比和比例应用题

1、课题五比和比例应用题比和比例在统计、测量、绘图、实验、建造、计算等等方面有着广泛的应用。反映在考试当中，工程问题，行程问题，按比例分配，解比例，比例尺，正比例和反比例的其他应用都可能对本部分知识有所涉及。比和比例 的知识是初中数学中一次函数、反比例函数、相似图形等课题的知识基础，属于重点知识。作为小学数学最后一个知识模块，同学们接触不久便将其应用于解决实际问题存在一定的困难，同学们更熟悉的是分率计算、算术法解题。但正如上面所讲，很多实际问题中用到了比例的思想，建议同学们在学习时，将分数与比的思想多比照，多联系；在应考之前，再次把六年级数学书上册的“比和比的应用”及下册的“正比例和反比例的意义”

2、、“比例的应用”等内容贯通在一起复习一遍（包括思考课后习题），将人教版课本和北师大版课本互相参照地复习，着重从课本上简单而熟悉的例子中体悟比和比例的思想，以更好地应用于解决问题。做练习时需要注意以下三个方面：一、学会运用比和分率的联系解题及将比看成“份数”解题。另外，填空题或应用题求比是多少时，一定要 化成最简整数比（比的前项和后项化成互质的整数），要理解最简比（比是两个数量之间的一种关系）和比值（比值是一个数）之间的区别。二、能够根据题意找出成比例的量，并建立比例式，解比例得到答案。注意理解成比例的量是变化的量。三、通过成比例将一种量的比转化成另一种量的比，这是解决问题的关键思想。如匀速行驶

3、的两辆汽车同时出发，其速度比等于路程比（成正比例）；如工程总量一定，工作时间与工作效率成反比，如在一个题目中，知道甲工作3天完成的任务等于乙工作两天完成的任务，则二者的工作效率比是2: 3 （自己推导一下），如果再有二者的总工作量都相同，工作的总时间比是3: 2;侧面积相等的两个方柱，其底边长与高成反比，底边长乘高等于（侧面积+ 4）,从而结合其他已知条件计算两方柱体积比；再如一类典型的按比例分配的题目，一个零件的 两道工序，专做第一道工序的每人每小时可完成4个，专做第二道工序的每人每小时可完成5个，现工厂里有36名工人，如何分配，我们可以用以下思路解题：每道工序所占用的工时比等于每道工序所分

4、配的人数比（成 正比），第一道工序占用每人 1小时，第二道工序占用每人1小时，1 ： 1=5: 4,从而人数的分配也是5:45454。知识纲要如下 （看完书再看以下内容）：1、比、分数和除法之间的联系与区别：比分数除法联系前项被除数比号（：）分数线（）除号( -=-)后项*口）分母1H。）除数1f口）比值分薮值商a a: b =abb区别意义表示两个数相除一种数一种运算形式或 T社ba-=-b读法a比匕b分之a券以b （或b除&2、比和比例的基本性质比表示两个数相除的关系；比例表示两个比的关系。任意两个数都能组成比，但任意四个数不一定能组成比 例。各部分名称基本性质网个数相除又叫例1

5、:4=0.25两个数的比，它1;F1，比的前项和后项都前比后比乘以或除以相同的数一股包名两神情况：项号项值7除外J比值个变，1）两个同类量相比.11Q也可以耳成1.-21即工比其比值表示两个敷量比的前项除以后项a: b= (a X jn) e Cb X m)尚的怡物关系或分率所得的商叫做比值，其中jtlR 02）不同类的两个量相比值是一个数，可以应用比的基本性质，比，其比值代表一种舄成分数或小数的形可以化简比新的数量式当可以化成整效时，要化成整数在比例中，两个外项表示网个比相簿的式粗成比例的四个政的被等于两个内项的比子，叫做比例L组成叫做比例的项羽。艮降比例的四个教，都不5t : P =C：:

