（整理版）　简单的线性规划问题

1、35简单的线性规划问题导学目标： 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决自主梳理1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)判断不等式axbyc>0所表示的平面区域，可在直线axbyc0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证axbyc的正负当c0时，常选用_对于任意的二元一次不等式axbyc>0(或<0)，无论b为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当b>0时，axbyc>0表示直线axbyc0_的区

2、域；axbyc<0表示直线axbyc0_的区域(2)画不等式axbyc>0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式axbyc0表示的平面区域时，边界直线应为实线画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界、原点定“域2线性规划的有关概念(1)线性约束条件由条件列出一次不等式(或方程)组(2)线性目标函数由条件列出一次函数表达式(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题(4)可行解：满足_的解(x，y)(5)可行域：所有_组成的集合(6)最优解：使_取得最大值或最小值的可行解3利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐

3、标系内作出可行域(2)作出目标函数的等值线(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定_自我检测1(·北京东城1月检测)在平面直角坐标系中，假设点(2，t)在直线x2y40的上方，那么t的取值范围是()a(，1) b(1，)c(1，) d(0,1)2不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影局部表示)应是()3(·重庆)设变量x，y满足约束条件那么z3x2y的最大值为()a0 b2 c4 d64(·浙江)假设实数x，y满足不等式组且xy的最大值为9，那么实数m等于()a2 b1 c1 d25(·天津河西高三期中)实数x，

4、y满足那么z2xy的最大值为_.探究点一不等式组表示的平面区域例1画出不等式组表示的平面区域，并答复以下问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？变式迁移1(·安庆模拟)在平面直角坐标系中，有两个区域m、n，m是由三个不等式y0，yx和y2x确定的；n是随t变化的区域，它由不等式txt1 (0t1)所确定设m、n的公共局部的面积为f(t)，那么f(t)等于()a2t22t b.(t2)2c1t2 dt2t探究点二求目标函数的最值例2(·天津)设变量x，y满足约束条件那么目标函数z4x2y的最大值为()a12 b10 c8 d2变式迁移2(·山

5、东)设变量x，y满足约束条件那么目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为()a3，11 b3，11c11，3 d11,3探究点三线性规划的实际应用例3某公司方案在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？变式迁移3(·四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出a产品，由乙车间加工出b产品，甲车间加工一箱原料需消耗工时10小时，可

6、加工出7千克a产品，每千克a产品获利40元，乙车间加工一箱原料需消耗工时6小时，可加工出4千克b产品，每千克b产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间消耗工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产方案为()a甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱b甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱c甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱d甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱数形结合思想的应用例(12分)变量x、y满足(1)设z4x3y，求z的最大值；(2)设z，求z的最小值；(3)设zx2y2，求z的取值范围【答题模板】解由约束条件作

7、出(x，y)的可行域如下图由，解得a.由，解得c(1,1)由，解得b(5,2)4分(1)由z4x3y，得yx.当直线yx过点b时，最小，z最大zmax4×53×214.6分(2)z，z的值即是可行域中的点与原点o连线的斜率观察图形可知zminkob.9分(3)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点o的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|oc|，dmax|ob|.2z29.12分【突破思维障碍】1求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：2常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，

8、b)的距离(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键【易错点剖析】此题会出现对(2)(3)无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不知道从目标函数表示的几何意义入手解题1在直角坐标系xoy内，直线l：axbyc0与点p(x0，y0)，假设ax0by0c>0，那么点p在直线l上方，假设ax0by0c<0，那么点p在直线l下方2在直线l：axbyc0外任意取两点p(x1，y1)、q(x2，y2)，假设p、q在直线l的同一侧，那么ax1by1c与ax2by2c同号；

9、假设p、q在直线l异侧，那么ax1by1c与ax2by2c异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号3线性规划解决实际问题的步骤：分析并将数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数(直线)求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解 (总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1(·龙岩月考)下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是()a(0,2) b(2,0)c(0，2) d(2,0)2在平面直角坐标系xoy中，平面区域a(x，y)|xy1，且x0，y0，那么平面区域b(xy，xy)|(x，y)a的面积为()a2 b1

