数值计算课后答案3

1、习题三解答1、用高斯消元法解下列方程组。X12X24x2x37 - 82x1x2 3x31(1)4x12x25x34花2x27解:+ (-4)，1+ (-)消去第二、三个方程的X1，得：22音x?3X314x2X325313X2X32225再由+ (-4)消去此方程组的第三个方程的X2，得到三角方程组:X36 , X21 , X!9所以方程组的解为x (9, 1, 6)t 算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就 多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不 能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。 消元法要求采用一般形式，或者说

2、是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过 程。要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。一般形式或分量形式：2x1 x2 3x314x-i 2x2 5x34x1 2x27 矩阵形式213%1425X24120X37向量形式x-i 4x2 2X3 5 必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组， 不能变形出单一的方程。 消元顺序x-X2 L，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。 不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。11x-i 3x2 2x33 （2）23xi

3、 11x2X30Xi2x2 2x3 1 231解：+ （仝），+ （-丄）消去第二、三个方程的X1，得：111111x1 3x22X33523569X2X3111111252414x2X311111125再由+ C W）消去此方程组的第三个方程的X2，得到三角方程组:1111x1 3x22x33523569X2X31111111932235252回代，得：X322310641193 ，X2193 ，X1193 ，所以方程组的解为（蛊106193223 )t193)2、将矩阵10 2 00 111 A2 0 1 10 0 11作LU分解 解：设1°2°1°°

4、;°U11U12U13U14°111I211°°°U22U23U24LUA2°114l321°°°U31U32°°11l41l42l431°°°U44根据矩阵乘法，先求U的第一行，由aijUij，得U111,U120, U132, U14°。再求L的第一列，由矩阵乘法，因为如l iiUii，所以 Iji也，而UnU111，所再求U 的勺第二行,得l21U121U22 '1，则U221l21U121 °°1,l21U13

5、1U23° U331，则U231l21U131 °21,l21U141U24° U34° u441，则U241l21U141 °°1,再求L 的勺第二列,得l31U12l32U221 °°° °,则32°l31U12° 2°°41U12l42U22l430° ° °，则42°丨41U12° °°°再求U 的勺第三行,得l31U13l 32U231 u31，则U331l31U13

6、l32U231 22 °15l31U14l32U241 U34° u441,则U341l31U14l32U；241 2 °° 11再求L 的勺第三列,得l41U13l42U23l431U331 ° 1，则l43(1° 2 °1)155再求U 的勺第四行,得l41U14l42U24l431U341U441，则U441l41U14l42U24l43U341 °° °以 hi aji，所以 I21°, I312,141° o所以，矩阵A的LU分解为:(1)10 0 010 2 00

7、 10 00 1110，U指出：用分数而表示元素，不能化成近似小数也不化成小数表示3、用LU分解紧凑格式分解法解方程组。5 791016 8109x217 1087x315765x,110005762100055L 71,U100052103100解一，用一般格式求解： 将系数矩阵作LU分解得:594550101710Ly=b方程组为10006100y115y2171101y35213y41015解之得y1y2y3y41512210同样地，解方程组Ux=y得x120X212X35x43解二，用LU紧凑格式分解法求解: 对增广矩阵三角分解：5 79579 1016-810681091571087

8、171085765151 76579101562431655535571517175222531 0 -5115原方程组化成同解的上三角方程组为:5x,7x2:9x310X41241xx33x4555-1715x3X42213X1010回代得x (20, 12, 5,3)t。指出：10157910191624315555717187152511065179101243155515171222313051010紧凑格式是直接应用公式进行计算，计算结果保存在A的相应元素位置。从算法的角度，紧凑格式实际体现在数据的存储方法上。由于紧凑格式计算时不再需要 A的前面的元素，因此可以进行。4、用列主元的三

9、角分解法解线性方程组。X 2x2 2x3 13x,x2 4x372x-i 3x2 2x30解一，列选主元素消元法：先选第一列主元为a2i 3，将第一个方程与第二个方程交换，消去 Xi得:524X2X3一33371414X2X3333X24X3 73x1x24X3771414X2X3333126X3331回代求得方程组的解X32，X21，X12再选第二列主元为日323，交换第所以方程组的解为三两个方程，消去X2得二角形方程组:1 TX (2,1-)。212213247(A,b)3247 UuuuuuU122123202320324712 2 1332 4732232027GUluulS33311

