考研高数概率公式汇总

1、高等概率公式汇总3 u2第1页共21页高等数学公式导数公式：(tgx)(ctgx)sec x2 csc x(arcsin x)基本积分表:(secx) (cscx) (ax)(gx)tgxdxctgxdxsecx tgx cscx ctgxx Ina1xI naIn cosx CIn sin x C(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dxsin xsecxdxIn secx tgx CcscxdxIn cscx ctgx Cdx22a xdx22x a1 x-arctg -2a1dx22a x2aarcs indx2ln sinn xdxo、x2 a2dx2cosn xdxo

2、三角函数的有理式积分:2usin x 2 cosx1 u22 .a dx a2 x2dx 2a2x21r. 2X 1 X1J x211 x22sec xdx tgx Ccsc2 xdxcos xctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx Cxx a a xdxCIn ashxdx chx Cchxdx shx CIn2a2 2、 In(x x a ) C2 qa .; 22In x x a C2a x arcs inC2 a2du dx 222、高等概率公式汇总两个重要极限一些初等函数第13页共21页sin x .lim 1x 0 xlim(1 -)x e

3、2.718281828459045 x双曲正弦：shx双曲余弦：ch曲正切:thxarshx ln(xx x e e2 x x e e2 xxshxeechx/Jee x2 1)archx In(xx2 1)arthxllnl x三角函数公式?诱导公式：、函数角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 ° asin a-cos a-tg a-ctg a180 -a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin a

4、ctg atg a270 +a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 +asin acos atg actg a-和差角公式-和差化积公式sin()sin cos cos sincos()cos cos sin sintg(1 tg tgctg( )ctg ctg 1sinsin2sincos2 2sinsin2 cos sin2coscos2 cos cos2 2coscos2 sinsin 2?倍角公式sin 2cos2ctg2tg22si n cos2cos21 1 2si n2ctg212ctg 2tg 222cos

5、 sinsin33si n号cos34cos 3n 3cos.3tg3 3tg tg-半角公式:sin 一2tg2岳1 cos21 cos sinsin 1 cos2) ctg-1 cos21 cos1 cos-正弦定理:sin Asin Bc 2R sin C-余弦定理:1 cos sinsin 1 cos2b 2abcosC-反三角函数性质:arcsin x 一 arccosx2arctgx arcctgx2高阶导数公式来布尼兹 ( Leib )公式：nizn(n)k (n k) (k)(uv)CnU vk 0(n)(n 1) n(n 1) M (n 2)n(n 1) (n k 1)中 才

6、 k!u v nu v 2! u v中值定理与导数应用：/f ()(b a)拉格朗日中值定理：f(b) f(a)柯西中)值定理：，也一型口F(b) F(a) F (当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率：弧微分公式：ds 1 y 2dx,其中y tgs： MM弧长。平均曲率：K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变化M ;M点的曲率：Klimss|dds.(1 y2)3宜线：K 0；半径为a的圆：K定积分的近似计算:一bb矩形法：f (x)yn 1)ab法：f (x)a梯形(y。y1 na 1C (yon 2yn)抛物线法:bf (x)ab a3n( Yyn)定积分应用相关公式：

7、yi2(y2 y4yn1Yn 2) 4(yi y3y 1)引力：F函数的平均值：yf(x)dx功：W F s水压力:为引力系数2f (t)dt均方根: 空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d M iM 2.(X2X12(y2 yj2 2(Z2 z)向M在轴上的投影：Prju(ai a?) Pr ja iPr ja a b cosPr ju AB2AB| cos，是AB与u轴的夹角两向M之间的夹角：cabaxbxaybyaxbxaybyazbz,是一个数M）cosazbz向M的混合积：abc （a代表平行六面体的体积平面的方程:点法式：A(x Xo )2、般方程:3、a2 2 ayaa b

