12代数系统－半群与群11-13ppt课件

1、(3)(3)半群中元素的幂半群中元素的幂 对于半群对于半群V= o V= o 是可结合的，元素的幂是可结合的，元素的幂: : x S x S 规定：规定：x1=x ,xn+1 = xn o x n Z+ x1=x ,xn+1 = xn o x n Z+ xn o xm = xn+m (xn)m = xnm xn o xm = xn+m (xn)m = xnm （4 4独异点中的元素的幂独异点中的元素的幂: : 独异点独异点 V= S, oV= e x S x S 规定：规定：x0= e ,xn+1 = xn o x n N x0= e ,xn+1 = xn o x n N (5) (5)子半群

2、和子独异点子半群和子独异点 如果如果V= SV= o 是半群，是半群， T TS S， T T对对V V中的运算中的运算o o封闭，那么封闭，那么 To 是是V V的子半群的子半群 如果如果V= SV=e 是独异点，是独异点， T TS S， T T对对V V中的运算中的运算o o 封锁，且封锁，且e Te T，那么，那么= T=e 是是V V的子独异点的子独异点上次课主要内容上次课主要内容一、半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统一、半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统(1)(1)设设V=S V= o 是代数系统，是代数系统，o o为二元运算，如果为二元运算，如果o o是可结合的，

3、则称是可结合的，则称V V为半群为半群(2)(2)设设V=S V= o 是半群，若是半群，若eSeS是关于是关于o o运算的单位元，则称运算的单位元，则称V V是幺半群，是幺半群， 也叫做独异点有时也将独异点也叫做独异点有时也将独异点V V记作记作(S(S， o o ，e)e)。例：设例：设S=( a 0 ) | a,bR S=( a 0 ) | a,bR 二阶矩阵，其上的运算二阶矩阵，其上的运算* *为矩阵的乘法为矩阵的乘法 0 b 0 b 二阶单位矩阵为幺元二阶单位矩阵为幺元 a 0a 0 V= S, V= ,e 为独异点为独异点 T= (0 0)|a R T= (0 0)|a R T T

4、是是S S的子集且对运算的子集且对运算* *封锁，封锁， 则则V1= T, V1= 是是V V的子半群的子半群 由于由于 e e不属于不属于T ,T ,且且V1V1中没有幺元中没有幺元 所以所以V1V1不是不是V V的子独异点的子独异点 二、半群和独异点的同态映射二、半群和独异点的同态映射 (1)(1)设设Vl= SlVl= o ，V2=S2V2= 是半群是半群 函数函数 f f ：Sl S2 Sl S2 若对任意的若对任意的x,y Slx,y Sl有有 f(x o y ) = f(x) f(x o y ) = f(x) * * f(y) f(y) 运算的象等于象的运算运算的象等于象的运算 则

5、称则称f f为半群为半群VlVl到到V2V2的同态映射，简称为同态的同态映射，简称为同态 (2)(2)设设Vl= SlVl= e1，V2=S2V2= ,e2 是独异点，是独异点， 函数函数 f f ：Sl S2Sl S2若对任意的若对任意的x,y Slx,y Sl有有 f(x o y ) = f(x) f(x o y ) = f(x) * * f(y) f(y) 运算的象等于象的运算运算的象等于象的运算 且且 f(e1)=e2f(e1)=e2 则称则称f f为独异点为独异点VlVl到到V2V2的同态映射，简称同态的同态映射，简称同态例：上面的例子可定义例：上面的例子可定义V V 到到V1V1的

6、同态映射的同态映射 f f 是个半群自同态是个半群自同态例：例：与与是二个半群及独异点是二个半群及独异点建立映射建立映射 f : N N4 f(x)= x (mod 4) f : N N4 f(x)= x (mod 4) 可验证可验证f f是保持运算的是保持运算的例：设例：设S=a,b,c S=a,b,c 运算表为右边，运算表为右边， V=S,V= 为半群为半群 构造构造 V1= V1= 定义函数定义函数 fa(x)=afa(x)=a* *x fa x fa SSSS 其中的运算其中的运算o o为函数的复合为函数的复合 则则V1V1也是半群也是半群 a b ca a b cb b c a c

