9平面向量的基本定理及坐标表示解析

1、1/14第 9 课 平面向量的基本定理及坐标表示体育中心江超【教学目标】一、知识目标1.了解平面向量的基本定理及其意 义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二、能力目标通过平面向量坐标表示的推导培养学生归纳、猜想的能力.三、情感目标设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会数学知识应用的广泛性.【教学重点】推导并理解平面向量基本定理.【教学难点】平面向量基本定理的运用.【知识点梳理】知识点 1 平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

2、意向量a，有且只有一对实数i, 2,使a a = = - -2 2e e2 2把不共线向量 ，色叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.知识点 2 面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a可表示成a=xi yj，由于a与数对(x, y)是一一对应的，因此把(x, y)叫一 扌 * 一* 一做向量a的坐标，记作a = (x, y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.(2 )向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置

3、无关，只与其相对位置有关系. 知识点 3 平面向量的坐标运算(1)设a=(Xi,yJ巾二区小)，则a b=(%屜，y?);2/14(2)设a=(Xi,yJ巾=区小)，则a-b=(xi-X2,yi-y2);3/14a = -(2d -c)3r 2 r 2，即AB=_(2d-c),AD=_(2c-d).233b (2c-d)3【点评】考查平面向量基本定理的应用.变式 1：如果 e1, e2是平面a内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（(3)设A(Xi,yJ,B(x2,y2),则OB - OA = (X2 -xi, y2 -yi);(4)设a=(x, y),.二R，则a=( x, y)；(5

4、)设a=(xi,yi),(6)设a=(x, y),则a= Jx + y.知识点 4 平面向量平行（共线）的坐标表示4 4_*屮 耳一（1）如果a = 0，则a/b二有且只有一个实数，使得a（没有坐标背景）,a - 一（2）如果a=（x（, y1）,b=（x2,y2），则a/ b=x1y2-x2y0（坐标背景） .【典型例题型一、平面向量基本定理及其应用例题 1 :如上图，设 O 是 II ABCD 两对角线的交点， 有下列向量组:T T TDC:OD与OB其中可作为该平面内所有向量基底的是（ 7D 与 7B ;DA与BC;CA与A . B . C. D .t T r【解析】AD与AB不共线，D

5、AOD/OB，则可以作为该平面内所有向量的基底.故选/BC,CA与不共线,【点评】 考查向量可以做为基底的条件.例题 2:如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M , N 分别为 DC,c, d 表示AB,AD.【解析】设 AB=a,AD= b.因M,N分别为CD,BC的中点，所以BN=2b，DM冷 a,*b - a因而2=1d = a bL 2BC 的中点，已知=d，试用4/14A .已知实数h,h,则向量he1+he2不一定在平面a内B .对平面a内任一向量 a，使 a=X）e1+he e的实数 入,h有无数对5/14C .若有实数 入,h使入 ei+2= 0,贝 V= =0D .对平面a

6、内任一向量 a,使 a=hei+he e的实数h,h不一定存在【解析】选项 A 中，由平面向量基本定理知hei+he2与 ei, e2共面，所以 A 项不正确；选项 B 中，实数h,h有且仅有一对，所以 B 项不正确；选项 D 中，实数h, h一定存在，所以 D 项不正确；很明显 C 项正确.变式 2:设 ei与 e2是两个不共线向量,a=3ei+4e2,b= 2ei+5e2,若实数h卩满足ha +曲=5ei e2,求入的值.h+山=(3hi+4h2)+(-2jei+5 團2)=(3h2p)eh(4h5p)e2.3九2人=5,又h+ pb=5ei-e2.由平面向量基本定理，知丿解之得 h=i,

7、尸-i.4九+5丸=-i.题型二、平面向量的坐标运算例题 3:已知AB= a,且A, 4 ,B,2 又=*，则h等于()A(ii)A. I8,)CliC. 8,【解析】a=AB=2 g, 4 = J 4,2；,h=*a= J j，ij,故选 A.【点评】会由已知点写出向量的坐标形式.例题 4:设向量 a= (i, 3), b= ( 2,4), c= ( i, 2)，若表示向量 4 a, 4 b 2c, 2( a c), d 的有向线段 首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )B . ( 2,6)D . ( 2, 6)【解析】由题意，得 4 a+ 4b 2c+ 2( a c) + d= 0,贝

