数列综合应用放缩法

1、数列综合应用(1)用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常岀现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.二、典例讲解1. 先求和后放缩 例1 正数数列an的前n项的和Sn，满足 2 Sn an 1，试求：(1) 数列an的通项公式；沁1(2) 设bn，数列bn的前n项的和anan 1为Bn，求证：Bn -22.先放缩再求和 .放缩后成等差数列，再求和例2 已知各项均为正数的数列 an的前n项和为Sn,且 anan

2、2Sn -2 2(1)求证：Sn色一也；4求证：学 S S2 .放缩后成等比数列，再求和例 3. (1 )设 a，n N*， a>2，证明:2nnn .a ( a) (a 1) a ；(2)等比数列an中，a1，前n项的和为An，2且A7, A9, A8成等差数列设bn2an1 an，数列 bn1前n项的和为Bn，证明：Bn<3 放缩后为差比数列，再求和已知数列an满足：a 1，an 1(1少)an(n 1,2,3 ) 求证:an 1n 1an 32* 1.记排列(n 1)n(n 1)32121的逆序数a11，排列321的 放缩后为裂项相消，再求和 例5.在m (mb2)个不同数的

3、排列 P1P2Pn中, 若1 < ivj<m时Pi>Pj (即前面某数大于后面某数) 则称Pi 与 Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数 的逆序数为an,如排列 逆序数a36 (1)求日4、日5,并写出an的表达式;(2)令bn玉an 1an 1，证明:an2nbib2bn 2n 3，n=1,2,高考真题再现:321. (06浙江卷)已知函数Xn(x* > 0)的第一项x1 = 1，以后各项按如下方式取定:曲线y f (x)在(xn1,f(xn1)处的切线与经过(0，0)和(Xn， f (Xn)两点的直线平行(如图)求证：当刍n N时，(I)2

4、XnXn3x；12Xn 1 ；(n)1 n 11 n 2(2)Xn(1 。Vi丿.0z J(itj “-r2. （ 06福建卷）已知数列 an满足印 1,an i 2an 1(n N*).（I）求数列an的通项公式;（ii）证明:aia2a2asa.n *、(nN).an i 23. （07浙江）已知数列an中的相邻两项a2k i，a2k是关于x的方程x2(3k2k)x 3k 2k两个根，且 a2ki < a2k(k 1,2,3,).(丨)求 a1, a2, ag, a ；（ii）求数列an的前2n项和S2n ；1 sin n(山)记 f(n)32 sin n(1)f(2)ai a2(1

5、)f(3)3384(1)f(4)a5 a6(1)f (n 1)a2n 192n求证：15*萨 Tn 仝 24(n N).4.（ 07湖北）已知m, n为正整数，（i）用数学归纳法证明：当 x 1时,（1 x）m > 1 mx；（11）对于n > 6，已知 1求证11,2,，n;(n 2)n(n 3)m（iii）求出满足等式3n 4n的所有正整数n.5. （ 08辽宁）在数列 an , bn中，q 2,0 4, 且an,bn, an 1成等差数列，bn,an i,bn 1成等比数列.求a2,a3,a4及b2,t3,b4,由此猜测 an , bn的通项公式,并证明你的结论证明：1ab!

6、i82 b215an bn 12数列综合应用(1)用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常岀现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.二、典例讲解1. 先求和后放缩 例1 正数数列an的前n项的和Sn，满足 2 Sn an 1，试求：(1)数列an的通项公式;（2）设 bn1anan 1，数列bn的前n项的和为Bn，求证：Bn2.先放缩再求和 放缩后成等差数列，再求和例2 已知各项均为正数的数列 an的前n项和

7、为sn,且 an an2Sn.(1)求证:Sn2 2anan 14求证:2 - Sl' S2 放缩后成等比数列，再求和例 3 (1 )设 a, n N*, a>2,证明：2nnn a ( a) (a 1) a ；(2)等比数列an中，a 1，前n项的和为An,22a且A7, A9, A8成等差数列设 b，数列bnn 1 an1前n项的和为Bn,证明：BnV3 放缩后为差比数列，再求和例4 已知数列an满足：a 1，an 1（1少）an（n 1,2,3 ） 求证:an 1an2n 放缩后为裂项相消，再求和321321的例5.在m (mb2)个不同数的排列 P1P2Pn中, 若1 &

8、lt; ivj<m时Pi>Pj (即前面某数大于后面某数) 则称Pi 与 Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数记排列(n 1)n(n 1) 的逆序数为an,如排列21的逆序数a1 1，排列 逆序数a36 (1 )求日4、日5,并写出a的表达式；（2）令 b _a Om，证明：an 1an2n d b2bn2n 3, n=1,2,高考真题再现：321. （06浙江卷）已知函数（人 0）的第一项X1 = 1,以后各项按如下方式取定:曲线y f （x）在（xn 1, f（xn 1）处的切线与经过（0，0）和（xn， f （xn）两点的直线平行（如图）求证：当n

9、N*时,（I）x；Xn3X2Xm ；/、/ 1、n 1/ 1、n 2（2） Xn（2）yJ0X2. ( 06福建卷)已知数列 an满足印 1,an i 2an 1(n N*).(i)求数列an的通项公式；(ii)证明:n182.ann(n N*)23a2a3an 123.(07浙江)已知数列 耳 中的相邻两项a2k 1, a2k是关于x的方程X2 (3k 2k)x 3k 2k 0的 两个根，且 a2ki < a2k(k 1,2,3,).(|)求 a1, a2, a3, a ；(ii)求数列an的前2n项和S2n ；1 sin n(山)记 f (n)32 sin n(1)f(2)ai a2(1)f(3)(1)f(4)(1)f (n 1)a2n 1*2n求证：15*6三Tn三24(n N)-na3a44.( 07湖北)已知m, n为正整数，(I )用数学归纳法证明：当 x 1时,(1 x)m > 1 mx；(ii)对于n > 6，已知 1mmm1求证1, m1,2,，n 32(ill)求出满足等式3