P(A1)P(B1)+ P(A1)P(B1)P(A2)P(B2) + L-? (1-k- 0kkR)p2(1- p1)(1- p2)p2(1- R)1- (1- p1)(1- p2)1 28*解：Ai =甲在第i次投中, Bi =乙在第i次投中, (i =1, 2, 3),由已知P(A)= Pi = 0.7, P(Bi) = p2 = 0.6。甲、乙投中都是贝努里概型0,1,2,3)甲：P3(k) = C； p1k (1- pi)3- k (k= 0,1,2,3)；乙：P3(m) = C3npim(1- p1)3m (m =二人

21、进球数相等的概率为P(k = 0,m= 0U k = 1,m = 1Uk = 2,m = 2 U k = 3,m = 3)=P(k = 0,m= 0)P(k = 1,m= 1)P(k = 2,m = 2)P(k = 3,m = 3)=P(k= 0)P(m= 0)+ P(k= 1)P(m= 1)+ P(k= 2) P(m= 2)+ P(k = 3) P(m= 3)二(1- R ) (1-p2)+C3 P1(1-p1)C3|p? (1-p?)+ C3 p1(1-p1)C3 P2 (1-p2 ) +R p2=0.027? 0.064 0.189? 0.288 0.441? 0.432 0.343?

22、0.216=0.32076概率论与数理统计(刘建亚)习题解答一一第二章2-1 解：不能。因为(1)P(X1 = - 1)= - 0.5< 0; (2) ? P(X2 = X) = 0.85? 0。2-2 解：X3451/103/106/1023 解:取法：n= C；, X的取值：0, 1, 2, 3。所以P(X =k g4- kC32MC；5X012333/9144/9166/4554/455(k= 0,1,2,3),分布列为2-4 解:由概率的规范性性质? P(X= k)=1,得:NN(1)遛P(X=k)= a = 1; a= 1k= 1k=1 N、Za(2)通 P(X = k)=-f

23、= a= 1; a= 1k=1k=1 225 解:(k 1.2,L L )15(n 1.2,L L )P(X =偶数)=遛 P(X = 2n) =k=12-6 解:X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36八 1,1P(X ? 4)1P(7 #X 10)= 2 o622-7 解：n重贝努利试验，XB(20, 0.1)解法一：(1) P(X = 3)= C30P3(1- p)17= 0.1901;(2) P(X ? 3) 1- P(X ? 2)1- P(X = 0)- P(X = 1)- P(X = 2) = 0.32

24、31 ;(3)最可能值：k= (n+1)? 0.1 2； P(X = 2) = 0.2852。l k解法一：利用泊松止理，P(X = k)蛆一 e (k = 0,1, L L ) , l = np = 20? 0.1 2k!，八23 -2(1) P(X = 3)= e = 0.1804 ;3!(2) P(X ? 3) 1- P(X ? 2)1- P(X = 0)- P(X = 1)- P(X = 2) = 0.3233(3)最可能值：k= (n+ 1)? 0.1 2； P(X = 2) = 0.27072-8 解：1X B(n, p), n = 730 > 10, p = < 0.

25、1 ,令 l = np = 2365l k由泊松定理知P(X = k)蛆一e l (k= 0,1,L L )k!P(X ? 2)1- P(X ? 1) 1- 3e-2 = 0.5940。29 解：X B(20, 0.2), P(X= k)= G0pk(1- p)10-k (k= 0,1,L L )P(X ? 4) 1- P(X? 3) 0.1209210 解:X B(100, 0.01), Q n= 100> 10, p= 0.01 < 0.1l = np = 1近似看作 X P(l ),设同时出现故障的设备数为X, N为需要的维修工数，由题意P(X > N)< 0.0

