数列知识点总结及题型归纳

1、数列、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为 n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ；数列的一般形式：ai, a2, a3,an ,，简记作例：判断下列各组元素能否构成数列(1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2) 2010年各省参加高考的考生人数。(2)通项公式的定义：式就叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 31 1 1：1丄1 1如果数列,4,1，2，3，45数列的通项公式是an数列的通项公式是anan的第n项与n之间的关系可

2、以用一个公式表示，那么这个公n( n <7, n 丄(n N .)。nN ),说明： 玄餐表示数列，an表示数列中的第n项，an= f n表示数列的通项公式;I _1 n = 2k _1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= (-1)n='(kZ)；f n = 2k 不是每个数列都有通项公式。例如，1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,(3) 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N .(或它的有限子集

3、)的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1), f(2), f(3),f (n),通常用an来代替f n ,其图象是一群孤立点。例：画出数列an =2n 1的图像.(4) 数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大 小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,；S1(n = 1)Sn -SUn > 2)(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a

4、, a, a,(5) 数列 an的前n项和Sn与通项an的关系:2例：已知数列an的前n项和Sn =2 n 3,求数列an的通项公式练习：1 根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1, 3 , 5 , 722 _132 T2,342 _152 T4'5(3)11111*22*33*4，4*5(4)9, 99,999, 9999-(5)7, 77,777, 7777,（6）8, 88, 888, 8888 22 数列:an /中，已知an =- 匸n- N .）3（1） 与岀 ai, , a2 , a3 , an 1， an2 ；2（2）79 是否是数列中的项？若是，是第几项？33

5、.（ 2003京春理14，文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内。4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写岀点数的通项公式5.观察下列各图，并F面的文字，像这样,10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式（1）（4）:二、等差数列）个DA. 40 个 B . 45 个 C。用递推公式表示为刖d2项起，每一项与它题 一义：一般地，如果一个数列从第那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 訥22）或时-西条直线相交）。最多脊ng个点

6、an 二 a1 （n -1）d ；A P数列）的单调性：d页的差等于同一个常数,例最多等差数个交an = 2n 一 1， 题型二、等差数列的通项公式： 八、说明：数列。例：等差数列（通常可称为4条直线相交，-最多有6个交占八、0为递增数列，d = 0为常数列，d ： 0为递减1.已知等差数列 Sn 中，a7 a9 =16, a4 =1,.30 C . 31 D . 64则a12等于（）A. 15 B2. an是首项3=1，公差d = 3的等差数列，如果an =2005，则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D)670等差数列an =2n -1,b3.或“递减数列”）题型三、等

7、差中项的概念:=-2 n1，则 an 为bn为（填“递增数列”定义：如果a， A， b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。其中A， b 成等差数列A即: 2anan ' an .22（06全国I）设 订鳥是公差为正数的等差数列，若a1 a2 a3 =15，2an an -man m)a!a2a3 = 80，则 a11(120.105.90.752. 设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为 48,则它的首项是（A. 1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质：（1 ）在等差数列 n 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列:an 中，相

8、隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3） 在等差数列 0 中，对任意 m , n N .， an = am （n - m）d， d =引_am （m = n）；n -m（4） 在等差数列 玄中，若 m , n , p， q N .且 m n = p q，则 am a ap aq ；题型五、等差数列的前 n和的求和公式：sn =n（ai an） =-凹=1 n2 （a1）n2 2 2 2（Sn二An2 Bn （代B为常数）= 是等差数列）递推公式：&二=（儿乜心心川2 2例：1.如果等差数列an/中，a3a4a5=12，那么a1a2.a7=（A） 14（ B）21（ C）28（ D）35

9、2. （2009湖南卷文）设Sn是等差数列（an?的前n项和，已知a3，a11，则S等于（）A. 13B. 35C. 49D. 633. （2009全国卷I理）设等差数列an?的前n项和为Sn，若Sg = 72 ,则82*4*9=4. （2010重庆文）（2）在等差数列 心中，a1 a9 =10，则a5的值为（）（A） 5（ B） 6（ C） 8（ D） 105. 若一个等差数列前 3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项6. 已知等差数列 a 的前n项和为Sn，若S12=21，则a2a5a8an二7. （20

