湖北省荆门市2021届新高考数学一模考试卷含解析

1、、选择题：本题共 12小题，每小题湖北省荆门市2021届新高考数学一模考试卷5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目0要求的。| z |1 .已知 -32i( i为虚数单位,z为z的共轭复数)，则复数z在复平面内对应的点在(A 第一象限B.第二象限第三象限D.第四象限【答案】【解析】【分析】bi,(a, bR)，由|z| -z32i ,2i=a (b2)匸'，利用复数相等建立方程组3即可.【详解】bi,(a, bR)，则z 2i=a(b2)i=b?，所以 a3.a2 b23，b 2 0解得2，故2722i，复数z在复平面内对应的点为(一±, 2)，在第四象

2、限2故选:D.【点睛】 本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道 容易题2.已知函数f(X)x3 1,x g(x),x0是奇函数，则g(f ( 1)的值为()0D. 1A. - 10【答案】B【解析】【分析】根据分段函数表达式，先求得1的值，然后结合f X的奇偶性，求得g(f ( 1)的值.【详解】因为函数f(x)x3X, X g(x),x是奇函数，所以f( 1) f (1)2 ,g(f( 1) g( 2) f( 2)f (2)10.故选：B【点睛】意在考查学生的运算能力，分本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想 析

3、问题、解决问题的能力3.已知向量a (1,2)，b (41A.-2【答案】AiB .4C. 1D. 2【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】由于向量a(1,2), b (4 ,1)，且 ab，所以1 4210解得12故选：A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4.已知a, b是两条不同的直线，a，B是两个不同的平面，且a?a, b?a/ba,贝U"a/b'是"a/B”的( )A .充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件C .充要条件【答案】D【解析】【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可.【详解】

4、解：a? a, b? B, a / B, b / a,由a / b,不一定有 all B, a与B可能相交； 反之，由all B,可得al b或a与b异面，a , b是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面，且 a? a, b? B, a/ B, b / a ,则“a/ b是“a/ b'的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】 本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题.5.已知正三棱锥 A BCD的所有顶点都在球 0的球面上，其底面边长为4, E、F、G分别为侧棱 AB , AC，AD的中点若0在三棱锥A BCD内，且三棱锥A BCD的体积是三棱锥

5、 O BCD体积的4倍, 则此外接球的体积与三棱锥 O EFG体积的比值为（）A. 6.3B . 8、3C. 12、3D. 24. 3【答案】D【解析】【分析】如图，平面EFG截球0所得截面的图形为圆面，计算 AH 40H，由勾股定理解得 R , 6，此外接球的体积为竺卫 ，三棱锥O EFG体积为二2，得到答案.33【详解】如图，平面EFG截球0所得截面的图形为圆面正三棱锥 A BCD中，过A作底面的垂线 AH，垂足为H，与平面EFG交点记为K，连接0D、HD 依题意VA BCD 4V0 BCD，所以AH 40H，设球的半径为 R，在 RtV0HD 中，0D R，HD BC 心，0H -0A

6、-，3333由勾股定理：R2 心 R ，解得R . 6，此外接球的体积为24卫 ，333由于平面EFG/平面BCD，所以AH 平面EFG，球心0到平面EFG的距离为K0，所以此外接球的体积与三棱锥0 EFG体积比值为24.3则 K0 0A1KA 0A -AHR 2RR2333所以三棱锥01 1EFG体积为丄丄42込3 4433故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力6若复数z满足iz 2 i，则z （）【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算【详解】解：由题意知，iz 2

7、i ,2 i i72i1 2i11 2i ,-z 1 2i122 2 75,故选：D.【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法7.设 a R , b 0,则 “3a 2b”是 a logab”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可【详解】若 3a 2b , b 0，则 a logs2b，可得 a og3b ；若a logs b，可得3a b，无法得到3a 2b , 所以“3a 2b ”是“a logs b”的充分而不必要条件 所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要

8、条件的定义，判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q的关系&将函数f(x) 2sin(3x)(0)图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线8x 对称，则函数f (x)在 ，上的值域是()3 8 8A 1,2B. .3,2C. f,1D.迁,2【答案】D【解析

9、】【分析】由题意利用函数 y Asin( x)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.【详解】解：把函数f(x) 2sin(3x) (0)图象向右平移个单位长度后，83可得y 2sin 3x的图象；8再根据得到函数的图象关于直线x -对称,3 兀 k 2，k Z，函数f (x)2sin 3x77888,8上，3x飞sin 3x 8故 f(x) 2sin 3x .2,2，即 f(x)的值域是. 2,2,8故选：D.【点睛】本题主要考查函数 y Asin( x)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题.9.已知 a bi (a,bR)是 1 i1