8、sinb) c(y y )Ax By Cz D 0bxayby azba/ . bx2.例:线速度:22bybzaxbxaybyazbzb | c cos ,为锐角时,CyCzC (z zo)截距世方程:abc平面外任意一点到该平面的距离:空间宜线的方程：m n二次曲面:1、椭球 面：.2b0,其中 n 代 B,C, M o (x , y ,Z。)d i Ax0- b y0 Cz A dJA2B2C2三旦t淇中s m, n,p;参数方程：y yo ntPx xo mtz z pt2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面2x2p2y2qz, (p,q同号）双叶双曲面2x2 a2 x2 a多元函数微分法

9、及应用2y2 b2yb22令1c2吕1 （马胺 面）全微分：dz dx dy x y多元复合函数的求与法：全微分的近似计算：z dzdu udx dy dz x y zfx(x,y) x fy(x,y) y上z fu(t),v(t)dzdtz fu(x,y),v(x,y)当 u u(x,y), v v(x, y)时,dvdu dx dy x隐函数的求与公式:dx Xvdy y隐函数F(x,y) 0,dydxFx隐函数 F(x,y,z) 0,FyFxdx司+ (Fx) dFy y Fyydxx (t)FyFzFz隐函数方程组：F(x, y, u, v) G (x,y,u,v)J (1 G)(u,

10、v)FuFvGuGv(F,G)(x,v)(F,G)(y,v)微分法在几彳上的应用：空间曲线y (t)在点M (x°,y0,zo)冲z (t)在点M处的法平面方程：(F,G) (u,x)(F,G) (u,y)处的切线方程:(t)空(t(to)(to)(x X。)(to)(y y )(to)(z z)0若空间曲线方程为：F x, y, z)。则切向M TG (x,y,z) 0曲面F (x, y,z) 0上一点M(Xo,yo,z。)，则:过此点的法向M : n Fx (x)y ,z。) , Fy (x ,y。,z。)2、过此点的切平面方程 ：Fx(Xo,yo,z ) (x X。)z。3、过

11、此点的法线方程：方向导数与梯度Fz FzFxGz'Gz Gx'Gx,Fz (xFy (Xo,y ,Zo)(y y。)FyGy(x。)V。)z)Fx(xo, yo ,z。)Fy(x。，yo,zo) Fz(xo, y o,zo)(z高等概率公式汇总函数 z f(x, y) p(x,y)If cos - sinl xy其中为x轴到方向I的转角。函数 z f (x, y)在一点 p(x,y)的梯度:gradf(x,y) i jx y它与方向与数的关系是：-A grad f (x,y) e ,其中e cos i sin j ,为I方向上的 单位向量f是gradf (x, y)在I上的投影

12、多元函数的极值及其求法：设 fx(x ,y )fy(x , y )0,令：fxx(Xo,y )A, fxy(X ,y )B,fyy(X ,y ) C第14页共21页AC B2贝 U AC B2AC B20时，A 0,(x。)V。)为极大值A 0,(x。)V。)为极小值0时,无极值0时，不确定重积分及其应用： f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd DD22曲面z f (x, y)的面积A1dxdyD x yx (x,y)dM y (x,y)dD平面溥片的重心：x x 7vM(x, y)d ,M(x, y)dDD平面薄片的转动惯M：平面薄片(位于xoy平面)对于 X

13、 轴 lxy2 (x, y)d ,D对z轴上质点M (0,0, a), (a对于y轴0)的引力:x2 (x, y)dDF Fx,Fy,Fz,其中:Fx(x,y)xd32 2(x ya2/(x, y)ydFyD / 2(xFzfa2(x(x, y)xd柱面坐标和球面坐标高等概率公式汇总第17页共21页x r cos 柱面坐标：y r sinf (x, y, z)dxdydzF(r, , z)rdrd dz,z z其中：F(r, ,z) f (r cos , r sin ,z)x rsin cos 球面坐标：y r sin sin ,dv rd rsin2d dr r sin drd dz r c

14、osr(,)f (x, y,z)dxdydzF(r,)r2sin drd dF(r,o,)r2 sin dr重心：x 1x dv,ydv,-1z dv,其中M xdv(y2z2)W1'y/ 2 2、(x z )dv,Iz(x2 y2) dv曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：(t)(t)t )，则:f(x,y)ds f (t), (t)?Ldt (特殊情况:第二类曲线积分(对坐标的曲线积分广设L的参数方程为y (;),则：P(x,y)dx Q(x,y)dy P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dtL两类曲线积分之间