6、1若a:b= c: tL 则例能是0）1ad=bc一外项一应用比例的基本性质.可判断两比是否成比例根据比和比例的基本性质，我们还可以推导出，如果 a:b=c:d（a、b、c、d四个数均不为0）,那么b:a=d:c ;a:c=b:d ; c:a=d:b,例如，3: 5=15: 25,则 5: 3=25: 15;3 : 15=5: 25;15 : 3=25: 5,同学们开动脑筋想一下，如果a:b=c:d,则c=a x m,而d=bx m,也就是说c和d是a和b扩大或缩小了若干倍得到的，自然也就有 了比例的基本性质 ad=ax bx m=ax mx b,以上推论也是据此得出，在学习时，同学们要注意前

7、后知识点的联系，重视思考过程，懂得活学活用。3、化简比的方法:（1）根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘以或除以同一个数（0除外）进行化简。（2）把前项除以后项所得的比值，改写成最简整数比。注意：有单位名称的同类量的比化简时，要先化成相同的单位，然后再计算。4、解比例的方法：已知比例中的任意三项，根据比例的基本性质，可求出其余的一项（未知项），注意写成以下形式时，用交叉相乘法：4筮是两个内项相乘:日是两个外项相乘，4x=5X5。5、判断两个比是否可以组成比例的方法:（1）分别求出两个比的比值，如果比值相等，就可以组成比例；（2）将两个比都化简成最简整数比，如果得到的最简整数比相同，则可以组成

8、比例；（3）假设两个比能组成比例，那么两个内项的积和两个外项的积一定相等。如果积不相等，则说明假设不 成立，也就不能组成比例。6、正比例和反比例：正 比 例反 比 例意义相同点两种相关联的量，种量变化，另一种量也随着变化不同点两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定两种量相对应的两个飘的枳一定关系式=k（k 一定） 第（k -'定）判断正、反比例时，先分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。根据两种相关联的量与那个一定的量列 出数量关系式。两种相关联的量之间的关系若是商一定，则成正比例关系，若是积一定，则成反比例关系，若商 和积都不是定量，则不成比例。一些常用的正比例和反比例：1图

9、形问题中，例如三角形，面积一定，底和高成反比例；底一定，面积和高成正比例（注意：二二二底局 2边长）；高一定，面积和底成正比例。又如圆锥的体积一定，高和底面积成反比例；底面积一定，体积和高成正比例（注意住？=1底面积）；高一定，体积和底面积成正比例。高 3在工程问题中，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例；工作时间一定，工作总量和工作效率成正比例。2天完成，乙则要超过规定时间3天完成。例：（1）加工一批零件，若单独做，甲可比规定的时间提前 如果甲乙两人合作 2天后，剩下的由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。规定完成的时间是多少天?解题思路：根据条件

10、可知，甲工作两天完成的零件数是乙工作三天完成的零件数，也就是说工作量定时，甲乙的工作时间比是2: 3。单独做，甲、乙各自所需的天数的比与2: 3成比例，若设规定时间是x天，则甲的工作天数是（x-2）天，乙的工作天数是（X+3）天，则有： x 2 =2 ,解得规定完成的x 3 3天数x=12（2）小张单独加工一批零件会比规定时间晚三天完成任务，王师傅帮小张做了两天，恰好在规定时间完成，现在若有150个零件需要加工，让小张和王师傅同时开始做同时完工，应如何分配？解题思路：根据已知条件，王师傅工作两天完成的零件数是小张工作三天完成的零件数，即加工相同个数的零件，王师傅与小张所需的时间比是2:3,也就

11、是说，工作量相同时，王师傅所需时间是小张所需时间的 2 ,工作量一定，工作效率与工作时间成反比，则王师傅的工作效率是小张工作效率的3（2 x323X 3 y=k,k为相同的工作量，x为工作天数，y为工作效率），两人工作效率比为3: 2（1:-）如此可22按两人的工作效率比将工作总量“150个零件”进行分配，应分配给小张零件数：150+ （ 2+3） X 2=60 （个），应分配给王师傅零件数：150-60=90 （个）解题过程：由题意知：加工相同个数的零件，王师傅与小张所需的时间比是2: 3,则王师傅与小张的工作效率比是3: 2。150 + （ 2+3） X 2=60 （个）；150-60=9

