（整理版）导数优化生活问题五案例

1、导数优化生活问题五案例利用导数处理生活中的优化问题是新课标的一个考点, 它就是要把生活的实际问题先转化为一个数学问题,建立数学模型,再利用导数来求解函数的最优解.本文结合典型例题,对各类应用题进行讨论分析,供同学们复习参考.例1用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为，那么长为，高为故长方体的体积为从而令，解得舍去或，因此当时，；当时，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值从而最大体积，此时长方体的长为，高为答：当长方体的长为，宽为，高为时，体积最大，最大体积为点评：用导数来解决

2、实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。例2 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥。试问当帐篷的顶点o到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设oo1为x m,那么由题设可得正六棱锥底面边长为：m于是底面正六边形的面积为： m2帐篷的体积为 m3求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1<x<2时，,v(x)为增函数；当2<x<4时，,v(x)为减函数。所以当x=2时,v(x)最大。即当oo1为2m时，帐篷的体积最大。点评：本小题

3、主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的根底知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。求解关键是设法构建函数关系，将实际问题如何转化为数学问题，再利用导数求解.例3假设某质点的运动方程为s(t)=at，要使在t0, +上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求实数a的取值范围。解： s(t)= . | s(t)|1，1， ，即 当t0,+时，min=1，a1.当tà+时，且连续递增，所有值都小于1，a0. 故实数a的取值范围是0a1。点评：质点运动方程s(t)的导数s(t)的物理意义就是质点在时刻t的瞬时速度. 利用导数的物理意义列出不等式,根据不等式在t0, +上恒成立，求出a

4、的取值范围.例4用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转角，再焊接而成问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm，容器的容积为cm，那么= x(902x)(482x) = 4x276x4320x (0x24求=12x552x4320 = 12(x46x360) = 12(x10)(x36)令= 0，得x= 10，x= 36 (舍去)，当0x10 时，0，那么为增函数；当10x24 时，0，那么为减函数因此，在定义域(0，24内，函数只有当x = 10时取得最大值，其最大值为：= 10×(9

5、020)(4820) = 19600(cm)所以当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm点评：函数的应用题主要存在于用料最省、造价最低、利润最大等最优化问题中，由于函数的应用性问题是一种最广泛，实用性又极强的问题，并且利用导数运算工具简化了运算量，所以函数应用题已成为高考的一大热点例5水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量：亿立方米关于的近似函数关系式为表示第1月份,同一年内哪几个月份是枯水期？求一年内该水库的最大蓄水量取计算.解：当时，化简得,解得，或，又，故.当时，化简得,解得，又,故.综合得,或；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.()()知：v(t)的最大值只能在4，10内到达.由vt= 令v(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).当t变化时，v(t) 与v (t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)v(t)+0-v(t)极大值由上表，v(t)在t8时取得最大值v(8)8e2+