10、09全国卷n理）设等差数列：an /的前n项和为Sn，若a5 = 5a3则$ =S58.（ 98全国）已知数列 bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.（I）求数列 bn 的通项bn；9.已知*an *数列是等差数列，a10=10，其前10项的和Sw =70，则其公差d等于（）1D.310. （2009陕西卷文）设等差数列a的前n项和为Sn,若36二S3=12,则an11.（ 00全国）设 an为等差数列,Sn为数列 an的前n项和，已知 S = 7，S5= 75，T；为数列Sn 的前n项和，求Tn求通项an ;若Sn =242，求n13.在等差数列an中, 已知 a3 ai5

11、=40,求 S17 题型六.对于一个等差数列：(1)已知S8= 48,S2=168,求印和 d ； (2)已知 a6=10, S5=5, 求a8和 S8 ；（1）若项数为偶数，设共有（2）若项数为奇数，设共有2n项，则S偶- S奇二nd ；§奇丑；S 偶 an 1S奇n2n -1项，则S奇- S偶二an = a中； '奇-题型七.对与一个等差数列，例：1.等差数列 an的前m项和为30,前2m项和为100，则它的前3m项和为（）C.210D.2602n项的和为60,则前3 n项的和为 Sn , S2n - Sn , Ssn - S?n仍成等差数列。A.130B.1702. 一

12、个等差数列前n项的和为48,前3 已知等差数列a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为4.设Sn为等差数列n ?的前n项和,S4 =14, S10 S7 =30,贝V S9 =5. （ 06全国II ）设S是等差数列 an的前n项和，若 色=1，则鱼 =S63 S12A.B.D.10题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法: 定义法:an -an = d（常数）（n N ） - ： an f是等差数列 中项法：2an 1 - an an，2（ n N ） = ；an 匚是等差数列 通项公式法：an = k n（k, b为常数）="-an是等差数列 前n项和公式法

13、：Sn =An2 - Bn （A, B为常数）=”an 是等差数列例：1.已知数列an满足an -an4 =2，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断已知数列 an的通项为an=2n5，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an的前n项和Sn= 2n2 4，则数列an为（)A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列an的前n项和sn=2n?，则数列 an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列an

14、满足an .2 -2an 1 an = 0，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列 1an满足 a1 =8，a4 = 2，且 an .2 -2an 1 a 0（ n N ”）求数列的通项公式;7.（ 01天津理，2）设S是数列an的前n项和，A.等比数列，但不是等差数列B.C.等差数列，而且也是等比数列题型九.数列最值（1） a1 0， d : 0 时，Sn 有最大值；印：0，d2且 Sn=n，则 an是（）等差数列，但不是等比数列D.既非等比数列又非等差数列0时，Sn有最小值;2（2） Sn最值的求法：若已知 Sn，Sn的最值可求二次

15、函数 Sn =an bn的最值;可用二次函数最值的求法（n N .）；或者求岀an?中的正、负分界项，即:若已知an，则Sn最值时n的值（nN .）可如下确定內一°或。迢佔兰0=0例：1 等差数列'an丿中，印S9 = S12，则前项的和最大。2 .设等差数列：an 的前n项和为Sn,已知求出公差d的范围,指岀S2/，S12中哪一个值最大，并说明理由。3.（ 02上海）设 an（ n N是等差数列，Sn是其前n项的和，且 Sv S,S?>S,则下列结论错误的是（）A.d v 0B. a7= 0C.Q > S5D.S6与S7均为Sn的最大值4 .已知数列an /的通

16、项n - 98:一 （n N "）,则数列的前30项中最大项和最小项分别是n -995.已知an是等差数列，其中ai = 31，公差d = -8。（1）数列an从哪一项开始小于 0?（2）求数列an前n项和的最大值，并求岀对应n的值.6.已知an是各项不为零的等差数列，其中ai0,公差d ：0，若$0=0,求数列an前n项和的最大值.7.在等差数列an中，a = 25 , S7二S9，求Sn的最大值.题型十.利用an =（n 一1）求通项.® -&斗（n >2） 1. 数列an的前n项和Sn二n 1.（ 1）试写岀数列的前5项；（2）数列an是等差数列吗？（3