15、的关系：Pdx Qdy (PcosLLL上积分起止点处切向量的方向角。Q P格林公式：卜y )dxdy Pdx Qd婚林公式:当P y,Q x,即：卫一2时，得到D的面积：Qcos )ds 其中Q (Q - )dxdy和分别为y y平面上曲线积分与路径无关的条件:A dxdy -D2l:Pdx QdyLxdy ydx1、 G是一个单连通区域；如(0,0),应2、 P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏与数，且卫二-P。注意奇点, y y减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在-Q=一时，Pdx Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：y y(x,y)u(x,y

16、) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 xo yo 0。(xo, yo)对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y)1 z ； (x,y) z ： (x,y)dxdyDxyP(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy, 其中:R(x, y, z) dxdy Rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；D xyP(x, y, z) dydz Px(y,z), y,zdyd乙取曲面的前侧时取正号；DQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正号。D,z

17、x两类曲面积分之间的关索：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:高等概率公式汇总第39页共21页R)dvz Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Qcos图斯公式的物理意义一一通量与散度:散度：div通量：A ndsPQR,即：单位体积内所产生的流体质量，若xyzAn d s （Pcos Q cos Rcos ）ds,divRcos )ds0,则为消失因此，局斯公式又可写成：div Adv : A nds(-Q -) dxdy Pdx Qdy Rdz x y斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：（ 一）dydz（ ）dzdx y z

18、 z xdxdyzRRcos cos cosdydz dzdx上式左端又可写成：一一x y P Q空间曲线积分与路径关的条无件：i jk旋度：rotA 一x yzP QR向量场A沿有向闭曲线的环流量：xyzPQRQ P R Q Py z z x x yPdx Qdy Rdz A tds(n 1)n21是发散的 n常数项级数: 等比数列：1 q q2等差数列：2 3调和级数：-12 3级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）:设:limnun,则1时，级数收敛1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法:设:|计虹，则n U1时，级数收敛1时，级数发散1时，不确定3、定义法:sn U

19、1U2un;lim sn存在，则收敛；否则发 n散。交错级数U1U2 U3如果交错级数满足U4U n Un 1(或 U1 U2 U3,un0）的审敛法- -莱布尼兹定理:那么级数收敛且其和limUn 0'nU1,其余项rn的绝对值rn Un1。绝对收敛与条件收敛：u 1 U2 un ,其中un为任意实数;(2) Ui U2 U3un如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而 收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数:p级数1发散，而n12收敛;n1:Pnp . p（川收敛;n1时发散1时收敛幕级数:1 x x2x3对于级数(3)ao数轴上都收敛，则必存1

20、时，收敛于，1 x1 发散。时,上 一口，-一 一 口一人a2x2anX ,如果匕不是仅在原点 收敛，也不是在全/lx在R,使x R时收敛lx R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0 时，R -求收敛半径的方法：设 lim,其中an, an 1是(3)的系数，则0时，Rn an_时，R 0函数展开成幕级数f(n)(x0)(x x°)nn!充要条件是：lim R, 0nf (0) nxn!函数展开成泰勒级数：f(x)余项：RnX。0时即为麦克劳林公式：些函数展开成幕级数：f(X )(X Xo )f4x°八(x Xo )2 2!xO)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的f(x

21、) f(0) f (0)x fA(02x2(1 x)msinx x1 mx mAx22!m(m 1) (m n 1)、n!1 x 1)35Xx_3!5!2n 111)n(2n 1)!欧拉公式：ix e cosx i si nx三角级数：cosx或sin xix ixe e2ix ix e e2(an cosnxbn sin nx)n 1A* COs n,t Xsin nxcosnx任意两个不同项的乘积在sinnx,cosnxf(t) AoA sin( nn 1其中， aoaAo,an An Sin n/bn正交,性：l,sin x,cosx,sin 2x,cos2x '上的积分=0O