7、c a bfa(a)=a fa(b)=b fa(c)=cfb(a)=b fb(b)=c fb(c)=afc(a)=c fc(b)=a fc(c)=b建立建立S S到到SSSS的映射的映射 h: S SSh: S SS h(x)=fx h(a h(x)=fx h(a* *b)=fab)=fa* *b b由于由于 fafa* *b bx)=(ax)=(a* *b)b)* *x=ax=a* *(b(b* *x)=fa(fb(x)x)=fa(fb(x) =(fao fb)(x) =(fao fb)(x)所以有所以有 h(ah(a* *b)=fab)=fa* *b=faofb b=faofb 是保持运算

8、的映是保持运算的映射射 所以所以 h h是是V V到到V1V1的半群同态的半群同态若取值域若取值域 h hS)= fa,fb,fc S)= fa,fb,fc SS SS 那么那么 V2= V2= 那么那么 h h是是V V到到V2V2的半群同构的半群同构O fa fb fcfa fa fb fcfb fb fc fafc fc fa fb例：给定一个正方形，定义以中心做变例：给定一个正方形，定义以中心做变换：换：r1r1：保持不动：保持不动 r2r2：逆时针旋转：逆时针旋转9090度度 r3r3：逆时针旋转：逆时针旋转180180度度 r4r4：逆时针旋转：逆时针旋转270270度度定义两个变

9、换的合成运算定义两个变换的合成运算aob aob 表示先进行表示先进行a a变换再进行变换再进行b b变换变换可看出：对运算封闭可看出：对运算封闭 运算具有结合律运算具有结合律 有幺元有幺元r1r1 任意元素任意元素a a关于合成运算均有逆元关于合成运算均有逆元a-1a-1 使得使得aoa-1= a-1oa= r1aoa-1= a-1oa= r1 很多代数系统均具有以上三个性质很多代数系统均具有以上三个性质把具有以上三个性质的代数系统抽象出把具有以上三个性质的代数系统抽象出来称为来称为“群群”O r1 r2 r3 r4r1 r1 r2 r3 r4r2 r2 r3 r4 r1 r3 r3 r4

10、r1 r2 r4 r4 r1 r2 r3 10101 1 群的定义与性质群的定义与性质一、群的定义一、群的定义 1 1、定义、定义 设设G 是代数系统，是代数系统， 为二元运算为二元运算 假设假设 运算是可结合的，存在单位元运算是可结合的，存在单位元 e Ge G， 并且对并且对G G中的任何元素中的任何元素x x都有都有x-1 Gx-1 G，则称，则称G G为群。为群。 在含幺半群的基础上添加了条件：每个元素均有逆元在含幺半群的基础上添加了条件：每个元素均有逆元 群是半群和独异点的特定情况群是半群和独异点的特定情况, ,有关半群和独异点的性质有关半群和独异点的性质在群中均成立在群中均成立例：

11、常规的群例：常规的群Z+，Q+，R+都是群都是群而而 N+， Z+，Z+Z+正整数正整数 不是群不是群例：设例：设n n是大于是大于1 1的正整数，的正整数， Mn (R) n+ n阶实矩阵的加法是群阶实矩阵的加法是群 Mn (R) n n阶实矩阵的乘法不是群阶实矩阵的乘法不是群 任何矩阵并非均可逆任何矩阵并非均可逆例：例：P(B) + +为集合的对称差运算是群为集合的对称差运算是群 每个集合的逆元是什么？幺元每个集合的逆元是什么？幺元? ?例：例： Zn +n Zn = 0 Zn = 0，1 1，2 2， ，n n一一11 +n +n为模为模n n加法加法 是群是群 （幺元（幺元 0 0 、