17、）你能写岀数列an的通项公式吗?2已知数列 a 的前n项和 Sn二n2 -4n - 1则23. 设数列an的前n项和为S=2n，求数列an的通项公式；4. 已知数列 冲，ai =3,前门和Sn (n - 1)(an 1)-1 求证：数列 n ?是等差数列 求数列;an /的通项公式5. ( 2010安徽文)设数列an的前n项和sn = n2，则a8的值为()(A) 15(B) 16(C) 49( D) 64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q = 0)，即：an

18、 1: a. =q(q = 0)。一、递推关系与通项公式1 在等比数列an /中，a1=4,q=2，则an二2 在等比数列 <an中，a? = 12,q = 2 ,则 a19 =.3. (07重庆文)在等比数列an中，a2= 8， a1 = 64，则公比q为()(A) 2( B) 3( C) 4( D) 84. 在等比数列 匕 冲，a? - -2， a5 =54，则a8 =5. 在各项都为正数的等比数列an中，首项a1 = 3，前三项和为21，则a3 a4 a5 =()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为 b

19、 = - ：. ac,注：b2 =ac是成等比数列的必要而不充分条件.例：1. 2亠3和2 - 的等比中项为()2. (2009重庆卷文)设是公差不为0的等差数列，a2且a1.a3.a5成等比数列，则的前n项和Sn=()2 2 2A n 7nn 5nn 3n2a.b.c.d. n n443324三、等比数列的基本性质，1. (1)若 m n = p q,贝 V am a. =ap aq (其中 m,n, p, q N )(2)am2an 二 an_manm(n N )（3）；an 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列（4）?既是等差数列又是等比数列：二an 是各项不为零的常数列例：1

20、 在等比数列：an /中，ai和aio是方程2x 5x 0的两个根,则a° a（）2.在等比数列'an，已知a =5, a9a10 =100，则a18 =3. 在等比数列 gn 中，a1 a6 =33, a3a4 =32, an - an ,求an若 Tn =lgai lg a?亠 Tg an,求Tn4.等比数列an的各项为正数，且a§a6 玄4玄7 =18,则 logsajlogsa? |( log3a10 二A 12 B 10 C 8 D 2+log3 5an满足 an >0, n=1,2，川，且曰2心=2勿（n 启3）则当n 一 1时，log2a<

21、log2a|+log2a2nj =()A. n(2n 一1)B.2(n 1)C.2 nD5. （ 2009广东卷理）已知等比数列(n-1)22.前n项和公式例：1.已知等比数列 an的首相a1 = 5，公比q = 2，则其前n项和Sn =12. 已知等比数列an的首相a1 =5，公比q ，当项数n趋近与无穷大时，其前 n项2和Sn3. 设等比数列 an的前n项和为Sn，已a2 = 6, 6a1 a 30，求an和Sn4. （ 2006 年北京卷）设f（n） =2 24 27 210 |1, 23n，10（nN），则 f（n）等于（）A. 2（8n -1）B. 2（8n1-1）C 2（8n 3-

22、1） D -（8n 1）77775. （ 1996全国文，21）设等比数列 an2的前n项和为S,若S3 + S6 = 2S,求数列的公比 q;6设等比数列an的公比为q，前n项和为S,若S+1,Sn, Sn+2成等差数列，则q的值为.3.若数列 & :是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk , S2k -Sk , S3k -S2k成等比数列 如下图所示：S鱼例：1. （2009辽宁卷理）设等比数列 an的前n项和为Sn，若=3 ,则S6 =78A. 2B.3 C.3D.32. 一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为（)A. 83 B .108 C

23、 .75D. 633.已知数列 a 是等比数列，且Sm =10, S?m = 30,则S3m =4. 等比数列的判定法（1 ）定义法:空二q （常数）-ana ?为等比数列;（2）中项法：an=an an半（an式0）二 右n 为等比数列;（3）通项公式法：an = k qn （k,q为常数）=an ?为等比数列;（4）前n项和法：Sn二k（1-qn） （ k,q为常数）=Sn 为等比数列。Sn=k-kqn （k,q为常数）=为等比数列。例：1.已知数列 an的通项为an = 2n,则数列an为（）A.等差数列B. 等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断22.已知数列a.满足a

