数列解题技巧归纳总结好5份

1、知识框架数列的概念函数角度理解数列的分类数列的通项公式 数列的递推关系数列两个基本数列等差数列的定义an等差数列的通项公式 等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质aan 1amd(n 2) a1 (n 1)d n2 (a1 an) ap aq (mn(n 1). d 2q)等比数列的定义卫an等比数列的通项公式q(n2)anqqn 1等比数列等比数列的求和公式Sn1 qna1(q1)n 1&ai(11)等比数列的性质anam apaq (m n p q)公式法数列求和分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和 累加累积 归纳猜想证明数列的应用分期付款其他掌握了数列的基本知识，特别

2、是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握 了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1 )观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan( d，q 为常数) 例1、已知an满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。an是首项为1,公差为2的等差数列例1、解/ an+1-a n=2为常数/ an=1+2 (n-1 ) 即 an=2n-1312，求 an =?1例2、已知an满足an

3、1 an，而2解T巫=；是常数an 2-是以2为首项，公比为?的等比数列W(2)递推式为an+1=an+f例3、已知an中3!(n)2an 1an1 ，求 an.4n21 n解：由已知可知a3n1(2n1)(2 n 1)2 2 n12n1)令 n=1, 2,，(n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加，即(a2-a 1) +(a3-a 2) + + (an-a n-1)1 z 1、. 1 R=2(-2)+门)詁丄P an a1 1(1 22 2n4说明 只要和f (1) +f (2)(n-1 )代入，可得n-1个等式累加而求 递推式为an+1=pan+q (p, q为常数)+ +f (n-1

4、)an。1) 4n1) 4n 2是可求的，就可以由an+1=an+f (n)以n=1, 2，,2，求 an .例 4、an中，a1 1，对于 n> 1 (n N)有 an 3 1解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1+2。两式相减：an+1-a n=3 (an-a n-1)因此数列a n+1-a n是公比为3的等比数列，其首项为 a2-a 1= (3X 1+2) -1=4-an+1-a n=4 3- an+1=3an+2- - 3an+2-a n=4 3 即 a n=2 3 -1解法二： 上法得a n+1-a n是公比为 3 的等比数列，于是有：a2-a 1=4

5、, a3-a 2=4 3, a4-a 3=4 32, -an-a n-1 =4 -3n-2,A Cl -尹I )把n-1个等式累加得： an=2 3n-1-11 - 3 递推式为an+1=p an+q n (p, q为常数)【例町己:知用中,幻弓W冥+ (£叫求心略解 在严冥十中的两边乘以円W22励 j =-严匚)+L令S =2乜2贝叽相=；"+1,于是可得2 2b11bn 1bn(bng 1)由上题的解法，得：g 32(广/. a.b3()n2()n3 32n23说明对于递推式如=他+，可两边除以q叫得' =q計护右引辅助数列Z血=&得%T - + +后用

6、(5)递推式为 an 2 pan 1 qan就是耳a=a 十 0 ) an+1 - P an,则可从d -+a P是a n+1- a an是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型。二严_c IM f求 ana + p = p 分析B01 * P = -qJCl + p =- I2 1 .解 在务4? = E S亠三两边减去1、得-ai) = - Ci -an)y an是公比为冷，首顶为心盯二啲等比数列&3' b "I九产 c-j)°+ c-b 】+3-代二 1+#1-(6)递推式为S与an的关系式此妾型可利用兀i【例町 设前n项的和乂 =4-an-、-、-

7、关系；(2)试用n表示ano解由尹Sn+1 = 4 - an+1 _占Sn 1Sn(anan 1)an an 1an 1- an 1上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则2 nan是公差为2的等差数列。 2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n.(六12an数列求和的常用方法:1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、 错项相减法：适用于差比数列(如果 an等差，bn等比，那么 aA 叫做差比数列)可求和。即把每一项都乘以 bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵

8、消，只余有限几项,适用于数列an an 1-(其中an1等差)可裂项为:anan 1等差数列前n项和的最值问题:1、若等差数列 an的首项c公差d则前n项和&有最大值。(i)若已知通项 an,则Sn最大anan 1(ii)若已知&2pn qn,则当n取最靠近的非零自然数时&最大;2p2、若等差数列an的首项ai0,公差d则前n项和Sn有最小值(i)若已知通项an，则Sn最小anan 1(ii)若已知&2pn qn,则当n取最靠近q环的非零自然数时Sn最小;数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn (即qa2anf (n)求an,用作差