10、 i-的共轭复数，则a b ()A.111D. 1B .C.22【答案】A【解析】 【分析】1 i先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出1 ia+b .【详解】21 i (1 i) 2ii,1 i 1 i 1 i 2 a+bi = - i,a= 0, b =- 1,- a+b = - 1, 故选：A.【点睛】 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题.710. 12x 的展开式中x2的系数为(x)A.84B. 84C.280D. 280【答案】C【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式Tk 1Uank kb

11、 ,得172x展开式的通项为Tk 172 C；xk，则1 2x展开式的通项为Tk 1c k _ k k2 C7 x1，由k 12，得k 3，所以所求33x2的系数为2 C 280 故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幕的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式Tr i Cnan rbr，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r，将r的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解11 已知正四面体 A BCD外接球的体积为8.6 ，则这个四面体的表面积为（）A 18,3B 16 . 3C

12、14.3D. 12 3【答案】B【解析】【分析】设正四面体 ABCD的外接球的半径 R,将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面 对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最 后可求出正四面体的表面积.【详解】将正四面体 ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，4 R设正四面体 ABCD的外接球的半径为 R，贝U&、6 ，得R .因为正四面体 ABCD的外接球3和正方体的外接球是同一个球，则有,3a=2 R 2.6,二a=2、2 而正四面体 ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长， 所以，正四面体ABCD

13、的棱长为2a=2'-2 2 4，因此，这个正四面体的表面3a2积为4 -16 3 4故选：B 【点睛】 本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起 来，考查计算能力，属于中档题.12.将函数f(x) sin(2x) (x R)的图象分别向右平移 一个单位长度与向左平移n(n>o)个单位长33度，若所得到的两个图象重合，则n的最小值为()2A .B .C .D.332【答案】B【解析】【分析】首先根据函数f(x)的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，那么m n k T，利用f(x)的最小正周期为，从而求得结

14、果【详解】f (x)的最小正周期为，那么 n k (k Z),3于是n k32 于是当k 1时，n最小值为一3故选B.【点睛】 该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。n13.二项式'X 1的展开式中所有项的二项式系数之和是2x64,则展开式中的常数项为15【答案】154【解析】【分析】由二项式系数性质求出 n，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项.【详解】由题意2n 64 , n 6.展开式通项为Tr ,2x3r2常数项为 T3 ( 1)2c2 15 .24故答案为：15 .4【点睛】 本题考

15、查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键.3x2a 1,x014.已知函数f XX，若关于X的方程f XfX0恰有四个不同的解，则实2lnx 6x, x0数a的取值范围是【答案】2,0【解析】【分析】设 g Xf Xfx ,判断g X为偶函数，考虑X>0时，g X的解析式和零点个数，利用导数分析函数的单调性 作函数大致图象，即可得到 a的范围.【详解】设gXf Xf x ,则gX在,00,是偶函数，当X0 时，g x2ln x6x3x2a-1,X由gX 0得a2xln x6x23x3X，记hx 2xln x6x2 3x3xh x22ln x 12x 9x 3,

16、 h2XX18x 120,故函数h x 在 0,增，而h10 ,所以hx在0,1减,在1,增,h 12 ,当X时，h x当1 X0时,h x0 ,因此gX的图象为因此实数a的取值范围是2,0【点睛】本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题15 函数f xJX JX 4 x 1的值域为 .【答案】3,【解析】【分析】一 2利用配方法化简式子，可得f x 2 ,x 13，然后根据观察法，可得结果【详解】函数的定义域为 0,f x , x . x 4 x 1 2x 4 , x 1f x 2 .

17、x 33所以函数的值域为 3,故答案为：3,【点睛】本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。2 216.过动点M作圆：(x 2) (y 2)1的切线MN，其中N为切点，若丨MN丨丨M0丨(o为坐标原点)，则| MN |的最小值是.【答案】8【解析】解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径等于1.由 M(a,b),则 |MN|2=(a-2) 2+(b-2) 2- 12=a2+b2-4a-4b+7 ,|MO| 2=a2+b2.由 |MN|=|MO|, 得 a2+b2-4a-4b+7=a 2+b2.整理得：4a+4b-7=0. a, b满足的关系为：4a+4b-7=0.求|MN|的

18、最小值，就是求|MO|的最小值.在直线4a+4b-7=0上取一点到原点距离最小，由垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b-7=0 ,由点到直线的距离公式得：MN的最小值为：用-V28三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图，两座建筑物AB , CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直， 它们的高度分别是 10m和20m，从建筑物 AB的顶部A看建筑物CD的视角/ CAD = 60°DA *BpC(1) 求BC的长度；(2) 在线段BC上取一点P (点P与点B, C不重合)，从点P看这两座建筑物的视角分别为/APB = a,/ DPC = 问点