10、52 21337同解的三角形方程组为3%X24X3771414X2X33334X3247324714142714143333331521423733 2 0解二，列主元素三角分解法:1回代求得方程组的解X3-，X21，X!2所以方程组的解为1 TX (2,1,)。2说明：用矩阵讨论中，矩阵元素进行了化简。5 用追赶法解方程组21,b10000分析： 三对角矩阵A 2 O2可以分解如下形式的两个矩阵:1121131U2,U2U3n 1Un112Ui1131U22U3O1nOOn 1UnO1n由矩阵乘法规则，有U1li和2,3，L n)ui i h i 1 (i 2,3丄,n)这样可以求出矩阵L和

11、U的所有元素 设有系数矩阵为A的方程组：Ax b,b (b11b2,L bn)T，这样的方程组称为三对角方程组。三对角方程组经LU分解分解为Ly b,Ux y，求解之yibiybihyi i,i 2,3丄，nXi(yiiXi J u,i n 1,n 2,L ,1这就是所谓追赶法 解：由公式uii 2,12Ui2U2133U2U3132I3C“1、“八 32 ()(1)-2223414U32 ( 2) ( 1)33U414 3155U44 6U55 I5 42 ( -) ( 1)-5 5由此得下三角方程组11221334Y11Y20Y301y40y504 ,15和上三角方程组X1y1X2y2X3

12、y31X4X565154解上三角方程组11y11y12y20y21y3oy33来oy41ysoy5415代入并解上三角方程组2 113112X12X1241X21X233X33X3451X41X454X54X5661556、用改进的Cholesky分解法解方程组4为 2x2 4x3102x,17x2 10x334x(10x29x37解：设此方程组的系数矩阵为 A,右端向量为b,则42410A21710,b341097矩阵A是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解。设424Uiiuiiui2Ui3217i0ui2U 22u 22U234109ui3U23U33U33由矩阵乘法得Uii2,U12i,u

13、i32, U224, U232, U33i由Uliyii0U12U 22y23U13U23U33y37得yi5, y22, y3i再由Uiiui2ui3Xi5U 22U23X22U33X3i得Xi2, X2i,X3i 07、用改进的Cholesky分解法解方程组4ii0Xi7i3i0X28ii52X340024X46解：U11U12U13U14pU22U23U24U33U34U442丄022ii3 ii0222u5不22ii5785解下三角方程组得2785725 11yi 2，%22 ' %解上三角方程组 得Xi 1,X2 2,X31,X42指出：6、7两题应用一般的乔累斯基分解而没有

14、采用书上的方法。 用MATLA求解为：>> format rat>> a=4>1>-1>0;1>3>-1>0;-1>-1>5>2;0>0>2>4a =41-1013-101-1520024>> P,q=chol(a)P =21/2-1/2 001985/1197-379/8380001179/5531106/11790005617/3180&设 x (1, 2,3)T，求 X2, x解：n|xhXi I1 I 2 3 6i 1n 2 1ML (|xj )2 J12 ( 2)2 3

15、2 皿i 1II xmax|xj max 1 , 2,3 3i1 1 09、设 A2 2 3，求 A1, A2, A5 41n解：| AL maxaijmax 8,7,48 ；nIIAmaxi j iaijmax2,7,1010 ；125 11030251A A124 223252120315411210则3025125212(30)(21)(10) 50 50 (21) 4(30)625(10)12103 61251090解之得，151.0043,129.9780, 30.0177 ,叫A.(AtA)写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代格式; 证明雅可比迭代法收敛而高斯-赛德尔迭代法发

16、散。(51.0043 7.1417。指出：三次方程可用三次方程的求根公式求出根来。 用我们学过的知识，三次方程的根有如下求法: 用二分法求。1 10110、设 A 2 23,x3,计算x| ,|A| ,|Ax| ,并比较 | Ax 与| A5 412的大小。解：xmax1 ,3,23 ,Amax1 10,223,54 110 ,1 1 012Ax 22332|Ax|max2, 2,99 ,54129|A| |x|10 330,|Ax|A| |x|122x11211、给定方程组111x20。221X310(3 )给定 x(0)(0,0,0)用迭代法求出该方程组的解，精确到X(k 1)X(k)10