10、c. d.3(·广东)平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组给定，假设m(x，y)为d上的动点，点a的坐标为(，1)，那么z·的最大值为()a4 b3c4 d34(·安徽)设变量x，y满足|x|y|1，那么x2y的最大值和最小值分别为()a1，1 b2，2c1，2 d2，15(·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需送往a地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350

11、元该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于()a4 650元 b4 700元c4 900元 d5 000元二、填空题(每题4分，共12分)6(·北京改编)设不等式组表示的平面区域为d.假设指数函数yax的图象上存在区域d上的点，那么a的取值范围是_7(·长沙一中月考)实数x、y同时满足以下三个条件：xy20；x1；xy70，那么的取值范围是_8(·湖南师大月考)设不等式组表示的平面区域为m，假设函数yk(x1)1的图象经过区域m，那么实数k的取值范围是_三、解答题(共38分)9(12分)(·广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐一个的

12、午餐含12个的碳水化合物，6个的蛋白质和6个的维生素c；一个的晚餐含8个的碳水化合物，6个的蛋白质和10个的维生素c.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个的碳水化合物，42个的蛋白质和54个的维生素c.如果一个的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个的午餐和晚餐？10(12分)求：(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；(3)z的范围11(14分)(·杭州调研)预算用2 000元购置单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.

13、5倍，问桌子、椅子各买多少才行？35简单的线性规划问题自主梳理1(1)原点(0,0)上方下方2.(4)线性约束条件(5)可行解(6)目标函数3.(3)最优解自我检测57课堂活动区例1解题导引在封闭区域内找整点数目时，假设数目较小时，可画网格逐一数出；假设数目较大，那么可分xm逐条分段统计解(1)不等式xy50表示直线xy50上及右下方的点的集合xy0表示直线xy0上及右上方的点的集合，x3表示直线x3上及左方的点的集合所以，不等式组表示的平面区域如下图结合图中可行域得x，y3,8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点

14、；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242(个)变式迁移1d作出由不等式组组成的平面区域m，即aoe表示的平面区域，当t0时，f(0)×1×1，当t1时，f(1)×1×1，当0<t<1时，如下图，所求面积为f(t)saoesobcsfde×2×1t22(t1)2t2t，即f(t)t2t，此时f(0)，f(1)，综上可知选d.例2解题导引1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，

15、进而求出目标函数的最值2线性目标函数zaxby取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线axby0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的，当b<0时，那么是向下方平移b画出可行域如图中阴影局部所示，目标函数z4x2y可转化为y2x，作出直线y2x并平移，显然当其过点a时纵截距最大解方程组得a(2,1)，zmax10.变式迁移2a作出可行域如下图目标函数yxz，那么过b、a点时分别取到最大值与最小值易求b(5,3)，a(3,5)zmax3×54×33，zmin3×34×511.例3解题导引解线性规划应用问题的

16、一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z3 000x2 000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图作直线l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直线l，从图中可知，当直线l过点m时，目标函数取得最大值由方程解得x100，y200.所以点m的坐标为(100,200)所以zmax3 000x2 000y700 000(元)答该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做2

17、00分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元变式迁移3b设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知甲、乙两车间每天总获利为z280x200y.画出可行域如下图点m(15,55)为直线xy70和直线10x6y480的交点，由图象知在点m(15,55)处z取得最大值课后练习区6(1,37.解析由a(1,6)，b，koa6，kob.k，即.8.解析作可行域，如图因为函数yk(x1)1的图象是过点p(1,1)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点a(1,2)时，k取最大值，当直线l过点b(3,0)时，k取最小值，故k.9解设该儿童分别预订x，y个的午餐和晚餐，共花费z元，那么zx4y.(2分)可行域为即(6分)作出可行域如下图：(9分)经试验发现，当x4，y3时，花费最少，为2.5×44×322(元)故应当为儿童分别预订4个的午餐和3个的晚餐(12分)10解作出可行域如下图，并求出顶点的坐标a(1,3)、b(3,1)、c(7,9)(1)易知可行域内各点均在直线x2y40的上方，故x2y4>0，将点c(7,9)代入z得最大值为21.(4分)(2)zx2y210y25x2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点m(0,5)的距离的平方，过m作直