26、1 ,故P(X > N)= 1- P(X ; N)N . k/、4 l - l1 - 遛 Wek= 0 k!丫 l k k= N+ 1 k!le 1V 0.01查泊松分布表得 N+1 =5,即 N = 4。2-11 解:X B(50000, 0.0001) l = np =5k - 5=5?e 5k!(k 0,1,L L )k泊松定理知Pn(X = k)蛆1 elk!_5° -5- -3P(X = 0)蛔4 e = 6.738? 10kP(X < 5) = 1 - P(X 林B5) 1- ? e-l = 1- 0.5595 k=5 k!2-12 解:X - P(l ) l

27、 = 4 k k l - ll - l一(1)P(X = 8)= P(X ? 8) P(X ? 9) 遛一e -e = 0.02973k! k=9 k!k .(2) P(X >10)= ? e l = 0.00284 k= 11 k!213 解：+ ?11(1)由概率的规范性1 =蝌 f(x)dx = cxdx=c,得c =2;0.7(2)P(0.3< X < 0.7)= 2xdx= 0.4;a1(3)由题意知 Xt0#a 1 有峭2xdx= 2xdx得 a2 = 1- a2a = 1/72x(4)分布函数定义式：F(x) = a f (t)dt J?当 x< 0 时，

28、F(x)= 0 ； x当 0? x 1 时，F(x) = 0+ 耳 2tdt=x2;当 x3 1 时，F(x)= 12-14设随机变量X的概率密度为x?0,1x? 3,6 other2右k使得P(X ? k)-,则k的取值范围是多少？32 + ?解：由题意知一二P(X ? k) f(x)dx3 k-"+?1 1. 62212当 x<1 时，P(X ? k) 悚.f (x)dx= -dx+0+? -dx+0=- + -(1- k)>-;刊订k 33 9333当 x>3 时，P(X ? k)所以，当1 #x 3时,+ ?蝌 f (x)dx =6222-dx+ 0= -(

29、6- k)< - o k 993P(X ? k)+ ?蝌 f (x)dx = 0 +622dx + 0 =-3 93215解：由概率的规范性+ ?1c1=蝌 f(x)dx= 0 田一711k 11P(X ? 2)o1p?X=7d22p I- x216 解：(1)当 x< 0 时，f(x) =当 x> 0 时，f(x) =当 x = 0 时，F '(x)p21x = sint ? cdt = cpc = p2p1(p+p)= !p 6 63F '(x) = 0 ;F '(x) = e- x ;己在，且 F '(0) = 0, f (0) = 0f

30、 (x) =?e-x?0Ix> 0x£0(2) P(X ? 4) 4_一F(4) = 1- e 4 , P(X > 1)= 1- P(X ? 1) 1- F(1) =2-172182192-20 解：X e(l ) l = 0.1+ ?(1)P(X ? 10)& 0.1e-0.1xdx= e-1- 0= 0.3678820(2)P(10#X 20)= a 0.1e-°,xdx= e-1- e-2 = 0.23252-21 解： _2X N(160, 0,06 ) (0.05? 0.12) m? 2sP(X- 0.05 > 0,12)= 1- P(X

31、- m? 2s)=1- P(m- 2s # X m+ 2s)=1- 0,9545=0.04552-22 解：XN(160, so)200- m 120- m、P(120 # X 200) = F () - F ()s0s。=F(生)-F(- 40)= 2F (40) - 1= 0.8s°s°s°F(40)=0.9,查表得 40 ? 1,28 得 s0 ? 31.25 s°s0223224 设随机变量X N(3,22) o(1)求 P(2< X ? 5), P(| X | 2);(2)确定 c,使得 P(X > c)= P(X ? c)；(3)

32、设d满足P(X > d)? 0.9 ,问d至多为多少？解：(1)(2)由条件 P(X > c)= P(X? c)得P(X c) 1 - P(X >c)-1- P(X c), P(X , c) 0.5已知 X N(3, 22),图形关于x= m(= 3)轴对称，即P(X ? m) 0.5(3)2-25226* 证明: X 服从几何分布，P(X = k)= qk-1p (q = 1- p, k = 1,2,L L )P(X = n+ k |X ? n)P(X = n+ k)n+k- 1q pP(X ? n)1- ?k=1k- 1q pn+ k- 1q p1p(1+ q + L q