9、法:anS,(n 1)Sn Sn 1,(n 2)。已知耳怕2”anf(n)求a.,用作商法：anf(1),(n已知条件中既有若an 1 ana1 (n 2)。已知也ansn还有a*,有时先求sn，再求an ； f(n)求an用累加法：an (耳 a. J1)f (n 1)，(门有时也可直接求an。(an 1 an 2)2 耳)2)。f (n)求an ,用累乘法：ananan 1an 1an 2a22 a1 (n 2)。a1已知递推关系求 ,用构造法(构造等差、等比数列)化为公比为k的等比数列后，再求an ；形如an kan 1 kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。(2)形

10、如an -1an 1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan 1 b(3)形如an 1an k的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。（8）当遇到an 1an 1d或an 1 q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式an 1数列求和的常用方法：（1 ）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公 式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）（4）

11、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联, 相消法求和1n（n1冷k2那么常选用裂项1)k2 1.常用裂项形式有:1n1n 1丄(二2 k 11n(n k) 丄)，1 k 1 k1(1k'n1k 1(k 1)kn(n 1)(n2)1 2( . n 1、n)2 n(n 1)2(n 1)(n 2)1_ 2 _n、n 、n:(n 1)!2( .n1(k111)k k 11(n 1)!、解题方法:求数列通项公式的常用方法：

12、1、公式法2、由&求an（n 1时，a1 S1，n 2时，a. Sn Sn 1）3、求差（商）法女口： an 满足a2 -an 2n 512 222n1解：n 1 时，一a1 2 1 5,二 a1 142 1 1得:2n 1 5-an-an142n(n(n1)2)练习数列an满足SnSn53ana14,求an（注意到anSn 1Sn代入得:Sn 1又S14,二Sn是等比数列，Sn 4nn 2时，an Sn Sn 1 3 4n 1a3 a2f(3)两边相加，得:4、叠乘法例如：数列 an中, %3,an 1n，求anann 1解：a2 a3 an12n 1.a.1a 1 a 2a n 1

13、23na1n又a13，二 an3n5、等差型递推公式由an an 1f(n)，ao，求an，用迭加法n 2时，a2 a1f(2)an an 1 f(n)ana1f(2) f(3) f(n)ana。f(2) f(3)f(n)练习数列 an ，a1 1，an 3n 1 an 1 n 2，求 an6、等比型递推公式can i de、d 为常数，c0, c 1, d可转化为等比数列，设 an x c an 1 xan can 1令(c 1)x d，二 xd an是首项为a1d , c为公比的等比数列c1c 1ddn 1ana1cc 1c 1dn 1da na1cc 1c1练习数列 an 满足a19,

14、3an 1 an 4,求 ann 14(an 8 31)7、倒数法例如：a1 1，an 1 上色-，求anan 2由已知得:an 1an 21 丄2an 2 an1 11an 1an211为等差数列,丄1，公差为1a122 .数列求和问题的方法(1 )、应用公式法n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前1 + 2 + 3+二-21 + 3+ 5+ (2n-1)=n 2F十，十亍十十(”13匕 6P+23+33-【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), ( 13+15+17+19),前 n 项的和。一 1解本题实际是求各奇数

15、的和，在数列的前n项中，共有1+2+n= n(n 1)个奇数,21 2最后一个奇数为：1+ n(n+1)-1 x 2=n+n-12因此所求数列的前 n项的和为Sn Cn+O(2 )、分解转化法 对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。2 2 2 2 2 2 2【例 9求和 S=1 ( n -1 ) + 2 ( n -2 ) +3 ( n -3 ) + +n ( n -n解 S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)=n2 * n (n + 1) -n2 (n+1) S= 711*n 十 1口-1 士宀1)(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的

16、规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3C： 6C：3nC：例 10、解 Sn O?c0 3Cn 6C： 3nC：又£ =3n(S + 3 (n -1) C 畀十+0C® 相加，且运用C佔ch可得2Sn=3a CC® +C + - +CJ) = 3n * 211S n=3n 2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、 求数列1, 3x , 5x2,(2n-1)x n-1前n项的和.解 设 S=1+3+5x2+(2

17、n-1)x n-1.小幽 ir4 °1+0- 1) .2(1) 当区二 1珂 * 11-n .叵j(2) x=0 时，S=1.(3) 当x丰0且x丰1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)x n，-，得 (1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)x n.由公式知孤=-1 +十(加一1)亡1 -XI - X+(2乜一1)=(1二尸裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：1 in 1 n(a + k) k a n k_1 11 1 n(n + l)(n + 2) - 2 ti nl11111?53?7

18、5?9(2n 1)(2 n 3)求和111 1十十”""十1 53 75 9(N-例12、求和例孑1(2ii-lK2n + 1 11111 1 1 1 1n 415 3 75 92ii-3 2n +1 2n -1 2n + 3lri 111.4l 3 加十1 加十多n(4n 5)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1. 函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项a1> 0,前n项的和为Sn,