19、P在何处时，a + 3最小？【答案】(1) 10、3m ; (2)当BP为t10-、3cm时，a + 3取得最小值.【解析】根据 tan CAD tan 2 CAE 得到【分析】(1)作 AE 丄 CD，垂足为 E，贝U CE = 10 , DE = 10,设 BC = x,、3x2 20x 100、. 30，解得答案(2)设 BP = t，贝U CP10.3 t 0< t<10、3，故 tan10 103 t ，设t2 10 "3t 200t10 3 tt2尸，求导得到函数单调性，得到最值10,3t 200【详解】(1)作AE丄CD，垂足为E ,则 CE = 10 ,

20、DE = 10,设 BC = x,20则 tan CAD tan 2 CAE2tan CAE1tan2 CAExd 1001 x化简得,3x220x 100-.3解之得，x10、3或 x103(舍),(2)设 BP = t，则 CP 10、3t 0< tv10、3 ,ta n10 _20_t 10.3 t1 10 20 t 10 3 t1003 10tt2 10、3t 20010 10、3t2 10'3t 200t2 20 j3t 500t2 10 一3t 200因为y = tanx在 ,2上是增函数，所以当t20.210 3时，a + B取得最小值.B pC103 t f

21、9; t t2 10.3t 200令 f (t)= 0,因为 0v t<10 3，得 t 20 2 10 3 ,当 t 0,20,2 103 时，f (t)< 0, f (t)是减函数；当 t 20 - 210.3J0、3 时，f (t) > 0, f (t)是增函数，所以，当t 20.2 10.3时，f (t)取得最小值，即tan (a + B取得最小值,因为t210.3t 200<0恒成立，所以f (t)< 0,所以 tan (a + B < 0,【点睛】 本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力1-，点P 2,3在椭圆上

22、22 218 .已知F1, F2为椭圆E : -2 +1(a b 0)的左、右焦点，离心率为a b(1)求椭圆E的方程;(2)过F1的直线11,12分别交椭圆于 A、C和BD，且1112，问是否存在常数，使得AC1BD等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2【答案】(1)162話1;(2)存在,748【解析】【分析】(1)由条件建立关于 a,b,c的方程组，可求得 a,b,c，得出椭圆的方程;(2)当直线Iac的斜率不存在时，可求得AC 6, BD8,求得 ，当直线Iac的斜率存在且不为0时，设1 AC :y k(x 2)联立直线与椭圆的方程，求出线段AC224(1 k 1，再由h

23、J得出线段34k2BD【详解】24(k241，根据等差中项可求得，得出结论.3k4(1)由条件得ce a_9bb22 a2 ac22 ab22 c1612，所以椭圆E的方程为:42 x162y12(2) F1(2,0)，当直线lAC 的斜率不存在时,当直线Iac的斜率存在且不为(4k2 3)x216k2x 16k2设 A(X1, y1),C(X2, y2),X1ACX1X2AC0时,48X2、 1 k26, BD设 1 AC： y16k24k23,X1X2X2)2Q直线BD的斜率为同理可得BD248,1AC1BD724，此时48k(x 2),联立16k2 484k24x1x2工)4( ；)2k

24、1AC1BD24k2 324(1 k2)24 3k224(k21)27(1 k )24(1 k2)2 士，所以7_48，综合，存在常数7亦，使得1AC【点睛】2 x16k2)24(14k23724，1成等差数列.BD2y12k(x1)4 3k224(k21消元得2)本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题,线的斜率具有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题当两直19.已知数列an的各项均为正，Sn为数列an的前n项和，an2+2an(1) 求an的通项公式；a(2) 设bn n，求数列bn的前n项和.34Sn+1 .【答案】(1)

25、 an = 2n+1 ; (2) 2【解析】【分析】(1) 根据题意求出首项，再由(项公式；(2) 禾用错位相减法进行数列求和【详解】(1) an2+2an= 4Sn+1 ,2小 a12+2a1= 4S1+1，即 B2aj2 2an+1 +2an+1 ) ( an +2an ) = 4an+1 ,求得该数列为等差数列即可求得通解得：a1= 1 或 a1=- 1 (舍)，又.an+12+2an+1 = 4Sn+1 + 1 ,22( an+1 +2an+1) -( an +2an)= 4an+1,整理得：(an+1 an) ( an+1 +a n)= 2 ( an+1 +an),又数列an的各项均

26、为正，-an+1 an = 2,二数列an是首项为1、公差为2的等差数列，数列an的通项公式an= 1+2 (n 1)=2n+1 ;(2)由(1)可知bn年,33记数列bn的前n项和为Tn，贝y1 1T n = 1 ?5?右 L311T n= 1?-332错位相减得:3215?帀？+ (2n 3321-Tn= 1+2 (右3321(2n+1 ) ?韦,3n11) ?孑2?l33(2 n+1 ) ?土，1亦)-(2n+1 ) ?3n 13331=1+2 -2n 13n 1=24 2n 43n1 T2n 4、)3n【点睛】此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数列求

