（整理版）不等式的解法举例

1、不等式的解法举例涉及不等式的内容的考题大致可分为以下几种类型：解不等式； 证明不等式； 取值范围问题； 应用问题. 试题主要有如下特点： 1突出重点，综合考查.试题中不等式常与函数、数列、解析几何、三角等进行综合. 2解含参数的不等式能较好地表达等价转化、分类整合、数形结合等数学思想. 3除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何等试题中涉及不等式的知识，加强了不等式作为一种工具作用的考查. 不等式的解法，要加强等价转化思想的训练与复习.，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解.(1)解一元一次不等式组及一元二次不等式组是解其他各类不等式的根底. 简单的一元高次

2、不等式的解法：标根法：其步骤是：分解成假设干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。(2)解高次不等式、分式不等式，分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。首先使不等式一边是零，一边是一次因式一次项系数为正或二次不完全平方式的积与商的形式注意二次因式恒正恒负的情况，然后用数轴标根法写

3、出解集尤其要注意不等号中带等号的情形.(3)解绝对值不等式的常用方法：1绝对值不等式的解法：分段讨论法最后结果应取各段的并集：如解不等式答：；利用绝对值的定义；数形结合；如解不等式答：两边平方：如假设不等式对恒成立，那么实数的取值范围为_。答：含绝对值不等式的性质：同号或有；异号或有.2含参不等式的解法：讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式. 等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形xa x2a2 axa(a0)xa x2a2 xa或xa(a0) 一般地有：f(x)g(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x)

4、 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为根底，分类讨论是关键注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但假设按未知数讨论，最后应求并集. 提醒：1解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；2不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。对于解含参数不等式，要充分利用不等式性质.对参数的讨论，要不“重复不“遗漏.一要考虑参数总的取值范围,二要用同一标准对参数进行划分，三要使得划分后，不等式的解集的表达式是确定的.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用函数方程思想和“别离

5、变量法转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法恒成立问题假设不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上假设不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上 能成立问题假设在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上；假设在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上的.恰成立问题假设不等式在区间上恰成立, 那么等价于不等式的解集为. 定理如果a,br,那么a2b22ab当且仅当a=b时，取“=.定理 如果a,b是正数，那么 (当且仅当a=b时，取“=)(1)二元均值不等式具有将“和式转化为“积式和将“积式转化为“和式的放缩功能.(2)创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因

6、式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立.(3)“和定积最大，积定和最小，即2个正数的和为定值，那么可求其积的最大值；积为定值，那么可求其和的最小值.应用此结论求值要注意三个条件： 各项或因式非负； 和或积为定值； 各项或各因式都能取得相等的值.必要时要作适当的变形，以满足上述前提. “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小这17字方针3.不等式证明(1)证明不等式的常用方法有：比拟法、综合法、分析法和数学归纳法.其他方法如：放缩法、反证法、换元法、判别式法证明不作过高要求. 不等式的性质：同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：假设，那么假设，那么，但异向不等式不可以相加；同向不

7、等式不可以相减；左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：假设，那么假设，那么； 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：假设，那么或；假设，那么；假设，那么。(2)比拟法有求差比拟法和求商比拟法两种模式.求差比拟法中的变形可以变成平方和、常数、因式的积；求商比拟法要注意对分母的符号进行讨论.比拟法在符号确定的前提下，可以转化为乘方问题来解决：如果a，b0,那么a2b2 ab. 作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；作商常用于分数指数幂的代数式；分析法；平方法；分子或分母有理化；利用函数的单调性；寻找中间量或放缩法；常用的放缩技巧有：

8、图象法。其中比拟法作差、作商是最根本的方法。 (3)利用综合法、分析法证明不等式经常使用的根本不等式有： a20,ar; a2b22ab,a,br; , a,br;abc3 ,a,b,cr; 利用根本不等式的变式： ,(其中a,br). a、b、cr，当且仅当时，取等号；  假设，那么糖水的浓度问题。分析法是从要证的结论入手，寻找其充分条件，即执果索因；综合法为分析法的逆过程，即由因导果；复杂的不等式证明要注意几种方法的结合使用. (4)涉及到数列或与自然数有关的不等式可考虑数学归纳法的运用,涉及到函数的不等式可考虑构造函数,应用导数来解决.1，不等式的解集是 a a b c d2，