33、n- 1)n+ k- 1k- 1=q p = P(X = k)q pn.1- q1- Pt1- q2-27* 略。2-28 解:(1)Y= 2X+1-3-1135P (Y= yi)1/101/51/41/41/5(2)Y= X2014P (Y= yi )1/49/203/10229 解：?10 # x 1f(x)=?0其它I_ _yy = - 2ln x, (0 # x 1) ? x g- 1(y) = e 2, (0< y< + ?),-11 -2yg (y)= - 2e2-30 解:y -2-e0 #x其它3时，x- 3=鞭yg- 1(y)'二玩1 j (y) = e-

34、 (1+ 1)=-63当y为其它时，j (y) = 0,综合得j(y)=?3§0其它2-31 解:(1) y = 2x2 +1? (y1) g-1(y尸？，y21 g-1(y)'?22(y- 1)1(y)=、宗12(y-=1)+ 2：2(y-=1)21p(y-=1)ey-1丁当y £1时-yy-1(2) y =雍(y0)1- 1-(y)=?y, g (y)'?1当y> 0时(y) =1 -2p e2 (1+1)=当y £0时j (y)= 0, 综上得j (y) =另一解法:FyW)= P(Y? y) P(X ? y)?P(-?0Iy)y? 0

35、y < 0而 P(- y # X y)=12Pe 2dx =yFe- p ,0fy(y) = Fy ( y)=232* 解：fX(x)dx=当 k = 4n- 1 时，Y= 1;当 k = 4n- 2 或 k = 4n 时,Y= 0；当 k= 4n+ 3时，Y= -1 oP(Y= - 1)=遛 P(X = 4n- 1)=n= 112- -4n-1”n= 1215P(Y= 0)=遛P(X = 4n- 2)+ P(X = 4n)=n = 1P(Y= 1)=遛P(X = 4n- 3)=n= 1j=1n=1 24n-224n3Y的分布列:2-33*略。1 二 8n=1升 - 15Y-101P2/

36、151/38/15概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答一一第三章3-1 解:P(1< X ? 2,3 Y? 5)F(2, 5)- F(1,5)- F (2, 3)+ F(1,3)= -1283-2 解:-121/80001/41/83-3 解:3-4 解：X的取值：3, 4; Y的取值：1, 2。所以C4- jC jP(X= 4- j,Y= j)= - (j = 1.2)C53-5 解：(1)由归一性+ ?娟 ？ f (x, y)dxdy= 00 Ae-(3x+4y)dxdy= Ajj|. e-3xdx 0 e-4ydy=而=1A =12(2)当 x> 0, y> 0

37、时x yx yF (x, y)=蝌 ？ f (u,v)dudv= 12蝌 ° e- (3u+4v)dudv= (1- e-3x)(1- e-4y)当 x, y为其它时，F(x,y)= 0F (x, y)=?(1- e-3x)(1- e-4y) ?0x> 0, y> 0其它12(3)P(0< X ? 1,0 Y? 2)12斛 ° e- (3x+4y)dxdy= (1- e- 3)(1- e 8)36A(B+今(C+ E)=1解：由分布函数的性质F(+? , ?)八ylim A(B + arctan)(C + arctan)=x? ?23F (- ? , y)

38、 lim A(B+ arctan-)(C + arctan) = A(B- )(C + arctan) = 0 x? ?2323xyx p _F(x,- ? ) lim A(B+ arctan )(C + arctan) = A(B + arctan )(C + ) = 0 y? ?23221三式联立解得A二,Pf (x, y)=?2F(x,y) 一 工皇2p 1+山2C- p , C-31-J-Y)222p2 (4+ x2)(9 +y2)37解:P(X + Y? 1)1 2蝌 f (x, y)dxdy =蝌x+ y? 11- xe- ydxdy = 1 +2e38 解：(1)当 0<

