研究性课题杨辉三角

1、研究性课题：杨辉三角【 教学目标】1 进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；2 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，培养创新精神和实践能力；3 了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感【 教学重难点】培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。【 教学方式】计算机辅助教学，探究式【 教学过程】引言 : 为什么要研究杨辉三角？（教师给学生介绍研究杨辉三角的意义）1 .什么是杨辉三角?（师生一起复习杨辉三角）二项式（a+b） n 展开式的二项式系数，当n 依次取 1， 2， 3 时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称

2、它为杨辉三角.（P.71图）介绍杨辉一一古代数学家的杰出代表（ 教师介绍杨辉的杰出事迹，使学生了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感。）杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有详解九章算法十二卷（1261 年） 、 日用算法二卷、乘除通变本末三卷、田亩比类乘除算法二卷、续古摘奇算法二卷其中后三种合称杨辉算法 ，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11 世纪）已经用过它，这表明我

3、国发现这个表不晚于11 世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年 1662 年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的3 .写出杨辉三角的若干行（ 让学生自己动手写出，为后面的探究做准备。）（用 Excel 制作杨辉三角，用到第15 行，学生自己写出杨辉三角到第15行）Q 行 1 1 I用11咯12JL3行13514行14t>41哽151010516行1i1520156t命17213&352171咯1285670562881g行93

4、68412612684g1上。行1104512021025221G12045101u行1115516533046246233016555111上2行11266220495792924州52206612iisfr11378286Mb17 LGlYlbl&Y71b；2X6TH131行jLQ911Q01加0234523003200Z1QQL354911】帝115105455U65时035005 J6435- II64沟500530。$13654551051514 .杨辉三角基本性质（和学生一起回顾杨辉三角蕴含的基本规律）（1）表中每个数都是组合数，第 n行的第r+1个数是C：.（2）三角形的

5、两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是 c： cni c：i.（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即cn c； r.奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和 =2n1.若n为偶数，则中间项的二项式系数最大；若n为奇数，则中间项两项的二项式系数最大。（6）杨辉三角的第n行是二项式（a+b） n展开式的二项式系数，即（a b）n C0an C：an1b1C；an rbrCnbn课后思考：利用数学归纳法证明第六点性质。下面，师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系（全班分成若干个小组进行探讨，老师巡回检查，稍后师生一起检查探究结果，教师要适时给予鼓励）。5 .杨辉三角有趣

6、的数字排列规律（培养学生观察力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角 度观察）（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！）（1） 计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：1 + 1 = 21 + 2+1 = 4=22第 3行 1 + 3+3+1 = 8=?第 4行 1 + 4+6+4+1 = 16 = 25第 5 行 1 + 5+10+10+5+1 = 32 = 2第 n 行 C： C1 C2C；C cn 2n分析：第n行数字白W口为2 n.前n行（含第。行）所有数的和为2 n-1,它恰好比第n行的和2 n小1.（2）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩” 出发，向右（左）上方作

7、 一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数.（再引导学生“斜”向看）例如：10=1 + 2+3+ 4,20=1+3+6+10,.（引导学生得出一般性的结论）一般地，在第 m条斜线上（从右上到左下）前 n个数字的和，等于第 m+1条斜线上的第n个数.根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：1 + 1 + 1+ . + 1= c；（第 1 条斜线）121 + 2+3+ .+Cn1 = Cn （第 2 条斜线）1 + 3+6+ . + C21 = C3 （第 3 条斜线）341 + 4+ 10+ . + Cn 1 = Cn （第 4 条斜线）Crr C；i C；2Cnr1 Cn 1(n

8、 r)(第结论：r+1条斜线）（可用组合数性质简单证明）（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律?（继续换一角度“斜”向看）1,1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,.此数列a n满足,a 1=1,a 2=1,且 an=an-1 +an-2 （n > 3） 这就是著名的斐波那契数列.（以下介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性）中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一 对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子.设所生一对兔子均为一雄一雌，且均 无死亡.问一对刚出生的小兔一年内可

9、以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一列数1, 1, 2, 3,5, 8, 13,，正好是刚生的兔子，第一个月后的兔子.第二个月后的兔子，第三个月后的兔子，n个月后的兔子的对数.“兔子繁殖问题”的答案就是第12行右下侧的数(第13个)，即233.(4)杨辉三角的第1, 3, 7, 15,.行，即第2K-1(k是正整数)行的各个数 字有什么特点？结论：观察可知，它们均为奇数.第2K行除两端的1之外都是偶数.(5)杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数.你 能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数P是什么数？( 继续“横”看)结论：如2, 3, 7, 11等行.行数P是质数.6 杨辉三角的运用一一“纵横路线图”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题.图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从 A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转 45度，使A在正上方， B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角 数.有趣的是，B处所对应的数 70,正好是答案4 (C870).一般地，每个交点上的杨辉三角数，就是A到达 该点的方法数.由此看来，杨辉三角