自动控制理论第四版夏德钤翁贻方第四章笔记

1、第4章线性系统的根轨迹分析一、根轨迹的基本概念1 .定义根轨迹是指系统特征方程式的根(闭环极点)随系统参量变化在 s平面上而形成的轨迹。2 .特点(1)通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响；(2)根轨迹图可以反映出系统参量变化与系统性能之间的关系。二、绘制根轨迹的基本条件和基本规则1 .绘制根轨迹的相位条件和幅值条件(1)幅值条件| =1(2)相位条件乙G H=+JJ (q =0,1 232 .绘制根轨迹的基本规则以开环增益K1为可变参量的常规根轨迹的绘制规则如表所示：字号内 容« 则1怅物连的注震性和对就性根软边曲连展的，井目堀林手参物1眼轨*的后点制修点出轨途

2、的修条先支队个月环板点出盘，算中胸条最弱也向E个开环零点， 另外n-m条打向人客话处实上痈根轨*的城及在其箱上的艮段上存在也轨避的条件处.其后辿什算零、&口效口之和力 ««4*帆淅近践的和位而厢条渐近融的相位用为中, 一口皿!工鼻- EI遵帝近班的文点渐近荏交戊的*标为£ E - £ 勺1J16般孰遽的分离点粗软迹的分离点必别浦足方程式7*速的出射前独人射角出射启甲/零i£G* + tEJAWft中, 南断逢与中转的交点以，,代入特征方程式求需或利用黄斯到据定3 .闭环极点的确定(1)闭环极点的定义闭环极点是指当K1 (或K)值满足幅值

3、条件时，对应根轨迹上的点。(2)闭环极点的作用利用幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的的K1值。三、广义根轨迹根轨迹一般都是以系统的开环增益 K1为可变参量，还有许多其他种 类的根轨迹，它们是：参数根轨迹，多回路系统的根轨迹，正反馈回 路和零度根轨迹。1 .参数根轨迹(1)定义参数根轨迹是指以所选可变参量代替 K1的位置所画出的根轨迹。(2)表达式+箝。2 .多回路系统的根轨迹(1)绘制根据当系统为多回路时，利用相位条件和幅值条件可以画出多回路系统的 根轨迹。(2)绘制方法绘制多回路反馈控制系统的根轨迹的方法是： 从内环开始，分层绘制,逐步扩展到整个系统。3 .正反馈回路和零度根轨迹(1)

4、系统框图(2)绘制原则对于正反馈回路，相位条件不是士 180 (2q+1),而是± 180° (2q) 根据相位条件，在绘制正反馈回路的根轨迹时，需要对其中的一些规 则，作如下修改：规则三：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边的开环零、极点数目之和为偶数。规则四：(n-m)条渐近线的相位角为公=7 2/ A。)规则七：根轨迹的出射角为：干尸" 8O,2?)+(E 4£%)入射角为：凡=£I8O0(2g) -( £氏 一 £彩)其他规则均不变。四、滞后系统的根轨迹滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性， 并往往对系统

5、的 稳定性带来不利的影响。1 .绘制滞后系统根轨迹的相位条件和幅值条件(1)幅值条件II卜一弓I -J fll-p.l I(2)相位条件£ £$一芍)- £ / pj =57.3*M±18012g+1 g 三 0/，2,)2 .绘制滞后系统根轨迹的基本规则(1)规则一：滞后系统的根轨迹是连续的，并对称于实轴。(2)规则二：K1=0时，滞后系统的根轨迹从开环极点 pi和b=-8处出发；K100时，根轨迹趋向开环零点和(T =8处。(3)规则三：滞后系统的根轨迹在实轴上的线段存在的条件是，其 右边开环零、极点数目之和为奇数。(4)规则四：滞后系统根轨迹的渐近

6、线有无穷多条，且都平行于 s 平面的实轴。(5)规则五：滞后系统根轨迹渐近线与虚轴的交点为1800/V3=57(6)规则六：滞后系统根轨迹的分离点必须满足下列方程ds(7)规则七：滞后系统根轨迹的出射角与入射角可根据相位条件确 定。(8)规则八：确定滞后系统根轨迹与虚轴交点时，可用 s=jw代入特 征方程求解。五、利用根轨迹分析系统的性能1 .暂态响应性能分析系统闭环零、极点位置与暂态响应之间的关系可以归纳如下：(1)系统的稳定性只取决于闭环极点在 s平面的位置。若闭环极点 位于s平面的左半部，则系统的暂态响应呈收敛性，系统必定稳定。(2)如果系统的极点均为负实数，而且无零点，则系统的暂态响应

7、一定为非振荡的，响应时间主要取决于距虚轴最近的极点。(3)如果系统具有一对主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要决定于主要极点的衰减率= 4, I广，并与 其他零、极点接近坐标原点的程度有关，而调整时间主要取决于主导 极点的实部二】=(编I】。(4)如果在系统中存在偶极子。如偶极子的位置接近坐标原点，其 影响往往需要考虑。(5)如果除了一对主导复数极点之外，系统还具有若干实数零、极 点，则零点的存在可减小系统阻尼，使响应速度加快，超调量增加； 实数极点的存在会增大系统阻尼，使响应速度减慢，超调量减少。2 .附加开环零点对根轨迹的影响在设计控制系统中，有时为改善系统的性能而增设开环零点， 由此 给根轨迹带来较为明显的变化。当附加开环零点时，根轨迹将向s左半平面弯曲，即有使根轨迹有 向零点靠拢的趋向。随着所附加的零点越靠近虚轴，这种趋向越明显。 3.稳态性能分析(1)表达式级数形式的给定稳态误差的表达式：给定误