39、x< 1 时fx(x)二域 f(x, y)dy- 0 (x2 + V丫 - 2x2 + ： x当 x 3 0m£ x 1 时，: f(x,y)- 0 . . fX(x)- 0?2x2 + -x0< x< 1fx (x) - ?3?0其它+ ?1 O xv 11(2) 当0 < y < 2 时，fy(y)-蝌 f (x, y)dx - (x + )dx - - y + -?0363当 y 为其它时，; f(x,y)- 0 . . fY(y)- 011 , 1 y_ y+fY(y)=?6y 3乡00<y< 2其它39解：所包含的面积为Sd 二蝌

40、x2 1dxdy?0 (x-2、，x )dy =-6钝（x,y）?Df（x,y尸？0其它X22 6dy = 6(x- x )x+ ?(1)当 0#x 1 时，fX(x)=蝌 f (x, y)dy =当X为其它时，fx（x）= 0. 一、 ?6(x- x2)0 #x 1- fx(x)=?0其它Iy y6dx= 6(, y- y)+ ?(2)当 0#y 1 时，£丫(丫)二蝌 f (x, y)dx =当y为其它值时，fY（y）= 0fY(y)=a-y)0 # y 1其它(1)当 0Vx<1 时,x1dy = 2x x3-10 解:+ ?fx(x)=j f (x, y)dy =当x为

41、其它时,fx(X)= 0或x- fx(x)=?00< x< 1其它(2)当 y < x< 1 时,+ ?fY (y)=蝌 f(x, y)dx11dx = 1- yy当y为其它值时,fy(y) = 0y < x< 1其它 一、?1- ly fY( y) = J?0(3)fxiY(x| y)=f(x,y) _fY(y)y < x< 1其它fYix (y I x)=0< x< 1其它3-11 略。3-12 略。3-13解：由归一性+?112A蝌 ? f (x, y)dxdy=蝌 o Axy dxdy = = 1 A= 6+ ?1当 0<

42、;x<1 时，fX(x)=蝌 f (x,y)dy = 06xy2dy=2x当x为其它时，fx(x)= o?2x. fx(x)=?0同理,?3y2 fY(y) = ?0Ifx(x)?fY(y)?6xy2?0I0< x< 1其它0< y< 1其它0< x, y < 1其它即fx(x)?fy(y)f(x,y), ；x, Y相互独立3-14解：x, Y的边缘分布分别为pi.1/31/3+1/a+1/bY1231/21/9+1/a1/18+1/b若 X, Y相互独立，则 P(X= i, Y=j) =P(X= i) P(Y =j)P(X=1, Y=2)=P(X=1

43、) P(Y =2) ? 1/9=1/3(1/9+1/a)? a=9/2 ;P(X=1, Y=3)=P(X=1) P(Y =3) ? 1/18=1/3(1/18+1/b)? b=9。X, Y的边缘分布分别为：X12Pi.1/32/3Y1231/21/31/6因 X, Y相互独立，则 P(X= i|Y =1) = P(X= i)所以 P(X =1|Y =1) = P(X=1) = 1/3 ; P(X=2|Y = 1) = P(X=2)=2/3。褪(x+y) x> 0,y> 0?0其它3-15 解:(DX, Y相互独立，f(x,y)= fX(x)?fy(y)(2) . X, Y相互独立,

44、二 P(X ? 1|Y 0)= P(X ? 1)11蝌 fX(x)dx= 0edx= 1- e-1316 略。3-17 略。3-18 解:.+ ?X, Y相互独立，f/z)= 0? fX(x)fY(z- x)dx当 z3 0时，fZ(z)= x1 a "ae?-e23z- xzz-3 dx e 3(1- e 6)当 z< 0时,fZ(z)= 0)z? 0z< 0fz(Z)= 3 3(1- e 6)?0 I319 解：+ ?fz (z) = 0? fx(z- y)fY(y)dy由已知条件 当 0? z y? 1 时，即 z- 1 # y z时，fx(z- y)? 0 ;当