12、0（个）答：应分配给小张 60个零件，应分配给王师傅90个零件。在行程问题中：路程一定，速度和时间成反比例；速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速 度成正比例。例：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家 4千M的地方追上了小明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千M,这时是几点几分？解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线，虚线是同时间小明走的路线。从线段图中我们可以看出爸爸走了3个4千M的时间，小明只走了 1个4千M小明所行路程是爸爸所行路程的-,相3同时间内，路程与速度成正比，

13、则小明的速度是爸爸速度的1。34千M4千MAA - 1 i，、.“、fY'；：;1!N爸爸；I!1:'小明家第一次追上时离家 4千M第二次追上时离家 8千M我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度的 1 ,从爸爸第一次开始追小明到追3上小明的这段时间内， 爸爸行出4千M小明行出4千M的1 （同样是根据相同时间内，路程与速度成正比）3小明必须先行出4千M的3二11 =2 ,也就是说，小明用8分钟的时间先行出 4X 2 =_8千M。333 3小明先用8分钟时间走出4千M的2|小明爸爸进而我们求出小明的速度是8 +8=1千M/分钟，小明 8点8分从家里出发，到爸

14、爸二次追上小明时，小33明共行8千M 8+1=24分钟，从而求得第二次追上的时间是8点32分。3解题过程：4+ （4+8） =1 4X （1-1） = 8 （千附 8 +8=1 （千 M/分钟）333338+ 1 =24 （分钟）8+24=32 （分） 答：这时是8点32分。3在价格问题中：总价一定，单价和数量成反比例；单价一定，总价和数量成正比例；数量一定，总价和单价 成正比例。7、比例尺：图上距离：实际距离 =比例尺（图上距离 =比例尺）,为了计算简便，通常把地图上的比实际距离例尺的前项化简成“1”，精密零件的图纸， 实际距离很小， 一般是把比例尺的后项（实际距离） 化成“1典型习题：1、

15、用一条长108厘M的铁丝，做成一个长方体模型，要求长宽高的比为2:3:4,如果每个面都用铁皮包上做成铁盒，这个铁盒的表面积和体积各是多少？2、学校篮球场的长是 26M,宽是14M ,用1: 1000的比例尺画出这个篮球场的平面图，并求这个平面图 的面积。3、某种机器零件要经过三道工序，专做第一道工序的每人每小时可完成10个，专做第二道工序的每人每小时可完成5个，专做第三道工序每人每小时可完成4个。现有88个人怎样分配才合适？4、有一种零件，每个主件上要配两个附件，而且每个主件要分两道工序，装附件只需要一道工序。专做主件第一道工序的每人每小时可完成3个，专做主件第二道工序的每完成1个需要一个人2

16、小时的时间，专装配件每人每小时可装 4个配件。工厂里有 170个工人，每道工序应如何分工？5、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，三段的路程之比依次为1:2:3,王强走这三段路所用时间比是4: 5: 6。已知他上坡时的速度是每小时4千M,路总长 36千M。则王强走完全程要多少小时？6、甲、乙、丙三人同时从 A地向B地跑，当甲跑到 B时，乙离B地还有35M ,丙离B地还有68M ;当乙 跑到B时，丙离B地还有40M ,设甲、乙、丙的跑步速度都是匀速，则A、B两地相距多少千 M?7、甲、乙两种糖的单价比是4: 5,质量比是4: 1,把这两种糖混合成 100千克的什锦塘，单价为 8.4元,原来每种糖的总钱数各是多少元？8、制造一个零件，甲需要 6分钟，乙需要5分钟，丙需要4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配 给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每个人应该分配到多少个零件？9、加工一个零件，甲、乙、丙所需的时间比为6: 7: 8。现在有3650个零件要加工，如果规定 3人用同样