24、n 4an an-2n =0)，则数列an为()A.等差数列B. 等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列 an的前n项和Sn=2 -2n 1，则数列an为（)A.等差数列B. 等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断£(n = 1)5.利用a求通项.lSn -Sn(n A 2)1例：1. （2005北京卷）数列an的前n项和为S,且ai=l,an彳Sn,n=1, 2, 3,，求a?,a3,a3的值及数列an的通项公式.2. （2005山东卷）已知数列an ?的首项a1=5,前n项和为Sn，且SnSn - n 5（n N*），证明数列玄朮是

25、等比数列.四、求数列通项公式方法（1）.公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 =7,a5 a7 =26,求an ；2.已知数列an满足a1 =2, an-an4 = 1（n-1），求数列an的通项公式；3. 数列 a*'满足 *1 =8, a - 2, 且 an _ 2an 1 a - 0 （ n N ），求数列'a* 匚的通项公式;1 14. 已知数列an满足ai =2,2，求数列 9n 的通项公式；an 申 an1 15. 设数列an满足a1 = 0且1，求an的通项公式1 an 书 1 an6.已知数列 an满足an 1上,a

26、1，求数列an的通项公式 an 227. 等比数列an的各项均为正数，且 2a1 3a2 =1, a3 = 9a2a6，求数列an的通项公式8. 已知数列an满足a1 =2,an =3an,n _ 1)，求数列an的通项公式；9. 已知数列a.满足a1 =2，a? = 4且an-e a =an(n = N")，求数列aj的通项公式;10.已知数列an满足a1 =2,且an卑5讦=2(an 5n)( n n )，求数列 Sn f 的通项公式;11.已知数列an满足a1 =2,且a.卑+5汽2宀+2 =3 +5Tn +2) ( n丘N*)，求数列an的通项公式;12.数列已知数列(2)累

27、加法1、an满足耳二*" =4an1(n 1).则数列ian?的通项公式1、累加法 适用于：an1 =an f(n)a2 - a1 = f (1)a3 a： = f (2)若 an1 -an =f( n)( n 一2)，则 山 小an 1 一 an = f (n)n两边分别相加得 an 1 - a1八，f (n)1 1例：1.已知数列an满足a ,an1 =an2，求数列an的通项公式24n T2. 已知数列an满足an1 =an2n1,a1，求数列an的通项公式。3. 已知数列an满足an an - 2 3n 1，a3，求数列an的通项公式。4. 设数列an满足a1 =2，a. 1

28、 - a. =3 22n4，求数列an的通项公式(3) 累乘法适用于：an 1 二 f (n)an若an 1ana2a3=f( n)，则更二 f(1)，至二 f(2)，山川，鱼！ = f( n)a1a2an两边分别相乘得,a n亠7 i【f(k)3k 4例：1.已知数列an满足 an 1 =2(n 1)5n a.印=3，求数列an的通项公式。2.已知数列 a 满足a2，anan3 n +13.已知 a1 =3， an .勺3n -1/ 八亠an (n 1)，求 an。3n 2(4) 待定系数法适用于 an i = qan - f (n)解题基本步骤:1、确定f(n)2、设等比数列'a

29、1f( n)，公比为3、列岀关系式an 1'1f (n 1) = '2【an '2 f (n)4、比较系数求1， ' 25、解得数列、an/(n)?的通项公式6、解得数列 a 的通项公式例：1.已知数列an中，a1 =1,an = 2an 4 1(n _ 2)，求数列'anf的通项公式。2. ( 2006，重庆，文,14)在数列玄1中，若印=1,an 1 =2an 3(n 1)，则该数列的通项an =3. (2006.福建.理22.本小题满分14分)已知数列：an满足a 1,an d = 2an'1(n，N ).求数列：anf的通项公式；4. 已

