（整理版）对函数单调性定义的等价解释和灵活运用

1、对函数单调性定义的等价解释和灵活运用函数的单调性是函数的一个重要性质，它具有很强的应用性，如比拟大小、解不等式、求最值、作图象，进行证明等都能用到单调性的定义，而对单调性定义的等价理解方便解题.由函数单调性的定义可以得到如下结论：设函数f(x)是定义在区间(a，b)上的增减函数，那么对任意、，有：1假设 ，那么ff0增函数；2假设 ，那么ff0减函数；3ff0增函数；4ff0减函数；利用上面等价定义处理函数的单调性问题，有时比直接利用定义处理更简洁.一、证明单调性例1求证：函数f(x)=+1在，+上是减函数.分析：考虑运用结论：4ff0减函数进行证明，只需要进行因式分解变形.证明：在，+上任取

2、两个实数、，且，那么有()f()f=()()=()(+)=()0，即ff0，故函数f(x)=+1在，+上是减函数.二、讨论单调区间例2函数f(x)=，讨论函数在区间0，+上的单调性.分析：涉及讨论函数单调性的问题运用结论：1假设 ，那么ff0增函数；或2假设 ，那么ff0减函数比拟方便.解析：任取0，那么ff=，当，时，又，那么0，所以ff=0，所以ff，所以f(x)在0，a上是单调减函数.当a时，那么ff=0，ff，所以f(x)在a，+上是单调增函数.点评：一般地函数在上为减函数，在上为增函数，这个结论非常有用.三、求解不等式 例3f(x)是定义在2，2上的函数，且f(x)=f(x)，又f(

3、x)在0，2上是减函数，且f(1m) f(m)，求实数m的取值范围.分析：由于f(x)在0，2上是减函数，考虑运用结论：2假设 ，那么ff0减函数解决问题.解析：f(x)=f(x)，f(x)=f(|x|)，那么f(1m)= f(|1m|)，f(m) =f(|m|)，又f(1m) f(m)0，f(|1m|) f(|m|)0 ，又f(x)在0，2上是减函数，那么有(|1m|m|) f(|1m|) f(|m|)0 ，由，解得，因此实数m的取值范围是.点评：抓住当f(x)=f(x)时，得到f(x)=f(|x|)是解决此题的突破口.四、求函数最值例4函数，.1当a=时，求函数f(x)的最小值；2假设对任

4、意，fx0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：对于1，将函数f(x)变形为f(x)=，又定义可知为单调增函数，对于2可以进合理的转化，变成二次函数的最值问题.解析：1当a=时，f(x)=，根据例2的结论函数在为单调增函数证明略，故有f(x)f(1)=1+2=，所以函数f(x)的最小值为.2在区间上0恒成立，等价于恒成立.设g(x)=，这是一个二次函数，在上单调递增，故有g (x)g(1)=3+a，g(x)的最小值为：3+a，只要3+a0，故a3为所求.点评：课本中的函数的单调性在解题中可以直接利用，已经证明过的函数的单调性的结论有时也可以直接利用，因此，常见函数的单调性要熟练掌握，能够提高解题

5、效率.五、比拟大小 例5函数f(x)，xr的对称轴为x=2，当x2时，f(x)为增函数.设a=f(1)，b=f(4)，c=f(2)，试确定的大小关系.yxox=2分析：欲比拟三者的大小关系，只需根据对称性，画出示意图形可以类比二次函数的图形，由图形结合单调性即可.解析：因为函数f(x)的图像关于直线x=2对称.且x2时f(x)为增函数，从而x2时是减函数，从而可以肯定离对称轴x=2的距离越远的数，其函数值越大.所以f(2) f(4) f(1)，即cba.点评：此题灵活的利用了函数的单调性进行大小的比拟，结合图象形象直观的得到了结论，这是单调性定义应用的创意.六、巧解方程例6设x、y为实数，且满足求x+y的值.分析：假设此题运用常规解法难以下手，但是假设运用函数的单调性很容易求解.当函数存在单调性时，根据1、2、3、4不难发现，那么一定有：假设f()f()，那么；假设f()=f()，那么=. 解析 ：由条件可得：，设函数f(