19、若S=Sk(I丰k)问n为何值时S最大?解依题意，设F (ti) =Sn =naj亠""口 此函数以n为自变量的二次函数。T ai>0 Si=S (l半k),. dv0故此二次函数的图像开口向下 T f (I ) =f(k),1 +1<二当1十k为偶数n = 时念最天当1+k为奇数时，11J巧切时纭最大°2 方程思想'【例14】设等比数列an前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知1。如果q=1，则S3=3ai, Se=6ai, $=9ai。由此应推出 ai=0与等比数列不符。

20、 qz 1日(1-q")气(l-q") _2%(l-q)%)'”百Hq lq整理得 q3 (2q6-q 3-1 ) =0 / qz0'-2qS -q3 -1 =0二 1舍，qR-扌 萌此题还可以作如下思考：3 换元思想【例15】求证：证明S6=Ss+q3S3= (1+q3) S3o S9=S3+q3S5=S3 (1+q3+q6), 由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2 (1+q3+q6), 2q6+q3=0112已知a, b, c是不为1的正数，x, y, z R+,且7a, b, c顺次成等比数列。7依题意令ax=by=cz=k x=1ogak, y=

21、log bk, z=log ck.112. 1 = ! f X z y 1og4k址 iogbkSPlga + lgjc 21 gb故空卜蹙二迪lgk 1 啟 lgk2 b =ac a, b, c成等比数列(a, b, c均不为0)提高训练C组一、选择题数列an的通项公式an_:，则该数列的前（）项之和等于.n X, n 1等差数列a*, bn的前n项和分别为2n3n 12A. 3二、填空题2n 13n2n 1D3n 12n3n 4已知数列an中,aian 1anan 1an，则数列通项an已知数列的Sn门 1，则 a8a9a10a11a12 =三个不同的实数a，b，c成等差数列，且a,c,b

22、成等比数列，则a:b:cd4 .在等差数列 中，公差12，前100项的和Soo45，则 a1a3 a55.若等差数列an中，a3a7a108,64,则 S3A. 98 B .99C. 96 D.972 .在等差数列an中，若 S41,S84，贝M ar7a18a19 a20的值为（)A. 9 B . 12C. 16 D .173 .在等比数列an中，若a26，且a5 2a4a3 120 ,则an为（)A.6B6 (1)n 2 C . 62n2D.6或6n 2n 2(1)或 6 24 .在等差数列an中，aa?a5020C),a51a52 - a1002700,则a1为（A.22.5B.21.5

23、 C .20.5D.205.已知等差数列an的前n项和为Sn,若m1,且 am1 am 1amQ S2m 138,则 m等于（)A. 38B.20C.10D. 9)6 .一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比三、解答题1.已知数列an的前n项和Sn3 2n，求an2. 一个有穷等比数列的首项为 1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。3.数列 lg100Qlg(1000 cos60°),lg(1000 cos260°),.lg(1000 cosn 160°),.的前多少项和为最大?4.已知数

24、列an的前n项和Sn1 5 9 13 . ( 1)n1(4n 3)，求弘S22S31的值。已知数列a n的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n(n(1)求数列a n的通项公式a(2)若数列bn满足bn =log 2 (a n +2),T n为数列bnan1-的前n项和，求证Tn >2 21.B2.A3.D4.C5.C6.B选择题anS4n、一市 n 1SnSnn 119, n 11 , S8S4 3,而 S4 , S8S4 , S12即 1,3,5,7,9, a17a5、2,1、,3.2. n 1 n10,n 99£,56 Sl2 , S20 S16 ,成等差数列a18a19

25、a20S20S169222a4a32a20忌a?2a42a2,a3(q1)2a2(q1)2a2 或 q227001时,2时,20010,q2,1 或 1，当 q 1 时，an 6 ；6,an6 (1)n 1 6 ( 1)a 3,an3 2n 150d 50, d1,S50a1 a50 8,2ai 49damamam0, am(amS2m 1anbn2an2bn2m 1(a1 a2m 1)22n 1,(a1 a2n二、填空题1.1.3.an1004:1:(8,2a16 2n 2 ；50厅a50)41,a120.52)0,am 2,(2 m 1)a2m 38,2m1)2222(b1 b2nJ1 1 1- 1,_ an 1an 1 an公差的等差数列,a8a9a10a112) a c 2b,ca122b200，19En 1T2n 111-印(nS7a, aba b,a 4b, c 2b2(2n 1)3(2n 1) 11,丄是以an1) ( 1)122 12(2b a)22n 13n 11为首项，以ain,an1 (727 1),a2 5ab 4b21004. 10S100佝玄伽)45, a a1000.9, a1 agg