30、知数列an满足an2an 3 5n，a6，求数列 订的通项公式。解：设 an 1 x 5n 2(an - x 5n)5. 已知数列an满足an.1=3an 5 2n -4,a1，求数列a.的通项公式。解：设 an#+xx2n# + y =3(an + xx2n + y)f5ii6. 已知数列 a 冲，a1,an1an ( )n'，求 an63227. 已知数列an满足an.i =2a“，3n 4n 5,印=1，求数列an的通项公式。2 2解：设 an 1 x(n 1) y(n 1) z 二 2(an xn yn z)8. 已知数列an满足an1 =2an 4 3n J，a1，求数列 站

31、/的通项公式。递推公式为an 2 = pan 1 qan (其中P，q均为常数)。先把原递推公式转化为 an 2 -san彳=t(an “ -san)其中 s，t满足卢"=p $t = -q9.已知数列 an 满足an七=5an卅6an, a = 1, a = 2，求数列an的通项公式。(5 )递推公式中既有 SnS n =1分析：把已知关系通过an='转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。nSn-Sn,n2n11. (2005北京卷)数列an的前n项和为S，且a1=1，an dSn，n=1，2，3，求a3，a4的值3及数列an的通项公式.2. (2005山

32、东卷)已知数列、an 1的首项a5,前n项和为Sn，且Sn d = Sn - n 5(n N*)，证明数列an 1是等比数列.3已知数列 & 中，a3,前n和Sn二扌1)(an 1)-1 求证：数列 an 是等差数列 求数列an的通项公式14.已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn(an 1)(an 2)，且a2,a4,ag成等比数列，求6(6)根据条件找 n 1与n项关系151例1.已知数列a*中，ai=1,ani=C，若C, bn，求数列bn的通项公式an2an 21 n +1a a1 =han = (1+ )an +2. ( 2009全国卷I理)在数列 M中，n 2b

33、n =玉(I )设n n，求数列bn的通项公式(7) 倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例：1.已知数列an满足an 1 ,a1，求数列an的通项公式。an+2(8) 对无穷递推数列消项得到第n 1与n项的关系例：1. ( 2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列an满足a1 =1, an = a1 2a2 3a3 J| (n - 1)an d(n _ 2)，求an的通项公式。2.设数列：an餐满足a1 3a232a33n'an= n，a ：二N .求数列an /的通项；3(9) 、迭代法例: 1已知数列an满足an 1 =a；(n 1)2； q =5,求数列

34、an的通项公式。解：因为am二a；(n1)2"，所以n (n3n_1n I 22又a1 =5，所以数列an的通项公式为an = 51。(10) 、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式n5例：已知数列an满足an1 =2 3 a*， a 7，求数列an的通项公式。n 5解：因为 an 1 =2 3 an，a 7，所以 an 0，an d 0。两边取常用对数得|g an !二5lg an ' n Ig3 lg 22、换元法适用于含根式的递推关系1 例：已知数列an满足an 1(1 4an ,1 24an), a =1，求数列a.的通项公式1 2解：令 bn1 24务，

35、则 a.(b. -1)v24五、数列求和1 直接用等差、等比数列的求和公式求和。02皿呼d2 2nd (q 二 1)& 才印(1qn)公比含字母时一定要讨论1_q心常见拆项:n(n 1) n n 1(2n - 1)(2n1)数列3n 是等差数列，数列的前n项和(理)无穷递缩等比数列时，S = 1 q例：1.已知等差数列an满足a1 =1, a2 =3，求前n项和Sn2.等差数列an中，a1=1, a3+a5=14，其前 n 项和 S=100,则 n=()A. 9 B 10 C 11 D 123. 已知等比数列a*满足a1 =1, a2 = 3，求前n项和Sn4. 设 f(n) =2 2

36、4 27 210 Tl( - 23n10(n N)，则f(n)等于()A. 2(8n -1)B.2(8n 1 -1) C.|(8n 裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 -1) D.#(8n 41)2 错位相减法求和：如：an 等差，"bn 等比，求a1b1 a2b -anbn的和.例：1 求和 S! =1 2x 3x| nxnJ123n2.求和：Sn23na a aa3.设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1= bi= 1，a3bs= 21，asb =13(i)求an，bn的通项公式；(H)求数列的前n项和Sn bnL_an an 十1 ，则Ss等于(n(n 1)A. 1 B302.已知数列an的