9、假设是等差数列，首项，那么使前n项和成立的最大自然数n是： b a4005 b4006 c4007 d40083，的最小值为 b abcd+4，不等式的解集为 a abcd5，设函数 ，那么使得的自变量的取值范围为 a a b c d6，不等式的解集为 d a b c d7，不等式|x+2|x|的解集是 x|x1 .8，设，函数，那么使的的取值范围是 abc d9，假设正整数m满足，那么m = 。10，集合那么为 (a) (b)(c) (d)11，集合m=x-3x -28 0,n = x|-x-6>0，那么mn 为 ax|- 4x< -2或3<x7 bx|- 4<x -

10、2或 3x<7 cx|x - 2或 x> 3 dx|x<- 2或x312，设，那么 ( ) a-2<x<-1 b-3<x<-2 c-1<x<0 d0<x<113，假设,那么( )(a)a<b<c (b)c<b<a (c)c<a<b (d)b<a<c14假设x，y是正数，那么的最小值是 a3bc4d15不等式组的解集为( ) (0,)；(b) (,2)；(c) (,4)；(d) (2,4)。16假设动点在曲线上变化，那么的最大值为 abcd217假设的最大值是 . 18 集合r| ，

11、那么= .19假设集合，那么_. 20在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 abcd221假设a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,那么2a+b+c的最小值为a-1 (b) +1 (c) 2+2 (d) 2-2解析：假设且 所以， ，那么()，选d. 22假设且，那么的最小值是a b3 c2 d解：abc2a2b2c22ab2ac2bc12bc2³12，当且仅当bc时取等号，应选a23不等式:>0的解集为c(a)( -2, 1)(b) ( 2, +)(c) ( -2, 1)( 2, +)(d) ( -, -2) ( 1, +)“假设，那么a假设，那么或，那么或

12、，那么或，那么25假设函数f(x) = 的定义域为r，那么a的取值范围为_.26某公司有60万元资金，方案投资甲、乙两个工程，按要求对工程甲的投资不小于对工程乙投资的倍，且对每个工程的投资不能低于5万元，对工程甲每投资1万元可获得万元的利润，对工程乙每投资1万元可获得万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个工程上共可获得的最大利润为万元万元万元万元b27，为实数，且.那么“是“的 a. 充分而不必要条件 b. 必要而不充分条件 c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件【答案】b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】显然，充分性不成立.又，假设和都成立，那么同向不等式相加得 即由“

13、 a. 12万元 b. 20万元 c. 25万元 d. 27万元【答案】d3，40，6o，0913【解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，那么有关系： a原料 b原料甲产品吨 3 2 乙产品吨 3 那么有： 目标函数 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当3，5时可获得最大利润为27万元，应选d29不等式对任意实数恒成立，那么实数的取值范围为 abw.w.w.k.s.5.u.c.o.m c d【答案】a【解析】因为对任意x恒成立，所以30，那么的最小值是 a2bc4d5【答案】c解析因为当且仅当，且，即时，取“=号。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 31设变量满足约束条

14、件那么的最大值为a0 b2c4 d6解析：不等式组表示的平面区域如下图，当直线过点b时，在y轴上截距最小，z最大由b2,2知432x>0，y>0,x+2y+2xy=8，那么x+2y的最小值是a. 3 b. 4 c. d. 解析：考察均值不等式，整理得 即，又，33设变量x，y满足约束条件，那么z=2x+y的最大值为a.2 b. 4 c. 6 d. 8 解析：不等式组表示的平面区域如下图当直线过点b3,0的时候，z取得最大值634设，那么的最小值是a2 b4 c d5解析： 0224当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b,c满足条件.答案：by0x70488070(15,55)35某加工厂用某原料由甲车间加工出a产品，由乙车间加工出b7千克a产品，每千克a产品获利40元，乙车间加工一箱原料需消耗工时6小时可加工出4千克b产品，每千克b产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间消耗工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获