17、解:(1) 此方程组变形为x-i 2x2 2x3 12X2X1X3x3 2x1 2x2 10据此建立雅可比法迭代格式得 x1k 1) 2x2k)2x3k)12 x2k1) x1k) x3k) x3k1) 2x(k) 2x2k) 10高斯-赛德尔迭代法迭代格式为x1k1) 2x2k) 2x3k) 12x(k 1) x(k 1) x(k)213系数矩阵12 2100A111D L U01122 1000x3k1) 2x(k1) 2x2k 1) 10(2)证明一：用定理2证明:0 0 0 0 2 21 0 0 0 0 12 2 0 0 0 0雅可比迭代法的迭代矩阵为0 22Bj1D (L U)101

18、22022则EBj1122令22E Bj11022则301230所以 p (Bj)=0<1所以雅可比迭代法收敛高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵为0 2 21Bg s (D L) U 0210 8 6由此求出BG S 141所以，高斯-赛德尔迭代法发散。证明二：用定理5证明：12 2A11 1 ,22 1令22110 ,22则3 01230 ,所以 p (Bj)=0<1所以雅可比迭代法收敛。 而2 21 0(2 44)0(2 78)(2 V8)02 21 0, 22 2迈322&所以 p (Bg-s)=2.2 >10所以高斯-赛德尔迭代法发散。(3) 取迭代初值x(0) (

19、0,0,0) T，用雅可比迭代法迭代得k(k) X 1(k) X 2(k) X 3000011201023221431246584124658因为 x(4)x0 f 10 3所以方程组的解为x* x（12, 46, 58）t用高斯-赛德尔迭代法迭代得k(k)X 1(k)X 2(k)X300001121238240294319610258649563701336因为高斯-赛德尔迭代法发散，不能求出满足要求的解211x,012、给定方程组111x23。112x31（1）写出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式。 解：（1）方程组变形为x2x3所以,11x2X322咅 3111x1

20、x2222Jacobi迭代格式为(k1)1)x(k)x(k)2 x22 x3x(k)x(k)313(k 1)1(k)1(k)X1X2X322(k1)(k 1)x3k)3X2X1(kX31)1 (kX11）1 (k 1)-X21222证明:用定理5证明：211A111 ,112令Gauss-Seidel迭代格式为1 (k)1(k)1x1x22 2 21)2(2 1)(22) 01.1741.174，1 17彳1，所以雅可比迭代法发散。或：所以(Bj)记f()因为f (1)3, f(2)20所以方程40在区间(一2, 1)有一个根，则P (Bj)>1所以雅可比迭代法发散。 而(4241)01

21、21 所以 p (Bg-s)=<1,2所以高斯-赛德尔迭代法收敛。(0,0,0) T，用高斯赛德尔迭代法迭代得0, 2(3)取迭代初值x(0)(k 1)X1k 1)1 (k)1(k)x2x32 2(k1)(k)x-ix 31 (k 1)1(k 1)X1X22 2(k 1)X1丄(x(k) x(k) x2x3 )2(k 1)(k)(为X3 )1 (k 1) (k 1) (X1X221)k(k) X 1(k)X 2(k)X300001030.52-1.754.25-0.753-1.755.5-1.3754-2.0636.438-1.6885-2.3757.063-1.8446-2.6107.

22、454-1.9227-2.7667.688-1.9618-2.8647.825-1.9819-2.9587.939-1.99110-2.9747.965-2.00011-2.9837.983-2.00012-2.9927.992-2.00013-2.9967.996-2.00014-2.9987.998-2.00015-2.9997.999-2.00016-3.0008.000-2.00017-3.0008.000-2.000因为 x(17)x(16)05111 101115 1 1 10迭代法都是收敛的。14、方程组Ax=b,其中 10所以方程组的解为x*x(16)(3.000,8.000,

23、 2.000)T。5x1X2X3X4413、已知x110x2X3X412xX25X3 x48xX2X310x434格式的收敛性。解：因为51 11110 11x1x2x3x411 5111 110考察Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代系数矩阵A是对称正定矩阵，而且严格对角占优，因此两种A 4a 10 ,x,b R3a 01利用迭代收敛的充分必要条件确定雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛 的a的取值范围。解：对雅可比迭代法来说，因为a a4a 03 5a20，a 0所以Bj的特征值为i 0, 25a, 3 5a。所以，迭代矩阵B的谱半径为(B)妁 a，时，雅可比迭代法收敛对