8、U d= 4a 4b+ 2c 2(a c) = 6a 4b+ 4c= ( 2, 6).故选 D.【点评】主要考查平面向量的坐标运算.变式 3:已知向量 a、b 满足：a+ b= (i,3), a b= (3, 3)，贝 U a、b 的坐标分别为()A . (4,0)、( 2,6)B. ( 2,6)、(4,0)C . (2,0)、( i,3)D . ( i,3)、(2,0)【解析】 a + b= (i,3)a b= (3, 3) + 得：a= (2,0).得：b= ( i,3).T TTT T 变式 4:已知平面上三个点A(4,6), B(7,5), C(i,8)，求AB,AC,ABAC,AB

9、- AC, 2AB+：AC.【解析】 A(4,6), B(7,5), C(i,8),【解析】 由题设A . (2,6)C. (2, 6)6/14AB= (7 4,5 6) = (3, i),AC= (i 4,8 6) = ( 3,2),7/141)+ (-3,2) = (0,1),-1)( 3,2) = (6, 3),题型二、平面向量共线的坐标表示例题 5:已知向量 a= (1,1), b= (2, x)，若 a+ b 与 4b 2a 平行，则实数 x 的值为()A 2B . 0C . 1D . 2【解析】a+ b= (3,1 + x), 4b 2a= (6,4x 2)，由于 a+ b 与 4

10、b 2a 平行， 贝 U 3(4x 2) 6(1 + x)= 0，解得 x= 2.故选 D.【点评】考查向量的坐标运算，向量共线的坐标表示.例题 6:已知向量 a、b 不共线，c= ka + b(k R), d= a b.如果 c/ d,那么()A . k= 1 且 c 与 d 同向B. k= 1 且 c 与 d 反向C. k= 1 且 c 与 d 同向D. k= 1 且 c 与 d 反向【解析】不妨设 a = (1,0), b= (0,1).依题意 d= a b= (1, 1), 又 c= ka+ b= (k,1)，: c/ d,. 12 ( 1) =0, k = 1, 又 k = 1 时，

11、c= ( 1,1)= d, c 与 d 反向.故选 D.【点评】考查平面向量共线的坐标运算，会取特殊值解题.变式 5:已知向量 a= (3,4), b= (sina,coso)，且 a / b,贝Utana等于()DA= AD= (AB+BC+CD) = (6,1) + (x, y) +( 2, 3) = ( x 4, y + 2),BC= (x, y).又BC/DA,x( y+ 2) y( x 4) = 0解得 x+ 2y= 0，即 x, y 应满足的关系为 x+ 2y= 0.【解析】3/ a / b, 3cosa4sina=0. 4sina=3cosa. tana=一.故选 A .变式 6

12、:TTT T已知向量 AB= (6,1),BC= (x, y),CD= ( 2, 3)，当BC/ DA 时，求实数 x, y 应满足的关B.- 3D.-3系.【解析】由题意，得ABAC=(3,AB AC= (3,2AB+1=2(3, 1) + * 3,2) =9，8/14【方法与技巧总结】1、向量的坐标表示体现了数形结合的紧密关系，从而可用 使用数形结合的思想方法；2、向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.数”来证明 形”的问题，因此解题过程中应注意9/14A. e= (0,0)e2=(1,2)B. e二(-1,2)e?= (5,7)C.0 = (3,

13、5)e2=(6,10)13D.一3)(11 13、一,一i/2cosa,V2sino)(aR)，实数m、n 满足ma+ nb=c,贝 U(m3)2+n2的最大值为_14/1410.已知 0(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP二忌(1) t 为何值时，P 在 x 轴上？在 y 轴上？ P 在第二象限?(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.tAB.试问:15/14【训练题组 C】1.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量0A= a,OB=b,其中 a = (3,1),b=(1,3).OC=入a b且 OWWI,C 点所有可能的位置区域用