12、每个元素、每个元素x x的逆元为的逆元为n-xn-x）例：例： AA oo o为函数的复合运算为函数的复合运算 是否是群？是否是群？ A A上的双射函数构成的集合上的双射函数构成的集合? ?2 2、一个典型的群、一个典型的群 例：设例：设G Ga,b,c,e a,b,c,e 为为G G上的二元运上的二元运算算 G G的运算具有以下的特点：的运算具有以下的特点： e e为为G G中的单位元；中的单位元； 运算是可交换的；运算是可交换的； G G中任何元素的逆元就是它自己；中任何元素的逆元就是它自己； 在在a,b,ca,b,c三个元素中，任何两个元素三个元素中，任何两个元素 运算的结果都等于另一个

13、元素运算的结果都等于另一个元素 称这个群为称这个群为K1einK1ein四元群，简称四元群四元群，简称四元群 e a b c e e a b ca a e c bb b c e a c c b a e 二、特殊的群二、特殊的群 1 1、定义、定义11115 5 (1) (1)若群若群G G是有穷集，则称是有穷集，则称G G是有限群是有限群 否则称为无限群否则称为无限群 群群G G的基数称为群的基数称为群G G的阶的阶 (2)(2)只含单位元的群称为平凡群只含单位元的群称为平凡群 (3)(3)若群若群G G中的二元运算是可交换的，中的二元运算是可交换的， 则称则称G G为交换群或阿贝尔为交换群或

14、阿贝尔(Abel)(Abel)群群例：例：Z+，R+ 都是无限群都是无限群 Zn +n 是有限群是有限群 K1einK1ein四元群是四元群是4 4阶有限群阶有限群 以上均为可交换群以上均为可交换群 Mn (R) n n阶可逆实矩阵的乘法是群阶可逆实矩阵的乘法是群 单位矩阵为幺元单位矩阵为幺元 不是交换群不是交换群三、群的性质三、群的性质1 1、定理、定理11112 2 设设G G为群，为群， a,bG a,bG 方程方程 ax=bax=b和和ya=bya=b在在G G中有解且有惟一解中有解且有惟一解证明：证明： 因为至少有一个因为至少有一个x x满足满足ax=b,ax=b,即即x=a-1bx

15、=a-1b如果如果x x是是G G中满足中满足ax=bax=b的任何元素的任何元素有有 x=ex=(a-1a)x=a-1(ax)=a-1bx=ex=(a-1a)x=a-1(ax)=a-1b故故 x=a-1bx=a-1b是满足等式的唯一元素是满足等式的唯一元素 同理可证满足同理可证满足ya=bya=b的唯一解为的唯一解为y=ba-1 y=ba-1 2 2、群满足消去律、群满足消去律定理定理10102 2 设设G G为群，为群， a,ba,b，cG cG 1) 1)假设假设 ab = ac ab = ac 那么那么 b = cb = c 2) 2)假设假设 ba = ca ba = ca 那么那么

16、 b = cb = c证明：证明： 因为因为G G中的每个元素都有逆元中的每个元素都有逆元 a-1(ab) = b a-1(ac) = ca-1(ab) = b a-1(ac) = c 由于由于 a-1(ab) a-1(ab) a-1(ac) a-1(ac) 所以所以 b = cb = c例例: :设设 G G 解方程解方程 a a X X 因为该群中的每个集合的逆元因为该群中的每个集合的逆元为其本身为其本身X Xa a1 1 a a解方程解方程YYa,ba,bbbY=ba,b-1=aY=ba,b-1=a3 3、设设G G为群，为群， a,bG a,bG （a a* *b b）-1= b-1-

17、1= b-1* * a-1 a-1证明：证明： （b-1b-1* * a-1 a-1）* *(a(a* *b) = b) = (a (a* *b) b) * *（b-1b-1* * a-1 a-1）= = 例例 设设G G为群，为群， a,bG a,bG ，k Z+ k Z+ 证明证明: (a-1ba)k = a-1ba : (a-1ba)k = a-1ba 的充分必要条件是的充分必要条件是 bk =b bk =b 证证 充分性充分性 展开展开 (a-1ba)k (a-1ba)k 因为条件因为条件bk =b bk =b a-1baa-1ba 必要性必要性 将条件左边展开将条件左边展开 利用消去