24、高斯-赛德尔迭代法，因为a a,c3 L 22c4 a 05a 0a 0所以高斯-赛德尔迭代矩阵特征值为2120, 3 5a其谱半径为2(Bg s) 5a，当（Bg s） 5a2 11.5 aJ5时,高斯-赛德尔迭代法收敛所以，雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛的a的范围是(430x2415、设方程组341x230，分别用Gauss-Seidel迭代法和3= 1.2501 4 x324的SOF法求解此方程组，准确到4位有效数字(取x(0)(1,1,1T )。解：本方程组的Gauss-Seidel迭代格式为(kX；1)x2ki)1)3x2k)3 Xi(k 1)4!x2k1) 64(k)154

25、X取 x(0)(i,i,iT迭代得x(5.250,3.813, 5.057)x(3.141,3.883, 5.029) L用SOR方法解方程组迭代格式为x(k1)(1)x(k)x2k 1)(1)x2k)x3k1)(1)x3k)(3x2k)46)1(k)3 (k 1)(4x1取1.25 , x(0)(1,1,1迭代得x(1)(6.313,3.520, 6.650)x(2.622,3.959, 4.600)。100 9917、设A，计算A的条件数cond(A)p, p 2,8 p解：因为100 991 011 1 199980 1 uum&9998 0111 111 09899UuuUUi

26、U 0199100juuut2 0199100109899UuuuGuuV 0199100所以A198100AA1199所以 cond(A)1992 。At A10099100991002992(9999299989998100 9999 98100 99 99992 9829899 200 199 19899 19899 98 12001981)99198(2 99 981)(99200 1)(2 99981)(992198)(99 200239206(2 99 981)290109601 01)(99 200 1) (214653.5, 24949.59998 1)(992198)所以|

27、a.(AtA)114653.5121.05;(A 1)tA 1989998999929829910099100(10099 99 98)(10010099299 98)99299 19699 19899 19899 200 1得(9999196198所以a11)99(991982001)392062901096010,14653.5, 24949.51 T 1(A ) A ).14653.5121.05 ;所以 cond(A)2121.05。18、设A是n阶非奇异方阵,B是n阶奇异方阵，试证明con d(A)A B|A|分析:要证明,IIa b|con d(A)|a|因为 cond(A)A 1

28、 A ，即证:1a1!卜B|IA，因为范数总是不小于0的,也即证:也即证：|a1|a b i ,由相容性，只需要证明|a|A B|A 1(A B) IE A 1B 1而要证明E a 1B 1 ,根据定义E a 1Bmaxl(Ea 1B)x|x只需要证明对于某个特殊的Xo 0 ,|(E A1B)x|xo |1 '因为B是奇异矩阵，所以Xo 0满足:Bxo 0，利用这个条件，可以完成证明证明：E A1bmax KE1a 1B)x|x因为B是奇异矩阵，所以x。0满足:Bx°0，所以(E A1B)x0|ex。(a1)®。)|ex°|x°|xoxoxoE

29、a1b又因为l(Emaxa 1B)x|x|IIaFIa B |a1(a b)|e(E A1B)xoXo|a 1b所以|a|a b| 1，因为范数总是不小于0的，所以1所以1 IA BA1|A IAI而 cond(A) | A 1 | A所以1|IA B|con d(A)|A|19、举例说明一个非奇异矩阵不一定存在 LU分解 解：考虑矩阵显然A非奇异。若A有LU分解，则有0110 bcbc10a1 0dab ac d于是b0,c1,ab1,ac d 0，而b0ab0，矛盾。故并非所有的非奇异矩阵都能LU分解。 指出：举例，从简单的例子开始。 所以A A可逆。补充题（一）1、设有矩阵作矩阵的LU分

30、解。 解：由矩阵的LU分解公式i 1UjaijlikUkj( j i,i 1,L ,n;i 1,2,L , n)k 1j 1lij (ajlikUj)/Ujj (ij 1,j 2,L ,n; j 1,2,L , n)k 1可得U11an4U12a123|11 1 / U111I21a21 / Un12U21a21 |21U1121240U22a22 I211U12113122|12(a12I11U12) / U22(311 3)/( -) 02I 2222I21U12 )/ U22(1113)/( -)122所以1 0L 1 ,U -124310 -22,3丄，n),可以直接套用指出：a1j=