22、傅立叶级数:2(相加)62-(相减)121,2,3 f (x)bn sin nx是奇函数f(x) 。(an cosnx b nsinnx),周期n 1anf(x)cosnxdx (n 0,1,2其中bn f (x)sinnxdx (n 1,2,3111111 孑528223242H 1211122426224 12232承正弦级数：an0, bnf (x)sin nxdx余弦级数：bn 0, an f(x)cosnxdx0周期为2l的周期函数的傅立叶级数：0,1, 2f(x)an cos nx是偶函数aon xn x 由廿口f(x) -(an cos bn sin ),周期 212 n 1ll

23、i1n xan- f (x) cos dx (n 0,1,2 )其中1 11i1n xbn f (x)sin dx (n 1,2,3 )l il微分方程的相关概念 一阶微分方程：y f(x, y)或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy f (x)dx的形式，解法:g(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C 称为隐式通解齐次方程：一阶微分方 程可以写成3 f (x, y) dxy dy du du ,、 dx 设 u _L，贝 U u x , u(u),x dx dx dxx即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性

24、微分方程：矽 P(x)y Q(x) dx/当Q(x) 0时，为齐次方程，y Ce叫皿当Q(x) 0时，为非齐次方程，y ( Q(x)e "力口 &(x, y),即写成y的函数，解法:x一分离变量，积分后将一代替(u) uP(x)dxC)eu,2 贝努力方程：P(x)y Q(x)y n, (n 0,1) dx全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x,y)dy 0中左端是莫函数的全微分方程，即du(x,y) P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,其中：卫 P(x,y) , u Q(x,y) xyu(x,y) C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：曲 P(x)乎八，,、 f

25、(x) 0时为齐次dx2dx Q(x)yx ' f(x) 0 时为非齐二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：次(*) y py qy 0,其中p, q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2pr q 0,其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;2、 求出()式的两个根几上3、根据门，r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解:门，r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q 0)IAXl"2Xy &eC2e两个相等实根(p2 4q 0)y (C1 C2X) er1x一对共辗复根(p2 4q 0)Ai , aipJ4q p22, 2y e x

26、 (C1 cos x C 2 sin x)二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x) , p,q 为常数f(x) e XPm(x)型，为常数；f (x) e XR(x)cos x P n(x)sin x型概率公式汇总AA吸收律：AAAA (AB) AA1.随机事件及其概率(AB) AABA (AB)反演律:AB AnA瓦i 12 ?概率的定义及其计算P(A) 1 P(A)若 A B P(B A) P(B) P(A)对任意两个事件 A, B,有P(B A) P(B) P(AB)加法公式：对任意两个事件A, B,有P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B) P(A) P(B

27、)nnP( A)P(A)P(AAj)P(AAjAJ(1)n1P(AA An)i 1i 11 i j n1 i j k n3 .条件概率PB A 巴 B P(A)nP(A) P(AB i)P(B i) P(A B i)i 1i 1乘法公式P(AB) P(A)P B A (P(A) 0)P(AA2 An) P(A)P A 2 A P An AA2 (P(AA2 Am) 0)Bayes公式P(Bk A)P(ABQP(A)PBk)PABk)An 1P(Bi)P(A B)全概率公式4 .随机变量及其分布分布函数计算P(a X b) P(X b) P(X a)F(b) F(a)5 .离散型随机变量(1)0

28、 -1分布P(X k) p k(1 p)1 k, k 0,1二项分布B(n, p)0,1, ,n若 P ( A ) = p k kn kP(X k) C n p (1 p) , k* Possion 定理limnnpnlimC； ； pk(1 pn)nk nk!0,1,2, Poisson 分布 P()P(X k) e , k 0,1,2, k!6.连续型随机变量均匀分布U (a,b)f(x)0,其他0,x aF(x)(2)指数分布E()f(x)e x, x 00,其他F(x)0, x 01 e x, x 0(3)正态分布N ( ,2 )(x )21f(x) 一 、2F(x)(t)2e "