18、律得到利用消去律得到bk =b bk =b 例例 设设G G为群，为群， a,bG a,bG 有有ab)2=a2b2 ab)2=a2b2 证明证明: ab = ba : ab = ba 证证 展开条件等式展开条件等式 (ab)2 (ab)2 a2b2 a2b2 abab abab aabb aabb 利用消去律得到利用消去律得到4 4、 证明证明 幺元是群中唯一的等幂元幺元是群中唯一的等幂元 证证: : 设设x x是任意的等幂元是任意的等幂元 即即 xx=x xx=x e = x-1x =x-1 (x x) = ( x-1 x ) x = e x = x e = x-1x =x-1 (x x)

19、 = ( x-1 x ) x = e x = x 该性质也是群的一个特征不满足该性质的不是群）该性质也是群的一个特征不满足该性质的不是群）N10, 10 中的等幂元有中的等幂元有1 1、0 0、5 5、6 6，等幂元不唯一故不是，等幂元不唯一故不是群而是独异点群而是独异点 5 5、群中元素的幂、群中元素的幂( (群中元素可以定义负整数次幂群中元素可以定义负整数次幂 ) ) 定义：定义： G G是群，是群， aG aG ， n Z n Z 则元素则元素a a的的n n次幂次幂: : e n = 0 e n = 0 规定：规定：an = an-1a n0an = an-1a n0 (a-1)m n

20、0 n=-m (a-1)m n0 n=-m 由于群的所有元素由于群的所有元素a a都有唯一的逆元都有唯一的逆元a-1,a-1,所以可以定义负整数次幂所以可以定义负整数次幂群中元素可以定义负整数次幂群中元素可以定义负整数次幂 : :即：即： a-r=(ar)-1 a-r=(ar)-1 性质：性质： （ar)-1 = (a-1)rar)-1 = (a-1)r在在ZnZn中中 ( (设设 n=5n=5） 幺元幺元0 01-11-14 24 21 13 33 31 12 2 4 41 11 01 01 10 0那么：那么：2 23 3（2 21 13 33333 3 3535353534 4元素幂的性

21、质元素幂的性质定理定理10101 1 设设G G为群为群 则则G G中的幂运算满足：中的幂运算满足：(1)(1)aG aG ，(a-1)-1 = a(a-1)-1 = a(2)(2)a,bG,(ab)-1=b-1a-1a,bG,(ab)-1=b-1a-1(3)(3)aG anam=an+m n,mZ aG anam=an+m n,mZ (4)(4)aG (an)m=anm n,mZ aG (an)m=anm n,mZ (5)(5)若若G G为交换群，那么为交换群，那么(ab)n=anbn (ab)n=anbn 6 6、元素的阶、元素的阶定义定义10104 4 设设G G是群，是群，a Ga G

22、，使得等式，使得等式: ak=e: ak=e 成立的最小正整数称为成立的最小正整数称为a a的阶的阶(a(a的周期），的周期）， 记作记作 a a=k =k 这时也称这时也称a a为为k k阶元阶元 若不存在这样的正整数若不存在这样的正整数k k，则称，则称a a为无限阶元为无限阶元例如例如Z5+5中，中， 25=0 15=0 35=0 4525=0 15=0 35=0 450 0 2 2、1 1、3 3和和4 4是是5 5阶元阶元 0 0是是1 1阶元阶元在在 Z6 +6 中中 2 2和和4 4是是3 3阶元，阶元，3 3是是2 2阶元，阶元， 1 1和和5 5是是6 6阶元，阶元，0 0是是1 1阶元，阶元，在在KleinKlein四元群中四元群中 e e为为1 1阶元阶元 其他元素都是其他元素都是2 2阶元阶元 在在Z+中，中，0 0是是1 1阶元，其他的整数都是无限阶元阶元，其他的整数都是无限阶元 定理定理10.3 10.3 设设G G为群，为群，a Ga G，且，且|a|=r|a|=r 设设k k是整数，那么是整数，那么1 1） ak=e ak=e 当