31、U1j(j=1,2,3,n) , |订a(iU112、考虑三对角矩阵给出三对角矩阵A的LU分解算法，并给出求解以A为系数矩阵的线性方程组 的算法。解：对于三对角矩阵A，也可以用LU分解方法，把它分解为下三角矩阵 L与 上三角矩阵U的乘积。即A=LU但因为三对角矩阵的特殊性，我们容易验证，分解出的两个矩阵具有这样的形式：1U1 1I21U2 2LI31,UU3 OO OOnIn 1Un即Ui12 1I31O OIn1U22U3OUn由矩阵乘法规则，我们有U1li (i 2,3丄 n) ,Ui 1ui i li i 1(i 2,3,L , n)这样可以求出矩阵L和U的所有元素 设有系数矩阵为A的方

32、程组：Ax b,b (b1,b2丄 bn)T，这样的方程组称为三对角方程组。三对角方程组经LU分解分解为Ly b,Ux y，求解之Y1b1Yibi liYi 1,i2,3丄，n 'XnYn UX (Yi1)Ui,i n 1,n 2,L ,1用这组公式解三对角线性方程组称为追赶法，其中 到大和由大到小的形象比喻。“追”和“赶”是指下标由小3用追赶法解线性方程组的计算量最大约为 5n次，比高斯消元法的n次少得多33.用高斯消元法求解线性方程组:2x13x24x363x15x22x35 。4x13x230x332解：3+ (-)，+ (- 2)消去第二、三个方程的X1，得:2x1 3x2 4

33、x360.5x2 4x343x222 x320再由+ 6消去此方程组的第三个方程的X2，得到三角方程组:2% 3x2 4x360.5x2 4x342x344.回代，得：X32 , x24 4X30.58 ,Xi6 3X2 4X3213用高斯列选主元素消元法解线性方程组Xi2x2 3x315X| 4x210x303x(0.1x2 x32解：先选第一列主兀为a21 5，将第一行与第二行交换，消去X1得：5x14x2 10 x3 01.2 x2 x312.5 X2 5 X32再选第二列主元为a32 2.5，交换第二行与第三行，消去X2得三角形方程组:5为 4x2 10x302.5x2 5x321.4

34、x3 1.96回代求得方程组的解X31.4，X2 2，X1 1.25. 用高斯全选主元素消元法解线性方程组12x1 3x2 3x31518x1 3x2 x315x1x2x36解：选全主元为X2118，交换第一个方程与第二个方程，消去X1，得：1炭3X2禺 15X? 2.33X3 5.0001.1672 0.9443 5.167再在此方程组的后两个方程中选主元a22 2.333，交换第二与第三个方程，消 去X2得三角形方程组：1&1 3X2 X$152.3333 X2 5.0001.5722 3.144回代得方程组的解x2 2.000，务3.000， X, 1.0001即原方程组的解为：

35、X 236用 LU 分解法解线性方程组1020x150101x23。1243x3。170103x47解：设10201u11 u12u13u140101l211u22u23u241243l31 l321u33u340103l41 l42l431u44由矩阵乘法（或LU公式）分解得11u11u12u13u141020l21101u22u23u24101l31l321121Ju33u3421l41l42l43 10101u442解下三角方程组1y1501y23121y3170101y47得y15,y23,y3 6,y44再解上三角方程组1020x15101x2321x362x44得x42,x32,

36、x21,x11。指出：LU分解的手算求解实际上不需要记忆公式 题 1 ：解：对矩阵A423，1，设4310u11 u1221l2110 u22先计算U的第一行，由矩阵乘法，有Q a1141 u11+00uii 4Q a123=1 u12+° u22U123再计算L的第一列，由矩阵乘法，有Q a?12121U111 021a21 /u11然后计算U的第2行Q a 221 121U121 U22U22121U12所以补充题（二）1、考虑矩阵2 11 2 11 2 11 2试求A的乔累斯基分解解：矩阵A是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解 设21U11U11比U13U14121U12U22U22U23U2412 1U13U23U33U33U341 2U14U24U34U44U44由矩阵乘法，得u112, U12至u1320，口40,U22、6,U232L 0,U3323,U34亠 J32匹U442所以.222U11U12U13U14仝2_6U22U23U2423U33U342 3U443补充题(三)1、计算向量x (1, 2,4)T的各种范数。解：Xi 1 2 4 7 ,X2，厂T2厂