14、阴影表正确的是()ABCDAG BG2.如图， ABC 中，AD ABC 边上的中线且 AE=2EC，求 及 的值.GD GE3 .如图，G 是厶 OAB 的重心，P、Q分别是边 OA、OB 上的动点，且P、G、Q三点共线.(1)设PG PQ，将OG用、4.如图所示，已知在厶ABC 中，D、E、L 分别是 BC、CA、AB 的中点，设中线AD、BE 相交于点 P.求证：AD、BE、CL 三线共点.(三角形三条中线共点)5.已知向量 u = (x, y)与向量v(y,2y x)的对应关系用 =f(u)表示.(1)求证：对于任意向量a, b 及常数 m, n,恒有 f(ma+ nb) =mf(a)

15、 + nf(b)成立;(2) 设 a = (1,1), b= (1,0)，求向量 f(a)及 f( b)的坐标；M16/141-k= 2解得k=2.5.【答案】D ;因为点 M 的位置不确定，则点N 的位置也不确定.6.【答案】D a = (1,2), b= (3,1), c= (11,7),A(11,7) = k(1,2) + 1(3,1),11 = k+ 3l即弋，解得：k= 2, l = 3.17= 2k+ l7.【答案】B ; a + 2b= (5,5), 3a+ ?b= (3 + 2 入 9 +X,由条件知，5*9 +X 5*3 + 2X= 0,X=6.&【答案】D ;由 A

16、(2, 2), B(4,3)得，AB = (2,5), 而 p=(2k 1,7),由平行的条件 X1y2 X2y1= 0 得，192* (2 k 1) * = 0, k= 10.3_9.答案】(一 1,2；设 P(x, y),贝y MP= (x 3 , y+ 2) ,MN= ( 8,1).T MP =MN, (x3,y+2)=；(8,1).x 3= 41 x = 1即1,解得3， P( 1, 3).y+2=1|y=-321110. 答案】一；由a/b得3x =1, x =-33211.答案】；可通过向量的减运算得到BA、BC的坐标，再利用共线条件求解.3112. 答案】.213. 答案】7 ,

17、 5.14.答案】（9,12）.解析：由于 a , b 同向，则b=阳=（3 ,4 ）.其中，0.【参考答【训练题组 A】1【答案】B；利用q/e2x2x2%=0 可得只有（B）中e,e2不平行.2.【答案】3.【C;根据向量相等，则对应坐标相等列关于所求点的横纵坐标的方程，求解即可.AB+BC+CD=a+ 2b 4a b 5a 3b=- 8a 2b= 2( 4a b) = 2BC,即AD= 2BC，二 AD / BC 且 AD 托 C.4. 【答案】A ；DB=CBCD= ei+ 2e?.又 A、B、D 三点共线，则DB和是共线向量,17/14又 | b |= 15 , .(3 )2(4 )

18、2=15,5 =15= =3, b =(9,12).18/1415.【解析】(1) 3a+ b 2c= 3(3,2) + ( - 1,2) - 2(4,1) = (9,6) + (- 1,2) - (8,2) = (9 - 1 - 8,6+ 2 -2) = (0,6).(2) a = mb+ nc, m, n R,(3,2) = m( 1,2) + n(4,1) = ( m+ 4n,2m + n).(3) a+ kc= (3 + 4k,2+ k), 2b- a = (-5,2).又 (a+ kc) / (2b- a)，二(3 + 4k) 2- (-5) 2 + k) = 0.【训练题组 B】1

19、.【答案】-1 .2.【答案】（- .5,-2.5）注：在此题中，D 点坐标是惟一的，若求以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标应有三种情况如图，还有以 BC 为对角线作平行四边形 ACD2B,以 AB 为对角线作平行四边形 D3ACB.4.【解析】A(7,8),B(3,5),C(4,3),. AB = (3 - 7,5 - 8) = (-4,-3),AC =(4一7,3-8) = (-3,-5).又；D 是 BC 的中点,m + 4n = 3,2m + n = 2.解得m=9,58二m=9，n=9.3.解析】设顶点 D 的坐标为（X1,yj,AB =(-1 -(-2),3