45、y> 0时，Fy(y)1 0(1)当 z< 0 时，由 0? z y?1 得 y?z 0 /. fz(z) =(2)当 0?z 1 时，由 0?z y? 1 及 y> 0 得 0< y? zzfZ (z) = 0 e- ydy= 1- e-z(3)当 z3 1 时，由 0? z y? 1得 z- 1< y? zfZ (z) = © e- ydy= e- (z-1)综上得fZ(z) =?1- e-z?e- (z- 1)z< 00? z 1z? 1320解：略321 解:当 x< 0时，FX(x)= 0;x当 x3 0时，Fx (x)=蝌 fX

46、(t)dt =x-at i. /- axae dt = 1- e0Fx (x) =砌-e-ax?0Ix? 0x< 0如 e-by 同理，FY(y)=30y? 0y< 0(1)用联，寿命取决于最短的，Z= min(X,Y)当 Z<0 时，Fmin(Z)=0当z3 0时,Fmin (Z)=1-1- Fx(z)1- Fy(z)=1- e(a + b)z?1-Fmin=?。I-(a+ b)z ez? 0z< 0fmindFminQ)" 第 m z? 0z< 0bz)z? 0z< 0(2)并联，寿命取决于最长的，Z= max(X,Y),同理得?ae- fma

47、x(z) = Fmax(z)=缶I匚 /»_?(1- e-az)(1- eM ) - ,。+ be-bz- (a+ b)e- (a + b)z z? 0z< 0概率论与数理统计(第二版.刘建亚)习题解答一一第四章4-1 解：E(X)= 1? 0,25 2? 0.4 3? 0.2 4? 0.1 5? 0.05 2.342 解： 由 D(X)= E(X2)- E(X)2 得E(X)E(X2)D(X)X5025011X?5025022. D(X 1)<D(X2),用甲法测定的精度高43 解：X0123PE(X)=, E(X2)=, D(X)=, D(X) 1/2 =4-4 解:

48、不E(X)二E稿等11EX- E(X)= E(X)- E(X)= 0 . D(X). D(X)D(X )= E(X )2 - E(X )2=E(X )2= E 型-E(X)121EX- E(X)2 =D(X)= 1D(X)D(X)4-5 解:+ ?E(X)=蝌 xf (x)dx =1 x1 p 11-+ ?E(X2)=蝌 x2f (x)dx =2x2 xdx= 0p 1- x2dx= ?12x2 .0p，一 dx2 xpp金婚2sintdx = p 02(1- cost)dx=-221D(X)=E(X)-E(X)=-46 解:+? IllE(X) = xf(x)dx= ? x?e xdx+ ?

49、1?D(X)=EX- E(X)2=蝌(x-0)2?exdx° x2e-xdx ;,+ ?, + ?=-x e- x 0 + 2蝌 xe- xdx = - 2xe- x o + 2 ° e- xdx= 24-7 解：令a,贝 = 1- p , a =1 + a 1 + a1- p=p(1-)=p(1- p)dpHpk强、急d k p)喈 d?(p遛 k?(1 p)pk = p(1-k- 1p) kpk=1小 、d w 1/粉。、d 砺Me，人 、c 1p二p(1- p41V 僧 p(1- p)gG? p(1- p)?T77 rr a=p2(1-E(X2)=遛 k2P(X =

50、k)=k= 0p(1- P)? k(k-k = 1=p(1-=p2(1-1)pk-1+ kpk-1 = p(1- p)k=12p)32遛京2(")+k= 2 QPk2p j+ a= a+ p (1-p)J (1-a=2 壮?2 a=2a2 + a 称-p -k- 11)+ kpk- 1kpk= 1D(X) = E(X2)- E(X)2 = 2a2 + a- a2 = a2+ a48证明：设X为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x)。+ ?(1) E(aX + b) = (ax+ b) f (x)dx= a ? xf(x)dx+b? f (x)dx= aE(X) + b22222222(2) D(cX) = E(c X )- E(cX) = c E(X )- c E(X) = c D(X)。4-9证明：_ 、 2 2D(X) = E(X-