27、和，关键在于熟记 方法准确计算20.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于 311 mm的为 长纤维”，其余为 短纤维”）纤维长度(0,100)100,200)200,300)300, 400)400,500甲地（根数）34454乙地（根数）112116（1）由以上统计数据，填写下面2 2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为 纤维长度与土壤环境有关系”.甲地乙地总计长纤维短纤维

28、总计附:(1)k2 (a "(Yd)咒(b d)（2）临界值表;2P(Kk。)1 . 111.151.1251.1111.1151.111k02.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为 长纤维”还是 短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地 短纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望【答案】（1）在犯错误概率不 超过0.025的前提下认为 纤维长度与土壤环境有关系 ”（2）见解析【解析】试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出K2，结合所给数据，应用独立性检验知X的数学识可作出

29、判断；（2）写出X的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出240 9 4 16 11K25.227 5.02425 15 20 20C31C533C：43C15455期望试题解析：(I)根据已知数据得到如下2 2列联表:甲地乙地总计长纤维91625短纤维11415总计212141根据2 2列联表中的数据，可得2所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为纤维长度与土壤环境有关系一15(n)由表可知在 8根中乙地 短纤维”的根数为 一 8 3 ,40X的可能取值为：1,1,2,3,2 1G1C444"CT 91，P X 2CC4 色,P X 3C15455X的分布列

30、为:X11233344654P9191455455c 33 ,44c 65 c43644E X0 12391914554554555uuuuuu21.已知点A、B分别在X轴、y轴上运动，| AB|3,BM2MA(1) 求点M的轨迹C的方程；3(2) 过点N 0, 且斜率存在的直线I与曲线C交于P、Q两点，E(0,1)，求| ep |2 |EQ|2的取值5范围.X22256【答案】(1) y 1 (2)4,425【解析】【分析】uuu uuu(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出EP,EQ，得到EP EQ，所以| EP |2| EQ |2 | P

31、Q |2，代入韦达定理即可求解【详解】2 2(D 设 A Xo,O , B O,yo ，则 xo yo9,设 M (x, y),uuu 由BM2M1A 得2 Xo x yo 2(O y)3Xox2yo 3y23又由于 一x(3y)2 9,22化简得M的轨迹C的方程为 y21 .4(2)设直线PQ的方程为y 与C的方程联立，消去 y得kx 一,5, 2 224,64 心1 4k xkx0,525则x1X224kX252'八 120k2uur由已知EP"11，ULUTEQuuuEPULUTEQx1x2Y1 1y21k2x1x28.k x_j5X21k2648k525100k2，设

32、 P 人，力，Q X2,y2 ,64225 look2X2,y21，则1X-|X2kx18, 85kx25642524k645 20k2252 2 264 64 k 192k64256k25 100k2故直线EP EQ.I EP |2 |EQ|PQ|21 k22Mx24%x2k2224k642425 20k25 100k64 1 k2 25k2425 14k22464 4 29k25k25 12 24k2令1 4k2 t，则22|PQ|t 1t 164 429254425?242766t25t25t2425127 - t23327176427，由于t4k21,11，24 | PQ |25625

33、256所以, |EP|2 |EQ|2的取值范围为4 25【点睛】 此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目22.已知 f(x) asin(1 x) Inx ,其中 a R .(1)0时，设函数g (x) f (x) x2，求函数g(x)的极值.(2)若函数f (x)在区间(0,1)上递增，求a的取值范围;(3)证明:n . 1 sin2k 1(2k)2In3 In 2 .【答案】(1)2极大值in2-，无极小值；(2) a 1 . (3)见解析2【解析】【分析】(1)先求导,根据导数和函数极值的关系即可求出;(2)先求导,再函数 f(x)在区间(0,1

34、)上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决;(3)取 a 1 得到 sin(1 x) In 丄(0x1x 1)，取1 x冇，可得sin 2(2 k)2sin1住卫字 (2 k)22In，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明(k 1)(k 3)【详解】解：(1)当a0时，设函数g(x)2 2f (x) x In x x ,x 0 ,则g'(x)1 2x1 2x2(1 -2x)(1 2x)令g'(x)0,解得x 22当 0 x 上2时，g'(x) 0,当 x 二2 时，g'(x) 02 2所以g(x)在(0渥)上单调递增，在，2)上单调递减所以当22x -时，函数取得极大值，即极大值为g()221In 221-，无极小值;2(2(2)因为 f(x) a si n(1 x) In x ,所以1 f (x) a cos(1 x)x因为f(x)在区间(0,1)上递增,所以f'(x) acos(1 x) 1 0在(0,1)上恒成立,x所以a在区间(0,1)上恒成立.xcos(1 x)0时，a在区间(0,1)上恒成立,xcos(1