20、-1)(1,2) = (3 -x1,4 -y1)1=3一人，即丿2 = 4 yi.顶点 D1的坐标为（2, 2）8X1二19/14AD=(AB AC)二丄(一4一3,-3-5)2 217了(-7,-8) =(-2,-4)又幕 M , N 分别是 AB , AC 的中点,20/14x+ 2=3.F 是 AD 的中点，DF - - FD - -1AD - -1(一7,-4)=(7,2).2224答案：DF =(7,2).4n = 05.答案】(1,1) ; a= (1, m), b= (1 n,1 + n),由 a = b 得彳 , PQQ= (1,1).m= 16.解析】(1)AB= ei-e2

21、,BC=3+2e2,CD=-8ei-2e2,11AC=AB+BC=4ei+e2=(-8ei-2e2)=CD, AC与CD共线,22又AC与CD有公共点 C,. A、C、D 三点共线.(2)AC=AB+BC=(ei+e2)+(2ei-3e2)=3ei-2e2,/ A、C、D 三点共线,AC与CD共线，从而存在实数 ，使得AC=CD,即 3e!-2e2= (2ei-ke2).由平面向量的基本定理，得3=2，解之得 =22 - k3，k=47.【解析】(1 )( a+kc)/( 2b a),又 a+kc=(3+4k,2+k),2 b-a=(- 5,2),23+4k)(5)X2+k)=0,k=1613

22、(2)Tdc=(x4,y1),a+ b=(2,4),又(dc)/(a+b)且|dc|=1,4 x_4_2 y_1 =02 2l(x4)+(y1)=1，解得丿x =4+ 疤或*,25y =1 +-/54岳x =4 52託y =1 -y 520+75 5+2520-75 5-2%/5，L5 5丿或 d=155丿二d=y)，则AM=M(x,&【解析】设AB,1即(x+ 2, y 1) = -(3,2),y 1= 1、 y= 2 M 点的坐标为2,2.21/14同样可求得 P 点坐标为 一 1, 3 , Q 点坐标为 0, 9.【解析】由 ma+nb=c 得 m(1,1)+n(1, 1)=(V

23、2cosa,近 sin,22/14J2J2m=(sina+cosa),n=(cosasina),(m3)2+n?=m?+n?6m+9=103.；2(sina+cos a)=106sin(a+(m 3)2+n2的最大值为 16.10.【解析】 0(0,0), A(1,2) , B(4,5),0A=(1,2), AB =(3,3),T T TOP =OA t AB=(1+3t,2+3t).2若 P 在 x 轴上，则 2 + 3t= 0,解得 t= 2;若 P 在 y 轴上，则 1 + 3t= 0,解得 t =-;3H + 3t021若 P 在第二象限，则，解得一 -t033(2) 0A = (1,

24、2), PB = P0 + 0B = (3 3t,3 3t), 若四边形 0ABP 为平行四边形， 3 3t= 1则 0A = PB，而*无解，3 3t= 2四边形 0ABP 不能成为平行四边形.【训练题组 C】1.【答案】A ;0C=入a ub2(3,1) + 心,3) = (3+卩，+ 30./ 0X0 1 - 0W33+产4,03+3 口三4且 3?+3 卩AGBG2.【解析】设，BD=DC，即AD-AB=AC-AD,GDGE1AD= (AB+AC).又AG=入GD=入(D-AG),2-AG=AD=AB+AC.1+k2(1+h)2(1+扎)m+n=2cosamn=2si na23/14又BG=uGE,即卩AG-AB=0(AE-AG),- (1+0)AG=AB+uAE, AG=AB12 -AE,又AE=3AC,24/14 C、P、L 三点共线. AD、BE、CL 三线共点.AG=AB+AC.1+P3(17)比较，：2(1 )2一3(1 9-4,解之，得3i A =2GD GE32.3.【解析】（1）OG =0P PG =0P