相似三角形的性质与判定讲义

1、相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例.(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比.(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等aA二、相似三角形的等价关系BC反身性：对于任一 ABC有 ABCs ABC .对称性：若 ABCs A'B'C',则 A'B'C's ABC .传递性：若 ABCs A'B'C ,且 A'B'C

2、s ABC，则 ABCs ABC.三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形 相似.5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么 这两个三角形相似.简述

3、为：三边对应成比例，两三角形相似.6、判定直角三角形相似的方法：以上各种判定均适用.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个直角三角形相似.(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的。每一条直角边是这条直角边在斜边上 的射影和斜边的比例中项。公式 RtABC中，/ BAC=90° , AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1) (AD) 2=BD - DC, (2) (AB) 2=BD - BC , (3) (AC) 2=CD - BC。【例题精讲】：.E1、

4、如图A匚DfbZ_KaBE DABCD FC 54cm, CE 27cm BE 32cm CDA/米A20米B18米C16米D15米AMC 30 MN 2m BG 1m,N,CABAJ/T米米J B 8米 0.84米MNCAuaE D PA 、 ABFf D G C1.5 2.5 30B，E3 B 3 C 2米 D 1.5米1.6m 1.2m 9mAB AE 21mCE 2.5m B CD 1.6m ABnunununu2.如图 2,AD/ EF/BC则图的相似三角形共有对.C3 .如图 3,正方形 ABCB上是AD的中点,BM±CE,AB=6,CE=3'5，则BM=.4 .

5、 A ABC勺三边长为 <2 , 府 ,2, A A'B'C'的两边为1和延，若 ABJ A'B'C',则 A'B'C' 的笫三边长为.5 .两个相似三角形的面积之比为 1 : 5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长6 .如图 4,RtAABC，/C=900,D为 AB的中点,DE± AB,AB=20,AC=12M四边形 ADEC勺面积为7 .如图 5,Rt ABC43，/ ACB=9(°,CD± AB,AC=8,BC=6,(JAD=,CD=8 .如图 6,矩形 ABCD ,AB=

6、8,AD=6,E座直平分 BD,则 EF=.9 .如图 7,AABC，/A=/DBC,BC=T,&bcd： Saabc=2 ： 3,则 CD=10 .如图 8,梯形 ABCD ,AD/ BG两腰 BA与CD勺延长线相交于 P,PF± BC,AD=,BC=6,EF=3!JJPF=.11 .如图 9,AABC ,DE/BC,AD： DB=2： 3,则 Sa ade ： & abe=12 .如图10,正方形ABCDrt接于等腰 PQR/ P=9C0,则PA : AQ=13 .如图 11,A ABC43 ,DE/ FG/ BC,AD ： DF ： FB=1 ： 2 ： 3,贝

7、£如边形DFGE ： Ss边形FBCG=14 .如图 12,A ABC，中线 BDCEf目交于 O点,Saade=1,则 Sra边形bcdE=15 .已知:如图， ABO ,CE! AB,BFL AC求证： AEM ACB.16 .已知：如图， ABC 中,AD=DB/ 1 = /2.求证： ABJ EAD.17 .已知，如图，在 ABC中，D为BC的中点，且 AD=AG DE± BC, DE与AB相交于点 E, ?EC 与 AD 相交于点 F. (1)求证： ABJ FCR (2)若 观 fce=5, BC=1Q求DE的长。【课外练习】1 .如图，在 ABC中，CD平分/

8、 ACB,过D作BC的平行线交 AC于M,若BC=m,AC=n,则 DM=()A、mnm nCD -m nmn2 .如图，在 口 ABCD中，E是BC的中点，且/ AEC叱DCE下列结论不.正.确.的是()A、BF=-DFB Safad=2SafbeC、四边形AECD是等腰梯形 D / AEB=Z ADCAE3 .已知ZABC ,延长BC到D,使CD BC .取AB的中点F ,连结FD交AC于点(1)求箜的值;AC(2)若 AB a, FB EC ,求 AC 的长.74、如图，已知过 A (2, 4)分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M、N,若点P从O 点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运 动，1分钟可到达A点。(1)经过多少时间，线段 PQ的长度为2(2)写出线段PQ长度的平方y