（整理版）大庆市林甸县第一中学高考数学专题复习函数值域求法小结2

1、在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法那么共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法那么的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，假设方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解：显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。解：故函数的值域是： 3. 判别式法 例4

2、. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程1当时，解得：2当y=1时，而故函数的值域为 例5. 求函数的值域。亦可用求导解：两边平方整理得：1解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集r有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程1有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。注：由判别式法来判断函数的值域时，假设原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的局部剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数y=值域。

3、解：由原函数式可得：那么其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。解：由原函数式可得：解得：故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。也可用数型结合解：由原函数式可得：，可化为：y3)x(sin1y2=b+即1yy3)x(sin2+=b+即解得：故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。解：令那么在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为： 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数

4、解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。解：令，那么又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为 例12. 求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。解：令，那么由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为： 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。解：原函数可化

5、简得：上式可以看成数轴上点px到定点a2，间的距离之和。由上图可知，当点p在线段ab上时，当点p在线段ab的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点p为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点a3，2到点px，0的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：1当点p在x轴上且不是直线ab与x轴的交点时，如点，那么构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：2当点p恰好为直线ab与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知

6、，求两距离之和时，要将函数式变形，使a、b两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，那么要使a，b两点在x轴的同侧。如：例17的a，b两点坐标分别为：3，2，在x轴的同侧；例18的a，b两点坐标分别为3，2，在x轴的同侧。 9. 不等式法利用根本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：·四川高考文科·11设，那么的最小值是 .a1 b2 c3 d4 10. 一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，假设知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。解：令，那么1当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以2当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数的值域。求导法比拟烦解：令，那么当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注